江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一上学期数学滚动训练（5）

训练内容：集合、常用逻辑用语、不等式、指数与对数、函数的概念与图象 2024-2025学年第一学期高一数学滚动训练（5）（解析版） 一、单选题： 1．已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是（　　） A.≤m＜ B.m≥0 C.m≥ D.＜m＜ 【答案】B　 【详解】由A∩B＝，可得： ①当B＝∅，2m≥1－m，即m≥时，符合题意； ②当B≠∅，2m＜1－m，即m＜时，由A∩B＝∅， 则或解得0≤m＜，综上可得m≥0， 所以实数m的取值范围是m≥0.故选B. 2．下列选项中，是“是集合M＝{x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}的真子集”成立的必要不充分条件的是（　　） A.a∈（－∞，0） B.a∈（－∞，0] C.a∈（－∞，1] D.a∈（－∞，2） 【答案】D　 【详解】若“是M＝{x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}的真子集”，则M＝{x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}≠， 所以方程ax2＋2x＋1＝0有实数解， 当a＝0时，由2x＋1＝0可得x＝－，符合题意； 当a≠0时，由＝4－4a≥0可得a≤1，所以a≤1且a≠0. 综上，充要条件为a≤1．故选D. 3．不等式≥1解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由≥1，得解得≤x＜3.故选B. 4．区块链作为一种新型技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，若某个密码的长度设定为1 024 B，则密码一共有21 024种可能，为了破解该密码，计算机在一般状态下，最多需要进行21 024次运算.现在有一台计算机，每秒能进行2.5×1014次运算，那么该计算机在一般状态下破译该密码所需的最长时间大约为（参考数据：lg 2≈0.3，≈6.310）（　　） A.6.310×10292 s B.3.232×10292 s C.6.310×10288 s D.3.232×10288 s 【答案】A　 【详解】设计算机在一般状态下破译该密码所需的时间为x s，则有x＝， 两边取常用对数，得lg x＝lg ＝lg 21 024－lg（2.5×1014） ＝1 024lg 2－（lg 25＋13）＝1 024lg 2－（2lg 5＋13） ＝1 024lg 2－2（1－lg 2）－13＝1 026lg 2－15≈292.8， 所以x≈10292.8＝10292×100.8≈6.310×10292.故选A. 5.已知函数f（x）的定义域为[－2，2]，则函数g（x）＝f（3x）＋的定义域为（　　） A.（0，1] B. C. D. 【答案】D　 【详解】即解得0＜x≤， 所以函数g（x）的定义域为.故选D. 6.已知函数f（x）由下表给出，若f（f（x0））＝f（1）＋f（3）f（4），则x0＝（　　） x 1 2 3 4 f（x） 1 3 1 2 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D　 【详解】由题可得，f（f（x0））＝f（1）＋f（3）·f（4）＝1＋1×2＝3， 则f（x0）＝2，故x0＝4.故选D. 7.已知a＞0，b＞0，且＋＝1，则下列不等式不正确的是（　　） A.ab≥16 B.2a＋b≥6＋4 C.a－b＜0 D.＋ 【答案】C　 【详解】对于A，＋＝1≥2，解得ab≥16，当且仅当＝，即a＝2，b＝8时，等号成立， 故A正确； 对于B，2a＋b＝（2a＋b）＝＋＋6≥2＋6＝6＋4， 当且仅当＝，即a＝＋1，b＝4＋2时，等号成立，故B正确； 对于C，当a＝b＝5时，＋＝1成立，此时a－b＝0，故C错误； 对于D，＋＝－＝1－，又ab≥16，所以1－，即＋，故D正确. 故选C. 8．在R上定义运算：xy＝x（1－y），若∃x∈R，使得（x－a）（x＋a）＞1成立，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A　 【详解】（x－a）（x＋a）＝（x－a）[1－（x＋a）]＝－x2＋x＋a2－a＝－＋a2－a＋. ∴∃x∈R，使得不等式（x－a）（x＋a）＞1成立， 转化为y＝－＋a2－a＋的最大值大于1，即a2－a＋＞1成立， 解得a＜－或a＞.