22.3实际问题与二次函数（拱桥问题）跟踪练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数（拱桥问题） 跟踪练习 一、单选题 1．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 2．如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面增加时，水面下降了（   ） A． B． C． D． 3．如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形，杯脚高，杯口宽为，则酒杯总高度为（　　） A． B． C． D． 4．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（    ） A． B． C． D． 5．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为点，建立如图2所示的坐标系，若点A的坐标为，点是图1中沙丘两个端点，则的值为（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 6．某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 7．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为16m，当水位上升3m时，水面宽为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 9．如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 10．如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽，顶点离水面．当水面宽时，水面下降（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 12．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米． 13．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为 ． 14．如图是某座抛物线型拱桥的示意图，已知水面宽为20米，抛物线最高点C到水面的距离为5米，景观灯D，E在该抛物线上，，若两盏灯之间的距离为米，则直线与的距离为 米． 15．如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线、为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中正确的是 ． ①玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为；②直线的解析式为；③点P到杯口的距离为；③点P到点D的距离为． 三、解答题 16．某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．如图，步道的宽为，观景台拱顶最高处点距离地面为．为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称，支撑柱，在两个支撑柱上搭一个限高横杆．以步道的中点为原点，所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该观景台所在抛物线的函数表达式； (2)为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个面积为的矩形宣传牌，要求宣传牌在观景台内部，一边落在上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称．求符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． 17．如图是一座悬索桥侧面示意图．桥塔与桥塔均垂直于桥面，缆索段与缆索段、缆索段均呈抛物线型．缆索段所在的抛物线与缆索段所在的抛物线关于所在的直线对称，桥塔与桥塔之间的距离（桥塔的粗细忽略不计），缆索段的最低点到的距离．请你建立适当的坐标系，解答问题： (1)在你所建坐标系下，求缆索段所在的抛物线的函数解析式； (2)若，求的长． 18．拋物线形实际问题与平移变换结合如图（1），某塑料大棚的一端由一个矩形支架和抛物线形拱组成，小龙同学测得矩形支架的长，高，并测得距边的大棚顶部点M处的高为，以矩形支架的顶点O为原点，边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图（2）所示． (1)求该塑料大棚最高点到地面的距离． (2)小龙同学把抛物线形拱所在的抛物线画出，如图（3），然后利用抛物线和矩形进行深入探索，并提出了如下问题，请你给出解答． ①将抛物线向右平移，设拋物线与矩形两边，分别交于点D，E，当直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． ②将抛物线上下平移，设抛物线与y轴交点的纵坐标为n，当抛物线与矩形四边只有两个交点时，请求出n的取值范围． 19．小博周末随家人采摘草莓，小博发现种植草莓的大棚使用钢结构骨架，它的横截面可以近似看作由矩形和抛物线构成，小博通过采摘园主获得了大棚的部分信息，并绘制了图象． 如图，大棚横截面下方是矩形，顶部是抛物线．取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E．若以O点为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．E点为抛物线的顶点且，，．请你解决下列问题： (1)求抛物线的解析式，并写出自变量取值范围； (2)小博观察到顶棚内部采用另一种轻质材料制作的直角三角形支架进行加固．如图，若点G在横梁段的中点处，，垂足为点G，和关于成轴对称．一个横梁上需要两个这样的直角三角形，所需这种轻质材料总长是的和．若一个大棚有15个横梁，不考虑材料损耗，请你计算，制作这样的支架，一共需要多长这种轻质材料？ 20．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．如图，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ (3)如图2，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度． ①平移后的函数图象与直线没有交点，结合函数图象，直接写出的取值范围__________． ②直接写出当__________时，平移后的函数图象与直线有三个交点． 参考公式： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.3 实际问题与二次函数（拱桥问题） 跟踪练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C B B B B A C 1．A 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选：A． 2．B 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键． 根据题意得，抛物线顶点为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出，然后将代入求解即可． 【详解】用如图所示的方式建立平面直角坐标系， 根据题意得，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， ∵当水面增加时， ∴水面宽度为， ∴， ∴此时水面与抛物线右边的交点的横坐标为， ∴当时，． ∴当水面增加时，水面下降了． 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质. 先确定抛物线的顶点坐标和对称轴，根据对称性确定点坐标，求出点到直线的距离即可求解. 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 即， ∴对称轴为直线， ∵为， ∴当时，代入解析式得， 即， ∴点到的距离为， ∴酒杯总高度为， 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为，点B的坐标为，再把解析式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和为的一半，即2米，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴这个抛物线的解析式为， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降2米， 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴水面宽度增加到米， ∴比原先的宽度增加了米， 故选：C． 5．B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．根据题意，可设抛物线的解析式为，将点A坐标代入求出m的值即可得出其解析式，再求出时x的值即可得出答案． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∵点B在第四象限， ． 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，由题意得，，利用待定系数法可得到，再求出时，x的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入到中得：，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ∵， ∴当水面上升2米后，宽度变为米， 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故选B． 