精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2023-2024学年高三上学期期末数学试题

2023-2024学年度第一学期高三期末考试 数学试卷 满分150分， 考试时间120分钟 第I卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，解得，所以， 又，所以， 故选：C. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用零点判定定理求出函数值，判断即可. 【详解】因为均是在上的增函数， 则函数是增函数并且是连续函数， 又，， ， 所以函数的零点在. 故选：C. 3. 若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】由题意可知，即， 令. 故选：D 4. 已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，且，所以，即， 所以， 设与的夹角为，则，因为， 所以，即与的夹角为. 故选：D 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 回归直线恒过样本点的中心 B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1 C. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 D. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程恒过样本中心点，A正确；根据相关系数的绝对值越趋近于1，相关性越强，B正确；根据线性回归方程中，回归系数的含义可得C正确；根据平均数计算公式和方差计算公式计算可得D错误． 【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，正确； 对于B，两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1，正确； 对于C，根据回归系数的含义，线性回归方程，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位，正确； 对于D，根据平均数的计算公式得，由方差公式可得，，故错误； 故选：D 6. 函数在下列区间单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数半角公式及倍角公式对原函数进行变换，求解单调递减区间. 【详解】， 当时，即时单调递减，令，得是的单调递减区间. 故选:B． 7. 三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：设，，，棱长均为1，则，，，再根据向量夹角的求法求解即可；法二：根据空间斯坦纳定理夹角公式求解． 【详解】法一：设，，， 设三棱柱棱长均为1，因，则， 又因，， 所以， ， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 法二：不妨设底面边长与侧棱长均为1，则易得， 同法一可证：，由空间斯坦纳定理夹角公式： 所以． 故选：B． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法比较大小以及函数的导数与单调性及最值的关系比较大小求解. 【详解】因为，所以； ， 设函数， 所以时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， 所以，而， 所以，所以， 所以， 故选：D. 二、多选题：（9-12题，每题5分，部分答对得2分，共计20分） 9. 若，则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式对选项逐一判断即可. 【详解】因为，所以 对于A，，当且仅当，即时，等号成立，故，即A正确； 对于B，由得，即，解得或（舍去），当且仅当时，等号成立，故，即B正确； 对于C，，当且仅当时，等号成立；然而该等式求得或，显然不成立，即取不到最小值2，故C错误； 对于D，因为，所以，当且仅当且，即时，等号成立，故，故D错误. 故选：AB. 10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大项 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析出，可得出数列为正项递减数列，结合题意分析出正项数列前项都大于，而从第项起都小于，进而可判断出各选项的正误. 【详解】由可得与异号， 或， 又，且，可得与同号，即， 且一个大于，一个小于， 若，则，不符合题意； 若，则，为递减数列， 满足，故A正确； 对于B选项，由于，数列为正项递减数列， ，所以，即，故B选项错误； 对于C选项，由上可知，正项数列前项都大于， 而从第项起都小于， 所以，是数列中的最大值，故C选项正确； 对于D选项，由等比数列的性质可知，， 所以，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：在等比数列的公比的取值不确定时，首先分析的符号，进一步确定的取值范围，解本题的关键就是结合已知条件分析出，并结合等比数列的单调性来进行推导. 11. 直线与圆相交于两点，则弦的长度可能为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】易知直线恒过定点，分别求出过点的弦长的最大值和最小值，即可得出结论. 【详解】将直线整理可得， 令，可得，即直线恒过定点； 易知圆的圆心为，半径， 定点到圆心的距离， 当直线与垂直时，弦的长度最小， 当直线过圆心时，弦的长度最大， 所以可得，可知CD符合题意. 故选：CD 12. 已知函数，且满足，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】AD 【解析】 【分析】令，则.讨论的奇偶性和单调性，由得，由的单调性得，解出实数的取值范围即可得到答案. 【详解】令，则，因为， 所以为奇函数.又因为，所以根据单调性的性质可得为增函数. 因为，所以，等价于，即， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：AD 第II卷（共90分） 三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分） 13. 展开式中的常数项为______． 【答案】240 【解析】 【分析】利用二项式定理，求出通项公式进行求解. 【详解】展开式的通项公式为：，令，解得：，则. 故答案为：240 14. 