故选A. 二、多选题： 9．已知f（x）＝x2＋x＋m，下列命题正确的是（　　） A.命题“∀x＞0，f（x）＞0”的否定是“∃x≤0，使得f（x）≤0成立” B.若命题“∀x∈R，f（x）＞0恒成立”为真命题，则m＞ C.“m＜0”是“方程f（x）＝0有实数解”的充分不必要条件 D.若命题“∃x∈[－1，1]，f（x）＞0”为真命题，则m＞－2 【答案】BCD 【详解】对于A，命题“∀x＞0，f(x)＞0”的否定是“∃x＞0，使得f(x)≤0成立”，故A错误； 对于B，＝1－4m＜0，解得m＞，故B正确； 对于C，若m＜0，则＝1－4m＞1＞0，可知方程f(x)＝0有实数解，即充分性成立； 例如m＝0，方程f(x)＝x2＋x＝0有实数解－1，0，不满足m＜0，即必要性不成立， 所以“m＜0”是“方程f(x)＝0有实数解”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，开口向上，对称轴为x＝－，则f(1)＝1＋1＋m＞0，解得m＞－2，故D正确． 故选BCD． 10．已知关于x的不等式a（x－1）（x＋3）＋2＞0的解集是（x1，x2），其中x1＜x2，则下列结论中正确的是（　　） A.x1＋x2＋2＝0 B.－3＜x1＜x2＜1 C.＞4 D.x1x2＋3＜0 【答案】ACD　 【详解】a（x－1）（x＋3）＋2＝ax2＋2ax－3a＋2＞0的解集为（x1，x2）， ∴a＜0，则∴x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝＜0，则AD正确； 原不等式可化为f（x）＝a（x－1）（x＋3）＞－2的解集为（x1，x2）， 而f（x）的零点分别为－3，1且开口向下，又x1＜x2，如图所示， ∴由图知：x1＜－3＜1＜x2，＞4，故B错误，C正确.故选ACD. 11．已知正实数满足，则(     ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A：若，则，则，A错误； 对于B：因为，设，则， 又，可得，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，即，可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以，故D正确． 故选BCD． 三、填空题： 12．若正实数a满足alg 2＝8，则a的值为　　　　. 【答案】1 000 【详解】因为正数a满足alg 2＝8，所以lg alg 2＝lg 8， 即lg 2×lg a＝3lg 2，所以lg a＝3，解得a＝103＝1 000. 13．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f（x）＝，则函数y＝[f（x）]的值域为____________. 【答案】{0，1} 【详解】当x＝0时，f（x）＝0； 当x≠0时，f（x）＝＝. 由1＋＞1，则0＜＜2，此时0＜f（x）＜2， 所以0≤f（x）＜2， y＝[f（x）]的值域为{0，1}. 14．已知a＞b，关于x的不等式ax2＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立.又存在实数x0，使得a＋2x0＋b＝0成立，则最小值为　　　　. 【答案】2 【详解】因为ax2＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立，所以a＞0，且Δ＝4－4ab≤0，所以ab≥1， 再由∃x0∈R，使a＋2x0＋b＝0成立， 可得＝4－4ab≥0，所以ab≤1，所以ab＝1. 因为a＞b，即a－b＞0，所以＝＝（a－b）＋≥2， 当且仅当a－b＝，即a－b＝时，等号成立， 所以的最小值为2. 四、解答题： 15．（1）lg25＋lg 2×lg 500－lg－log29×log32. （2）. 【答案】（1）0；（2）. 【详解】（1）lg25＋lg 2×lg 500－lg－log29×log32 ＝lg25＋lg 2×lg 5＋2lg 2－lg－log39 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2－lg 2＋1－2 ＝lg 5＋lg 2－1＝1－1＝0. （2） . 16．