2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式导学案（第一课时） 一、学习目标 1.理解一元二次方程、不等式与二次函数的关系，了解函数的零点与方程的根的关系；（数学抽象） 2.掌握利用二次函数及其图像解一元二次不等式，并能用集合正确表示不等式解集；（数学运算、直观想象） 3.掌握恒分类讨论。 二、学习重难点 重点：一元二次不等式的解法及三个二次之间的关系。 难点：解决分类讨论问题 3、 知识点自主预习 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解集： 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 四、典例详解 考点01：三个二次之间的关系 例1．（1.（多选）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误. 【详解】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD (2．关于的不等式 (1)若此不等式对于一切都成立，求的取值范围； (2)若此不等式解集为或，求的值. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）分与讨论即可求解； （2）由题意可得，且是方程的两个根，根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）当时，不恒成立，故舍去； 当时，，解得. 综上所述，的取值范围为. （2）因为的解集为或， 则，且是方程的两个根， 则，解得. 考点02：解不含参数的一元二次不等式 例2（1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集． 【详解】由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C （2．解出下列一元二次不等式的解． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）直接因式分解即可求解； （2）利用配凑法即可求解. 【详解】（1）由，得， 解得：或， （2），即，即，解得. 则其解集为. 考点03：解分式不等式 例3（1．不等式的解集是（   ） A．｛x|-2≤x≤1} B．或 C．或 D．｛x|} 【答案】D 【分析】化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】不等式可化为， ∴，解得. 所以不等式的解集为｛x|} 故选：D. （2．不等式的解： (1)； (2). 【答案】(1) (2)｛x|1<x<8} （1）将分式不等式转化为一元二次不等式的求解. （2）将分式不等式转化为一元二次不等式的求解. 【详解】（1），故. （2），故1<x<8. 所以不等式的解集为｛x|1<x<8}. 考点04：解含参数的一元二次不等式 例4（1．解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】对不等式变形为，然后对进行合理分类讨论即可. 【详解】原不等式变为， ①当时，原不等式可化为， 所以当时，解得； 当时，解集为； 当时，解得 ②当时，原不等式等价于，即. ③当时，，原不等式可化为， 解得或. 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或. （2．解下列关于的不等式：． 【答案】答案见解析. 【分析】对分三种情况讨论得解. 【详解】由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为． （3．解不等式 【答案】答案见解析 【分析】本题中由于的系数大于，故只需考虑与根的情况，分别求出不等式的解集. 【详解】解：∵，， ∴当即时，不等式的解集为； 当即时，不等式的解集为且； 当或即时，此时方程两根分别为，，显然， ∴不等式的解集为或； 综上可得：当时解集为，当时解集为且， 当或时解集为或； 考点05：由一元二次不等式解确定参数 例5（1．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【详解】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C （2．若不等式的解集为 (1)求，b，c之间的关系，并判断的正负； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先由题意及根与系数的关系得到，，可得解； （2）把不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 则是方程的两根， 所以， 故，此时； （2）， 解得：或， 所以不等式的解集为或. 考点06：一元二次方程根的分布 例6．已知方程，在下列条件下，分别求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在｛x|-1<x<0}内，另一个根在｛x|2<x<4}内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在｛x|0<x<2}内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在｛x|0<x<2}内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在｛x|-2<x<0}内，另一个根在｛x|0<x<4}内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在｛x|0<x<2}内无实根． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】利用二次函数根的分布情况逐项分析求解. 【详解】（1）对于方程， 两个不同的正根，且设两根分别为,，则， 即，解得. 故有两个不同的正根的范围为. （2）两个不同的负根，且设两根分别为，，则， 即，解得. 故有两个不同的负根的范围为. （3）令，一个根在内，另一个根在内， 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内的范围为. （4）两个不同的根都大于，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都大于则的范围为. （5）两个不同的根都小于1，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都小于1，则的范围为. （6）一个根大于1，一个根小于1，则得，解得； 故一个根大于1，一个根小于1，则的范围为. （7）两个不同的根都在内， 即，即，解得， 故两个不同的根都在内，则的范围为. （8）有两个不同的根，有且仅有一个根在内， 则，即，解得. 当时，方程两根为，符合， 故有两个不同的根，有且仅有一个根在内，则的范围为. （9）一个根小于2，一个根大于4； 则，即，解得. 故一个根小于2，一个根大于4，则的范围为. （10）一个根在内，另一个根在内； 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内，则的范围为. （11）一个正根，一个负根，且正根绝对值较大， ，即，解得. 