已知表示一个三位数，如果满足且，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共______个（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】利用组合的意义可求没有重复数字的三位“凹数”的个数. 【详解】为取自中的不同的三个数字， 最小的数字放置在中间，余下两数可排百位或个位， 故共有“凹数”的个数为， 故答案为：. 15. 已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】可先设交点为，利用利用两函数在该点处的函数值和切线斜率相同列方程，可求的值. 【详解】易知：必有. 设两曲线的交点为，，，由题意：， 两式相除得：，∵，∴. 代入得： 解得. 故答案为： 16. 已知是抛物线的焦点，点，过点的直线与C交于A，B两点，M是线段AB的中点．若，则直线的斜率 ___． 【答案】2 【解析】 【分析】方法一：设直线，设，联立直线l与抛物线的方程求出y1+y2，y1⋅y2，由可得，将韦达定理代入化简即可得出答案； 方法二：设A，B，M在准线上的射影分别是A1，B1，N，由题意可得出PM∥x轴，设，，联立直线l与抛物线的方程可得，解方程即可得出答案． 【详解】方法一：由题意，， 设直线，其中， 联立，消去x，得，Δ＞0， 设，则，， 又，则PA⊥PB，即， 而，， 则， 即， 即， 所以，解得， 所以． 方法二：如图，由题意，，点P在准线上， 设A，B，M在准线上的射影分别是A1，B1，N， 则， 故，即重合. 所以PM∥x轴， 设，， 联立，消去x，得， 所以，所以． 故答案为：2． 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分） 17. 已知是递增的等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）;（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）解：设等差数列的公差为 ，………3分 得： ………………5分 代入：， 得： ………………7分 （Ⅱ） ………………9分 ………11分 ………………14分 （等差、等比数列前项求和每算对一个得2分） 考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n和公式，等比数列的前n项和公式． 点评：本题主要考查通项公式的求法和数列前n项和的求法，其中求数列的前n项和用到的是分组求和法．属于基础题型． 18. 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 【答案】（1）证明：因为是长方体， 所以侧面，而平面，所以 又，，平面，因此平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面； （2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）[方法一]【三垂线定理】 由（1）知，，又E为的中点，所以，为等腰直角三角形，所以． 如图2，联结，与相交于点O，因为平面，所以． 又，所以平面． 作，垂足为H，联结，由三垂线定理可知，则为二面角平面角的补角． 设，则，由，得． 在中，，所以， 即二面角的正弦值为． [方法二]【利用平面的法向量】 设底面边长为1，高为，所以． 因为平面，所以，即， 所以，解得． 因为平面，所以，又，所以平面， 故为平面的一个法向量． 因为平面与平面为同一平面，故为平面的一个法向量， 在中，因为，故与成角， 所以二面角，的正弦值为． [方法三]【利用体积公式结合二面角的定义】 设底面边长为1，高为，所以． 因为平面，所以，即， 所以，解得． 因为，所以是直角三角形，． 因为平面，所以到平面的距离相等设为． 同理，A，E到平面的距离相等，都为1，所以， 即，解得． 设点B到直线的距离为，在中，由面积相等解得． 设为二面角的平面角，， 所以二面角的正弦值为． [方法四]【等价转化后利用射影面积计算】 由（1）的结论知，又，易证，所以，所以， 即二面角的正弦值与二面角的正弦值相等． 设的中点分别为F，G，H，显然为正方体，所求问题转化为如图3所示， 在正方体中求二面角的正弦值． 设相交于点O，易证平面， 所以是在平面上的射影． 令正方体的棱长， 则，，，． 设二面角为，由，则， 所以． 即二面角的正弦值为． [方法五]【结合（1）的结论找到二面角的平面角进行计算】 如图4，分别取中点F，G，H，联结． 过G作，垂足为P，联结． 易得E，F，G，H共面且平行于面． 由（1）可得面．因为面，所以． 又因为E为中点，所以，且均为等腰三角形． 设，则，四棱柱为正方体． 在及中有． 所以与均为直角三角形且全等． 又因为，所以为二面角（即）的一个平面角． 在中，． 所以， 所以． 故二面角的正弦值为． [方法六]【最优解：空间向量法】 以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为， 所以， 所以，， 设是平面的法向量， 所以， 设是平面的法向量， 所以， 二面角的余弦值的绝对值为， 所以二面角的正弦值为. 【整体点评】(2)方法一：三垂线定理是立体几何中寻找垂直关系的核心定理； 方法二：利用平面的法向量进行计算体现了等价转化的数学思想，是垂直关系的进一步应用； 方法三：体积公式可以计算点面距离，结合点面距离可进一步计算二面角的三角函数值； 方法四：射影面积法体现等价转化的数学思想，是将角度问题转化为面积问题的一种方法； 方法五：利用第一问的结论找到二面角，然后计算其三角函数值是一种常规的思想； 方法六：空间向量是处理立体几何的常规方法，在二面角不好寻找的时候利用空间向量是一种更好的方法. 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的外接圆半径为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与两角和的正弦公式化简后求解， （2）由面积公式，正余弦定理，基本不等式求解， 【小问1详解】 因为，∴， ∴，得， 因为，所以， ∴，又，故， 【小问2详解】 由正弦定理得，即，解得， 又由余弦定理得：，即， 又因为，所以，当且仅当时取等号， ，即的面积的最大值为 20. 某班级分小组进行科普知识问题竞答.甲乙两个小组分别从5个问题中随机抽取3个问题进行回答.已知这5个问题中，甲组能正确回答其中3个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.乙组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求甲小组答对题数X的分布； （2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表班级参加学校决赛，请从答对题数的期望和方差角度，分析说明选择哪个小组更好？ 