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋b－1＝0}，集合B＝{x|(x－4)(x2－x－2)＝0}． (1)若b＝－9，且集合C满足：A∩C≠∅，C∪B＝B，求出所有这样的集合C； (2)集合A，B是否能满足(∁UB)∩A＝∅，若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1){2}，{2，－1}，{2，4}或{2，4，－1}；(2)． 【详解】(1)当b＝－9时，A＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}， B＝{x|(x－4)(x2－x－2)＝0}＝{4，2，－1}． 因为C∪B＝B，所以C⊆B． 因为A∩C≠∅，所以C≠∅． 因为A∩B＝{2}，所以2∈C， 故C＝{2}，{2，－1}，{2，4}或{2，4，－1}． (2)因为(∁UB)∩A＝∅，所以A⊆B， 若A＝∅，则满足A⊆B，此时Δ＝9－4(b－1)＜0， 解得b＞． 若－1∈A，则(－1)2－3＋b－1＝0，解得b＝3， 所以x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1或x＝－2，故A＝{－1，－2}，不满足A⊆B，舍去； 若2∈A，则22＋6＋b－1＝0，解得b＝－9， 所以x2＋3x－10＝0，解得x＝－5或x＝2，所以A＝{－5，2}，不满足A⊆B，舍去； 若4∈A，则42＋12＋b－1＝0，解得b＝－27，所以x2＋3x－28＝0，解得x＝－7或x＝4，不满足A⊆B，舍去． 综上，实数b的取值范围是． 17．（1）已知，，，求的值； （2）已知，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）设， 则，，， 可得，即，解得， 所以． （2）令，，，． 由得，， ，， ，即，， ， ， 当时，． 18．设函数y＝ax2－（2a＋3）x＋6，a∈R. （1）若y＝0的解集是{2，3}，求实数a的值； （2）若y＋2＞0恒成立，求实数a的取值范围； （3）当a＝1时，∀t＞－2，关于x的不等式y≤－3x＋3＋m在[－2，t]有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）a＝1；（2）；（3）[11，＋∞）. 【详解】（1）由题意，可得方程ax2－（2a＋3）x＋6＝0的解为x＝2或3， 则解得a＝1. （2）因为y＋2＞0恒成立，即ax2－（2a＋3）x＋8＞0恒成立， 当a＝0时，－3x＋8＞0，不满足题意； 当a≠0时，则则4a2－20a＋9＜0，（2a－9）（2a－1）＜0， 解得＜a＜，所以a的取值范围为. （3）当a＝1时，不等式y≤－3x＋3＋m在[－2，t]有解，即x2－2x＋3≤m， 令h（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，则函数h（x）的对称轴为直线x＝1， 若－2＜t＜1，则h（x）min＝h（t）＝t2－2t＋3≤m恒成立， 则m≥（－2）2－2（－2）＋3＝11， 若t≥1，则h（x）min＝h（1）＝12－2＋3≤m，解得m≥2， 综上所述，∀t＞－2，实数m的取值范围为[11，＋∞）. 19.已知二次函数只能同时满足下列三个条件中的两个： ；不等式的解集为；函数的最大值为． 请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数的解析式； 求关于的不等式的解集． 【答案】满足题意的两个条件是，；见解析. 【详解】当时，不等式的解集不能为， 且函数没有最大值，所以不成立，所以满足题意的两个条件是， 由不等式的解集为， 可设则的对称轴为， 又因为函数的最大值为，所以，解得， 所以； 不等式可化为， ①当时，不等式为，解得，所以不等式的解集为； ②当时，对于一元二次方程，， 所以方程有两个不等实根，，所以不等式的解集为， ③当时，对于一元二次方程，， 1°当时，，一元二次方程无实根，所以不等式解集为； 2°当时，，一元二次方程有两个相等实根，所以不等式解集为； 3°当时，，方程有两不等实根，， 所以不等式的解集为 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为．  1 学科网（北京）股份有限公司 $$内容：集合、逻辑、不等式、指数与对数、函数的概念与图象 2024-2025学年第一学期高一数学滚动训练（5）（原卷版） 一、单选题： 1．