故一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，则的范围为. （12）在内无实根： 即或或或， 即或或或， 解得或， 故在内无实根时，则的范围为. 5、 练习提升 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解分式不等式的解集. 【详解】因为，所以. 即，可得，解得. 故选：D. 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】， 所以， 原不等式的解集为． 故选：D． 3．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 4．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 5．（多选）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根的关系，利用韦达定理即可求解. 【详解】由题意知，和是方程的两个实数根，则， 故且，解得，， 故选：AC. 6．（多选）已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】解不等式求得：，利用充分不必要条件的概念计算即可. 【详解】由，解得. 要满足题意，只需在的子集中确定即可， 显然和都是命题成立的充分不必要条件. 故选：AB. 7．（多选）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，则（    ） A． B． C．若实数，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由图可分析符号即可判断A；根据对称性可知函数与x轴交于另一点-1<x<0，代入可得，然后可确定B；由及，结合二次函数即可判断C；根据题意可得代入即可计算. 【详解】由图可知，，时，，所以，故A错误； 因为与x轴交于点，对称轴为，所以与x轴交于另一点-1<x<0，， 则，又，所以，故B正确； 因为，，所以，故C正确； 因为是函数的零点，所以， 则，即， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 8．一元二次不等式的解集为 . 【答案】 【分析】直接解不含参的一元二次不等式即可得解. 【详解】. 故答案为：. 9．已知方程的两个根为和，则 . 【答案】 【分析】利用韦达定理，结合配方法来求解即可. 【详解】因的两个根为， 则， 所以. 故答案为： 10．已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由，考虑，当时，等价转化成方程的两根在集合，再由二次方程根的分布问题求解即可. 【详解】由解得， 所以，要使，则存在以下两种情况． （1）若，即方程无实数根，则，解得． （2）若，设方程的两根为，， 设，画出函数图象，如答图7-1，分析可知，    方程的两根，都在上， 故应满足，解得． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：. 11．求下列不等式的解集： (1); (2)； (3)； 【详解】（1）原不等式可化为，即， 所以， 故原不等式的解集为 （2）由可得， 即，解得， 所以不等式的解为｛x|}. （3）由可得， 即，解得且， 所以不等式的解集为｛x|且}. 12．不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）当 时， 显然恒成立； 当 时，不等式 对一切实数 都成立， 则 ，解得 ． 综上，A=｛x|-3<x≤0}. ． （2）因为“”是“”的充分条件， 所以． 又 ，即 在 上恒成立． 令 ， 则 ， 解得 ， 所以的取值范围为｛x|}.． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式导学案（第一课时） 一、学习目标 1.理解一元二次方程、不等式与二次函数的关系，了解函数的零点与方程的根的关系；（数学抽象） 2.掌握利用二次函数及其图像解一元二次不等式，并能用集合正确表示不等式解集；（数学运算、直观想象） 3.掌握恒分类讨论。 二、学习重难点 重点：一元二次不等式的解法及三个二次之间的关系。 难点：解决分类讨论问题 3、 知识点自主预习 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解集： 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 四、典例详解 考点01：三个二次之间的关系 例1．（1.（多选）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 (2．关于的不等式 (1)若此不等式对于一切都成立，求的取值范围； (2)若此不等式解集为或，求的值. 考点02：解不含参数的一元二次不等式 例2（1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 （2．解出下列一元二次不等式的解． (1) (2) 考点03：解分式不等式 例3（1．不等式的解集是（   ） A．｛x|-2≤x≤1} B．或 C．或 D．｛x|} （2．不等式的解： (1)； (2). 考点04：解含参数的一元二次不等式 例4（1．解关于x的不等式. （2．解下列关于的不等式：． （3．解不等式 考点05：由一元二次不等式解确定参数 例5（1．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2．若不等式的解集为 (1)求，b，c之间的关系，并判断的正负； (2)求关于的不等式的解集. 考点06：一元二次方程根的分布 例6．已知方程，在下列条件下，分别求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在｛x|-1<x<0}内，另一个根在｛x|2<x<4}内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在｛x|0<x<2}内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在｛x|0<x<2}内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在｛x|-2<x<0}内，另一个根在｛x|0<x<4}内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在｛x|0<x<2}内无实根． 5、 练习提升 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 4．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，则（    ） A． B． C．若实数，则 D．若，则 8．一元二次不等式的解集为 . 9．已知方程的两个根为和，则 . 10．已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 11．求下列不等式的解集： (1); (2)； (3)； 12．不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$