【答案】（1）分布列见详解 （2）甲小组 【解析】 【分析】（1）由题意，判断甲答对题数的可能值，并求出对应值的概率，即可得分布列. （2）由（1）所得分布列求出甲小组的期望和方差，由题设乙答对题数，利用二项分布的期望、方差公式求期望和方差，比较它们的大小关系，即可确定选择哪个小组. 【小问1详解】 设甲答对题数为，可能取值为1，2，3， 则，，， ∴甲答对题数的分布列为： 1 2 3 【小问2详解】由（1）得：，. 设乙答对题数为，则随机变量，故，， ∵，， ∴甲与乙的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，故选择甲小组. 21. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】根据离心率的值和定义可以求出之间的关系式，待定系数法设出椭圆方程后把已知点代入求解即可. 设出直线方程后，联立直线和椭圆方程，消元化简后，可得，利用弦长公式求出弦长，再利用点到直线距离公式求出三角形的高，的面积可用直线斜率进行表达，通过换元转化为一元二次函数，求出最值即可. 【小问1详解】 椭圆的离心率， 则，即， 所以，椭圆方程为. 将点代入方程得， 故所求方程为. 【小问2详解】 点在椭圆内，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由得. 设，则. . 点到的距离. 令，则则. 因为，所以当时，是所求最大值. 22. 已知函数． （1）若在R上单调递减，求a的取值范围； （2）当时，求证在上只有一个零点，且． 【答案】（1） （2） 由（1）可知，在上单调递减，且，， 故，使得． 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 因为，，所以在上只有一个零点， 故函数在上只有一个零点． 因为，所以要证，即证，即证． 因为，得， 所以，故需证即可． 令，，则． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 故．即， 原不等式即证. 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数的单调性可得即在R上恒成立，利用导数研究函数的性质求出即可求解； （2）由函数零点的存在性定理可得，使得,进而得出函数的单调性，结合、即可证明函数在上只有一个零点；由得，将不等式变形为，则证明即可，构造函数，结合分析法，利用导数研究函数的性质即可证明. 【小问1详解】 因为，所以． 由在R上单调递减，得，即在R上恒成立． 令，则． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 故，解得， 即a的取值范围为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点问题，不论哪种方法，其核心步骤都是构造函数.利用已知的函数或已知条件将问题转化，重新构造函数模型，通过导数研究函数模型的单调性、极值或最值等达到解决问题的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第一学期高三期末考试 数学试卷 满分150分， 考试时间120分钟 第I卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 回归直线恒过样本点的中心 B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1 C. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 D. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变 6. 函数在下列区间单调递减的是（ ） A. B. C. D. 7. 三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（9-12题，每题5分，部分答对得2分，共计20分） 9. 若，则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 若，则 10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大项 D. 11. 直线与圆相交于两点，则弦的长度可能为（ ） A. 2 B. C. D. 12. 已知函数，且满足，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 第II卷（共90分） 三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分） 13. 展开式中的常数项为______． 14. 已知表示一个三位数，如果满足且，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共______个（用数字作答）. 15. 已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则______. 16. 已知是抛物线的焦点，点，过点的直线与C交于A，B两点，M是线段AB的中点．若，则直线的斜率 ___． 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分） 17. 已知是递增的等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的外接圆半径为，求面积的最大值. 20. 某班级分小组进行科普知识问题竞答.甲乙两个小组分别从5个问题中随机抽取3个问题进行回答.已知这5个问题中，甲组能正确回答其中3个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.乙组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求甲小组答对题数X的分布； （2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表班级参加学校决赛，请从答对题数的期望和方差角度，分析说明选择哪个小组更好？ 21. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值. 22. 已知函数． （1）若在R上单调递减，求a的取值范围； （2）当时，求证在上只有一个零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $