江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一上学期数学滚动训练（9）

训练内容：集合、常用逻辑用语、不等式、指数与对数、函数概念与性质、 幂函数、指数函数与对数函数、三角函数 2024-2025学年第一学期高一数学滚动训练（9）（解析版） 一、单选题： 1．设集合，那么(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 即M是由的奇数倍构成的集合， 又， 即N是由的整数倍构成的集合， 则，故选C． 2．“”是“函数只有一个零点”的(     ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，函数只有一个零点； 当时，函数只有一个零点1； 若函数只有一个零点，则或． 所以“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件．故选C． 3．如果是第一象限角，则(     ) A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】因为是第一象限角，则，，所以，， 所以是第一或第三象限角，则或，，故排除B、D； 又，，所以的终边在第一、第二象限或在轴的非负半轴上，则， 当的终边在轴的非负半轴上时，无意义，故排除A．故选C． 4．计算的结果为(     ) A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得： ．故选B． 5．设，，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出角的三角函数线如下图所示： 由图象知：，又，．故选B． 6．已知为奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则关于a的不等式的解集是(     ) A． B． C． D． 【答案】A  【详解】由题可知，奇函数为R上的减函数，则， 不等式，即为，即有，即， 即有，故解集为故选A． 7．已知，若x∈R，，且，，则的最小值为(     ) A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为不等式对于一切实数恒成立，所以， 又因为，使得成立，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当时取得最小值．故选D． 8．设函数若关于x的方程有四个实根，，，，则的最小值为(     ) A．9 B．23 C． D．24 【答案】B  【详解】作出函数的大致图象，如图所示： 当时，对称轴为，所以， 若关于x的方程有四个实根，，，，则， 由，得或，则， 又，所以， 所以，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为故选B． 二、多选题： 9．已知，，且，下面选项正确的是(     ) A． B．或 C． D． 【答案】ACD 【详解】由，，可得， ，，解得或． ，，经检验，当时，，不合题意，， 此时，，． 故A项正确，B项错误，CD项正确．故选ACD． 10．下列说法正确的是(     ) A．函数y＝x＋的最小值为2 B．若正数x，y满足，则的最大值是2 C．已知实数x，y满足且，则 D．若对任意，恒成立，则 【答案】BD 【详解】∵函数y＝x＋中的x值可以取负值，此时无最小值，故A错误； ∵正数x，y满足，∴，∴，即， 当且仅当，即，时取等号，故的最大值是2，故B正确． 设，∴解得，即， ∵且，∴，， ∴，即，故C错误； 对任意，恒成立，分离参数得对任意恒成立， 令在最大值为，即，故D正确，故选BD． 11．已知函数，则下列说法正确的是(    ) A．的定义域为 B．当函数的图象关于点成中心对称时， C．当时，在上单调递减 D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2024个交点，记为，则的值为0 【答案】ACD 【详解】A：要使函数有意义，则，即，∴的定义域为，所以选项A正确； B：∵，∴的图象关于点成中心对称，当函数的图象关于点成中心对称时，，所以选项B不正确； C：由选项B知，当时，，∴在单调递减，，所以选项C正确； D：∵，，∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称，∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，，所以选项D正确． 故选ACD． 三、填空题： 12．已知幂函数的图象关于y轴对称，则不等式的解集是 ． 【答案】  【详解】由题意是幂函数，则，解得：或， 时，，图象关于y轴对称，时，，不合题意， 故，，即， 解得，即不等式的解集是． 13．若函数(，且)的图象经过定点A，若点A在角的终边上(是坐标原点)，则 ． 【答案】 【详解】由对数函数图象性质易知函数过定点， 点A在角的终边上，由三角函数定义可得， 所以－． 14．已知函数的图像关于y轴对称，若对任意的，使得 恒成立，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数的图像关于y轴对称， 所以函数为偶函数，，即， 解得，所以； 对任意的，使得恒成立， 则，即， 令，，则， 则， 函数的最大值是，所以． 四、解答题 15．(1)已知，求的值； (2)已知，且是第三象限角，求的值． 【答案】(1)3；(2) 【详解】(1)原式 ． (2)因为是第三象限角，所以是第二象限角， 则， 又，所以是第二象限角， 可得， 所以 ． 16．已知集合A＝{x|(x－m)(x＋2)＜0}，B＝{x|x＋m＜0}． (1)若m＝1，求(∁RA)∪B； (2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(－∞，－2]；(2)(－∞，0]． 