已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是（　　） A.≤m＜ B.m≥0 C.m≥ D.＜m＜ 2．下列选项中，是“∅是集合M＝{x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}的真子集”成立的必要不充分条件的是（　　） A.a∈（－∞，0） B.a∈（－∞，0] C.a∈（－∞，1] D.a∈（－∞，2） 3．不等式≥1解集是（　　） A. B. C. D. 4．区块链作为一种新型技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，若某个密码的长度设定为1 024 B，则密码一共有21 024种可能，为了破解该密码，计算机在一般状态下，最多需要进行21 024次运算.现在有一台计算机，每秒能进行2.5×1014次运算，那么该计算机在一般状态下破译该密码所需的最长时间大约为（参考数据：lg 2≈0.3，≈6.310）（　　） A.6.310×10292 s B.3.232×10292 s C.6.310×10288 s D.3.232×10288 s 5. 已知函数f（x）的定义域为[－2，2]，则函数g（x）＝f（3x）＋的定义域为（　　） A.（0，1] B. C. D. 6.已知函数f（x）由下表给出，若f（f（x0））＝f（1）＋f（3）f（4），则x0＝（　　） x 1 2 3 4 f（x） 1 3 1 2 A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知a＞0，b＞0，且＋＝1，则下列不等式不正确的是（　　） A.ab≥16 B.2a＋b≥6＋4 C.a－b＜0 D.＋≥ 8．在R上定义运算：xy＝x（1－y），若∃x∈R，使得（x－a）（x＋a）＞1成立，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题： 9．已知f（x）＝x2＋x＋m，下列命题正确的是（　　） A.命题“∀x＞0，f（x）＞0”的否定是“∃x≤0，使得f（x）≤0成立” B.若命题“∀x∈R，f（x）＞0恒成立”为真命题，则m＞ C.“m＜0”是“方程f（x）＝0有实数解”的充分不必要条件 D.若命题“∃x∈[－1，1]，f（x）＞0”为真命题，则m＞－2 10．已知关于x的不等式a（x－1）（x＋3）＋2＞0的解集是（x1，x2），其中x1＜x2，则下列结论中正确的是（　　） A.x1＋x2＋2＝0 B.－3＜x1＜x2＜1 C.＞4 D.x1x2＋3＜0 11．已知正实数满足，则(     ) A． B． C． D． 三、填空题： 12．若正实数a满足alg 2＝8，则a的值为　　　　. 13．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f（x）＝，则函数y＝[f（x）]的值域为____________. 14．已知a＞b，关于x的不等式ax2＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立.又存在实数x0，使得a＋2x0＋b＝0成立，则最小值为　　　　. 四、解答题： 15．（1）lg25＋lg 2×lg 500－lg－log29×log32. （2）. 16．已知全集U=R，集合A={x|x2+3x+b－1=0}，集合B={x|(x－4)(x2－x－2)=0}. (1)若b=－9，且集合C满足：A∩C≠∅，C∪B=B，求出所有这样的集合C; (2)集合A，B是否能满足(∁UB)∩A=∅，若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由. 17．（1）已知，，，求的值； （2）已知，且，求的最小值． 18．设函数y＝ax2－（2a＋3）x＋6，a∈R. （1）若y＝0的解集是{2，3}，求实数a的值； （2）若y＋2＞0恒成立，求实数a的取值范围； （3）当a＝1时，∀t＞－2，关于x的不等式y≤－3x＋3＋m在[－2，t]有解，求实数m的取值范围. 19.已知二次函数只能同时满足下列三个条件中的两个： ；不等式的解集为；函数的最大值为． 请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数的解析式； 求关于的不等式的解集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$