8．B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所建坐标系及图形特点，结合，可得，设抛物线的解析式为，根据题意可求出点的坐标为，代入，即可求出抛物线解析式，令，求出，即为门高的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴点，， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图示，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为，把顶点坐标代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 故选：A ． 10．C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降， 故选：C． 11． 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为，把代入进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 故答案为：． 12．/ 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为， 可设抛物线解析式为 ， ∴ 即 ， ∴抛物线解析式为 ， 当水面宽度为米时，即当 ， ， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 13．8 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故答案为：8． 14．4 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，待定系数法求出函数解析式，进而求出点坐标，即可得出结果． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 由题意，得：， ∵，两盏灯之间的距离为米， ∴点的横坐标为：， 设抛物线的解析式为：，把代入解析式，得： ， 解得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴直线与的距离为4； 故答案为：4． 15．①②④ 【分析】由题意可知，，，，，利用待定系数法求出玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式，可判断①结论；令直线与轴的交点为，证明是等腰直角三角形，得到，再利用待定系数法求出直线的解析式，可判断②结论；联立直线和抛物线，求出，可判断③④结论． 【详解】解：由题意可知，，，，， 设玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为， ，解得：， 玻璃水杯轮轮廓所在抛物线的解析式为，①结论正确； 令直线与轴的交点为， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为，②结论正确； 联立，解得：或（舍）， ， 点P到杯口的距离为，③结论错误； 点P到点D的距离为，③结论正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了坐标与图形，二次函数的应用，二次函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程等，勾股定理知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 16．(1) (2)长为10m，宽为2m；见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）先求出两个支撑柱之间的距离．进一步求得的长可以为1或2．则有下列2种初步的设计方案：①；②；然后分别验证即可． 【详解】（1）解：由题意，得拱顶最高处点的坐标为，， ∴点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴该观景台所在抛物线的函数表达式为； （2）解：令，即． 解得． 两个支撑柱之间的距离． 矩形宣传牌的面积为，宣传牌在观景台内部，一边落在上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称， 的长可以为1或2． 有下列2种初步的设计方案： ①；②： ． 方案①不合题意． ，此时点到步道的距离为6． 当时，． 此时宣传牌左上方顶点的坐标是．符合题意． 综上所述，矩形宣传牌的长为，宽为． 17．(1) (2) 【分析】（1）先根据已知条件确定抛物线的顶点坐标和抛物线上一点的坐标，然后设出抛物线的顶点式解析式，将点的坐标代入求出解析式中的系数． （2）先根据抛物线的对称性得到另一段抛物线的解析式，再将的值代入解析式求出的值，最后结合条件确定的长． 本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， ∵， ∴． 又，缆索段的最低点到的距离， ∴抛物线的顶点的坐标为． 故可设抛物线解析式为． 将代入抛物线解析式， 得． ∴． ∴缆索段所在抛物线的解析式为． （2）解：∵缆索段所在抛物线与缆索段所在抛物线关于所在直线对称， 又缆索段所在抛物线的解析式为， ∴缆索段所在抛物线的解析式为． ∵， ∴可令， ∴． 解得或． 又， ∴． ∴的长为． 18．(1)该塑料大棚最高点到地面的距离为米 (2)①抛物线平移的距离为；②的取值范围为或 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和图象平移规律是关键． （1）待定系数法求出二次函数解析式，利用抛物线对称性质求出塑料大棚最高点到地面的距离即可； （2）①先求出平移前抛物线与轴的左边交点坐标，再利用矩形的中心对称性质求出平移距离即可； ②当抛物线过点时，与矩形只有两个交点，此时，当抛物线顶点在上时，此时，当抛物线顶点在上时，此时，继而得到抛物线与矩形四边只有两个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴设抛物线解析式为， 由题意可知，点和点在抛物线上， 则 解得， ∴抛物线解析式为：， 根据抛物线对称性质可知，抛物线顶点坐标的横坐标为3， ∴顶点坐标的纵坐标为， 故该塑料大棚最高点到地面的距离为米； （2）解：①设抛物线平移前与轴的左交点为， 令，则， 解得， ， 连接，交于点，则， 设抛物线平移的距离为， 则， 当直线经过点时，可以将矩形的面积平分，此时，点为的中点， ∴， 解得， 故抛物线平移的距离为； ②当抛物线过点时，与矩形只有两个交点，此时， 当抛物线的顶点在和之间时，抛物线与矩形有两个交点，当抛物线顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为， 此时， 当抛物线顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为， 此时， 故当抛物线顶点在边与之间时，． 综上分析，的取值范围为或． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，矩形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可求出点B的坐标和点E的坐标，再把解析式设为顶点式，并利用待定系数法求解即可； （2）证明四边形是矩形，得到，，则，可得，进而可得，即可求出，由勾股定理可得，由轴对称的性质可得，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，点O为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点B， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点G在横梁段的中点处， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ， 答：制作这样的支架，一共需要这种轻质材料． 20．(1)抛物线解析式为； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过10米； (3)①，② 【分析】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用，熟练掌握抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键． （1）根据题意找出、坐标，设出函数解析式，代入坐标求解即可； （2）求出当高度正好为3米时的两个值，作差即可； （3）表示出根据“倒影”和平移表示出新函数解析式，与直线没有交点即联立解析式后方程无解，与直线有三个交点，则直线与平移后的“倒影”函数图象相切，即联立解析式后方程有两个相等实数根． 【详解】（1）解：由题意得：水面宽度是20米，高是4米， 结合函数图象可知，顶点，点, 设二次函数表达式为， 将代入函数表达式得， 解得： 二次函数表达式为 即 （2）当时，即 解得：， 答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过10米． （3）①由题可知倒影函数图象与原函数图象关于轴对称， 倒影函数解析式为： 平移后的原抛物线解析式为： ，当时， 直线经过，要使直线与倒影函数图象没有交点，则 要使直线与平移后的原抛物线没有交点， 则无解 整理得： ，即 解得： 综上所述 ②倒影函数平移后的解析式为： 平移后的函数图象与直线有三个交点 则倒影函数平移后与直线相切 即有两个相等实数根 整理得： ，即 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$