精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2023-2024学年高二下学期第三次月考数学试题

2023-2024学年度第二学期高二（数学）第三次月考试卷 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：（本题共8小题，每题5分，共计40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由列举法表示出集合M，然后直接利用交集运算求解. 【详解】根据题意，， 则. 故选：A 2. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】对于每个选项，我们将根据已知条件，利用不等式的性质进行分析判断. 【详解】对于A选项，因为，那么. 不等式两边同时除以，得到，即，所以，A选项成立. 对于B选项，由可得， 因为，此时，B选项不成立. 对于C选项，因为，和都是负数，所以，. 又因为，两边同时乘以，得到，即，C选项成立. 对于D选项，因为，和都是负数，绝对值大的反而小. 由，可得，，所以，D选项成立. 故选：B. 3. 已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系与有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质知，，再用组合数的定义验证. 【详解】根据二项式系数的性质，最大的二项式系数出现在正中间的1项或正中间的2项. 即，， 所以，从而. 故选：A. 4. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若回归方程，则变量与正相关 B. 线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C. 在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大 D. 一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为，则事件“至多击中一次”的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】利用正负相关的意义判断A；利用相关指数的意义判断B；利用独立性检验的定义判断C；利用对立事件求出概率判断D. 【详解】对于A，回归方程，由，得变量与负相关，A错误； 对于B，值越接近于1，模型的拟合效果越好，越接近于0，模型的拟合效果越差，B错误； 对于C，在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大， 说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越小，C错误； 对于D，“至多击中一次”的事件是“至少击中两次”的事件的对立事件， 则事件“至多击中一次”的概率为0.3，D正确. 故选：D. 5. 某药厂用甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这三个地区的供货量分别占，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为，， 现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品为优等品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从该厂产品中任意取出一件成品是优等品，则此件优等品可能来自甲、乙、丙三地，所以根据全概率公式的步骤及性质进行运算即可得出其概率. 【详解】设事件表示“药材来自甲地”，事件表示“药材来自乙地”， 事件表示“药材来自丙地”，事件表示“抽到优等品”， 则，，， ， 所以， 所以 ， 所以从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是. 故选：D. 6. 某校高二年级男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.84，则n的值约为（ ） 参考数据：①；②；③ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性与原则即可得解. 【详解】因为，所以，， 因为①， 而，， 所以②， 对比①②两式可知且，则， 所以，解得. 故选：D. 7. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为，利用“1”的代换以及基本不等式求解，从而得到，求解不等式，即可得到答案． 【详解】因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 故选：B． 8. 已知学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，学校有10位数学老师，其中3位男老师，7位女老师，为了实现师资均衡，现从学校任意抽取一位数学老师到学校，然后从学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在B学校抽取到市里上公开课的是男老师的情况下，从A学校抽到B学校的老师也是男老师的概率是（       ）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式可得解. 【详解】设学校抽到学校的老师是男老师事件为M，学校抽取到市里上公开课的是男老师事件为N， 则，， 因而由条件概率公式可得, 故选：A. 【点睛】本题考查了条件概率的简单应用，条件概率的求法，属于基础题. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 C. 不等式的解集是 D. 设，则的最小值为4. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法可判断选项A、C；先写出命题的否定，结合题意利用求解可判断选项B；利用基本不等式可判断选项D. 【详解】对于选项A:因为或. 所以“”是“”的充分不必要条件，故选项A正确； 对于选项B：命题“，使”的否定是. 因为命题“，使”是假命题， 所以为真命题， 则，解得，故选项B正确； 对于选项C：.故选项C错误； 对于选项D：因为， 则，当且仅当，即时取最小值4，故选项D正确. 故选：. 10. 下列命题中，正确的命题的序号为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，且，则当时概率最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对B：根据方差公式可知方差恒不变；对C：根据正态分布的对称性即可求解；对D：根据二项分布概率的性质求解即可判断. 【详解】解：对A：因为随机变量服从二项分布，，， 所以，，解得，故选项A错误； 对B：根据方差公式，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故选项B正确； 对C：因为随机变量服从正态分布，由，可得，利用正态分布的对称性可得，故选项C正确； 对D：因为在10次射击中，击中目标的次数满足， 所以对应的概率， 当，时，， 令，解得， 因为时， 所以当时，概率最大，故选项D正确. 故选：BCD. 11. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：令，即可求得；对B：对原式分别令，对得到的两式相减即可求得奇数项系数和；对C：对B中所得两式相加即可求得偶数项系数和；对D：令，对所得代数式两边乘以2，结合，即可求得结果. 【详解】对A：对，令，可得，故A正确； 对B：对， 令，可得，令，可得， 对上述所得两式相减可得：，则，故B错误； 对C：对由B选项所得两式相加可得：，则，故C正确； 对D：对， 令可得：，则， 由A可知，，故，故D错误； 故选：AC. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 数学中有一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称为“回文数”，如22，585，3443等．由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成5位“回文数”的个数为_________． 【答案】294 【解析】 【分析】依据回文数对称的特征，可知万位和个位数字相同，千位和十位数字相同，且万位数字不为0，进而求解. 【详解】依据回文数对称的特征， 万位和个位数字相同，千位和十位数字相同， 万位数字，从1，2，3，4，5，6中取一个，有6种选择； 千位数字，从0，1，2，3，4，5，6中取一个，有7中选择； 百位数字，从0，1，2，3，4，5，6中取一个，有7中选择， 则有， 故答案为：294 13. 已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得一元二次不等式的解集是，由此列式算出实数的值． 【详解】，即，解集是， 所以，且是方程的两个实数根， 于是由韦达定理可得， 解得不符合题意，舍去）． 故答案为：． 14. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则__________． 【答案】##1.25 【解析】 【分析】设，分析可得，进而利用二项分布的方差公式可得，再结合方差的性质求解即可. 【详解】设“向右下落”，“向左下落”，则， 设，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以， 则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人. （1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系； 性别 运动达标情况 合计 运动达标 运动欠佳 男生 女生 合计 （2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率. 