【详解】(1)若m＝1，则A＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝(－2，1)，B＝{x|x＋1＜0}＝(－∞，－1)， 因为∁RA＝(－∞，－2]∪[1，＋∞)，所以(∁RA)∪B＝(－∞，－2]． (2)若A∩B＝A，则A⊆B． ①当m＝－2时，A＝∅，A⊆B，符合题意； ②当m＞－2时，A＝{x|－2＜x＜m}，B＝{x|x＜－m}． 则－m≥m，解得m≤0，所以m∈(－2，0]； ③当m＜－2时，A＝{x|m＜x＜－2}，B＝{x|x＜－m}． 则－m≥－2，解得m≤2，所以m＜－2； 综上所述，实数m的取值范围是(－∞，0]． 17．(1)设p：x2－2x≤0，q：(x－m)(x－m－3)≤0，若¬p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (2)已知，命题；命题．若均为真命题，求 实数的取值范围． 【答案】(1)m＞2或m＜－3；(2)． 【详解】(1)由x2－2x≤0，得0≤x≤2，即p：0≤x≤2，¬p：x＞2或x＜0， 由(x－m)(x－m－3)≤0，得m≤x≤m＋3，即q：m≤x≤m＋3， 若¬p是q的必要不充分条件，则q¬p，¬pq， 所以[m，m＋3](－∞，0)∪(2，＋∞)， 则m＞2或m＋3＜0，即m＞2或m＜－3． (2)由命题为真命题，只要即可， 则，所以， 由命题为真命题，可得，解得， 因为均为真命题，所以，解得，所以． 18．已知函数(其中，为自然对数的底数)是定义在上的偶函数． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)对，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)；(2)在上是增函数，证明见解析；(3)4． 【详解】(1)为上的偶函数，，即， 即在上恒成立，故，又因，解得． (2)，设， 则． ∵，∴，，，∴，， ∴，∴在上是增函数． (3)由(1)得，∵，∴， ∴，令，且， 故，当且仅当，即时，等号成立，故， ，，， 因为在上单调递增，所以，故， 所以的最大值为4． 19．已知函数，且满足． （1）判断函数在上是否单调，并用定义证明； （2）设函数，求在区间上的最大值； （3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）2；（3）． 【详解】（1）由且，得，所以， 当时，， 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以在上单调递增； （2） 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，； （3）由（1）得在上单调递增， 当时，，同理在上严格减， 当时， 方程可化为，即， 令，则， 原方程恰有4个不同的正根，等价于在上有两个不等的实根，， 所以解得，所以实数m的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$训练内容：集合、常用逻辑用语、不等式、指数与对数、函数概念与性质、 幂函数、指数函数与对数函数、三角函数 2024-2025学年第一学期高一数学滚动训练（9）（原卷版） 一、单选题： 1．设集合，那么(    ) A． B． C． D． 2．“”是“函数只有一个零点”的(     ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如果是第一象限角，则(     ) A．且 B．且 C．且 D．且 4．计算的结果为(     ) A．4 B． C． D． 5．设，，，则(     ) A． B． C． D． 6．已知为奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则关于a的不等式的解集是(     ) A． B． C． D． 7．已知，若x∈R，，且，，则的最小值为(     ) A．1 B． C．2 D． 8．设函数若关于x的方程有四个实根，，，，则的最小值为(     ) A．9 B．23 C． D．24 二、多选题： 9．已知，，且，下面选项正确的是(     ) A． B．或 C． D． 10．下列说法正确的是(     ) A．函数y＝x＋的最小值为2 B．若正数x，y满足，则的最大值是2 C．已知实数x，y满足且，则 D．若对任意，恒成立，则 11．已知函数，则下列说法正确的是(    ) A．的定义域为 B．当函数的图象关于点成中心对称时， C．当时，在上单调递减 D．设定义域为R的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2024个交 点，记为，则的值为0 三、填空题： 12．已知幂函数的图象关于y轴对称，则不等式的解集是 ． 13．若函数(，且)的图象经过定点A，若点A在角的终边上(是坐标原点)，则 ． 14．已知函数的图像关于y轴对称，若对任意的，使得 恒成立，则实数k的取值范围是 ． 四、解答题 15．(1)已知，求的值； (2)已知，且是第三象限角，求的值． 16．已知集合A＝{x|(x－m)(x＋2)＜0}，B＝{x|x＋m＜0}． (1)若m＝1，求(∁RA)∪B； (2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围． 17．(1)设p：x2－2x≤0，q：(x－m)(x－m－3)≤0，若¬p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (2)已知，命题；命题．若均为真命题， 求实数的取值范围． 18．已知函数(其中，为自然对数的底数)是定义在R上的偶函数． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)对，不等式恒成立，求实数的最大值． 19．已知函数，且满足． （1）判断函数在上是否单调，并用定义证明； （2）设函数，求在区间上的最大值； （3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$