参考公式，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表： 性别 运动达标情况 合计 运动达标 运动欠佳 男生 20 5 25 女生 40 35 75 合计 60 40 100 能认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知数据完成列联表，计算，与临界值比较得结论； （2）由分层抽样确定男女生人数，利用组合数公式和古典概型求解. 【小问1详解】 100名高中生，运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，则运动达标人数为， 运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，则运动达标的女生有40人，运动达标的男生有20人， 列联表为 性别 运动达标情况 合计 运动达标 运动欠佳 男生 20 5 25 女生 40 35 75 合计 60 40 100 零假设为：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05. 【小问2详解】 因为“运动达标”的男生､女生分别有20人和40人， 按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生､女生分别抽到2人和4人， 则选中的2人中恰有一人是女生的概率为. 16. 已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列的通项公式运算求解；（1）分奇偶项讨论，利用分组求和、裂项相消法和错位相减法运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ∵，即，可得，解得， ∴数列的通项公式为，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得，则， 当为偶数时，则， ∵， 设， 则， 两式相减得：， 则， 故； 当为奇数时，则； 综上所述：. 17. 如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，，. （1）求证：平面； （2）设线段与交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，设交于点，连接， 在圆锥中，底面圆，底面圆，所以， 又等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，为直径，所以， 所以，所以， 可知，即是的中点， 又是母线的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，即可证明是的中点，从而得到，即可得证； （2）由（1）可得平面，建立空间直角坐标系，由得到，利用空间向量法求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，，所以平面，又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为线段与交于点，，， 所以，即，所以， 又，所以， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，即， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下： 1 2 3 4 5 6 7 5 8 8 10 14 15 17 （1）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望． 参考公式：，，，． 【答案】（1） （2）的分布列如下表： 0 300 600 900 1200 总金额的数学期望为元． 【解析】 【分析】(1)由题意可得，，则，，关于的线性回归方程为． (2)由题意可知二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为：，，，．据此可得分布列，计算相应的数学期望为元． 【小问1详解】 依题意：， ，，， ，， 则关于的线性回归方程为． 【小问2详解】 二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为： ，，， ，． 所以，总金额的分布列如下表： 0 300 600 900 1200 总金额的数学期望为元． 19. 已知函数. （1）当时，证明：是增函数. （2）若恒成立，求的取值范围. （3）证明：（，）. 【答案】（1） 证明：当时，，定义域为， 则. 令，则在上恒成立， 则在上单调递增， 则，故在上恒成立，是增函数. （2） （3） 证明：由（2）可知，当时，有，则， 所以，…，， 故. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，得到答案； （2）参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性和最值，得到，求出的求值范围； （3）由（2）可知，当时，，所以，…，，相加后得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，等价于， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以. 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，所以，即，故的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由前面几问中的特征式的特征而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期高二（数学）第三次月考试卷 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：（本题共8小题，每题5分，共计40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 3. 已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系与有关 4. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若回归方程，则变量与正相关 B. 线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C. 在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大 D. 一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为，则事件“至多击中一次”的概率为 5. 某药厂用甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这三个地区的供货量分别占，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为，， 现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品为优等品的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某校高二年级男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.84，则n的值约为（ ） 参考数据：①；②；③ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，学校有10位数学老师，其中3位男老师，7位女老师，为了实现师资均衡，现从学校任意抽取一位数学老师到学校，然后从学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在B学校抽取到市里上公开课的是男老师的情况下，从A学校抽到B学校的老师也是男老师的概率是（       ）（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 C. 不等式的解集是 D. 设，则的最小值为4. 10. 下列命题中，正确的命题的序号为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，且，则当时概率最大 11. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 数学中有一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称为“回文数”，如22，585，3443等．由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成5位“回文数”的个数为_________． 13. 已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 __． 14. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则__________． 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人. （1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系； 性别 运动达标情况 合计 运动达标 运动欠佳 男生 女生 合计 （2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率. 参考公式，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求. 17. 如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，，. （1）求证：平面； （2）设线段与交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下： 1 2 3 4 5 6 7 5 8 8 10 14 15 17 （1）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望． 参考公式：，，，． 19. 已知函数. （1）当时，证明：是增函数. （2）若恒成立，求的取值范围. （3）证明：（，）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $