24.3 正多边形和圆 暑期预习讲义 2025—2026学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦正多边形与圆的核心知识点，系统梳理正多边形定义（边等角等）、与圆的关系（外接内切圆同心）、基本量计算（中心角360°/n、内角(n-2)×180°/n、边长与半径关系等）、画法及对称性，为后续圆的计算奠定基础。 资料通过思维导图构建知识体系，结合几何直观（画图理解性质）和推理意识（公式推导如边长a=2Rsin(180°/n)），设计易错点提醒与分层练习（如正六边形AP长计算）。课中助教师高效授课，课后学生可通过练习巩固运算能力，弥补知识盲点。

2025-2026学年人教版数学九年级上册 24.3 正多边形和圆（暑期预习讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解正多边形的定义及其基本性质 2. 掌握正多边形与圆的关系 3. 学会计算正多边形的中心角、边长、半径等基本量 4. 能够画简单的正多边形 5. 理解正多边形的对称性 6. 能够解决正多边形与圆相关的简单问题 知识点梳理 1. 正多边形的定义 · 各边相等 · 各角相等 · 具有旋转对称性和轴对称性 2. 正多边形与圆的关系 · 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 · 两圆同心，圆心称为正多边形的中心 · 外接圆半径（R）：中心到顶点的距离 · 内切圆半径（r）：中心到边的距离 3. 正多边形的基本量计算 · 中心角：360°/n（n为边数） · 每个内角：(n-2)×180°/n · 边长与半径关系：a=2Rsin(180°/n) · 边心距（内切圆半径）：r=Rcos(180°/n) 4. 正多边形的画法 · 用量角器等分圆周法 · 用圆规和直尺画特殊正多边形（如正六边形） 5. 常见正多边形的特性 · 正三角形：中心角120°，内角60° · 正方形：中心角90°，内角90° · 正五边形：中心角72°，内角108° · 正六边形：中心角60°，内角120° 易错点提醒 1. 混淆正多边形的外接圆和内切圆 2. 计算中心角时忘记除以边数 3. 忽视正多边形必须同时满足边等和角等 4. 特殊正多边形（如正六边形）的性质记忆错误 5. 画图时边长或角度不准确 6. 半径与边心距概念混淆 7. 计算内角时公式应用错误 8. 忽视正多边形的对称轴数量 知识点小结 1. 核心概念：正多边形定义、与圆的关系 2. 关键公式：中心角=360°/n，内角=(n-2)×180°/n 3. 重要关系：a=2Rsin(180°/n)，r=Rcos(180°/n) 4. 数学思想：数形结合、对称思想 5. 重点掌握：基本量计算、简单作图 6. 难点突破：公式推导、综合应用 7. 注意事项： · 严格区分外接圆和内切圆 · 计算时注意单位统一 · 画图要准确 · 注意正多边形与一般多边形的区别 注：本节内容要注重几何直观，通过画图加深理解。掌握正多边形与圆的密切关系，为后续学习圆的相关计算打下基础。特别注意正多边形的对称性特征，这是其重要性质。 巩固练习 一、选择题 1．为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三．角形，符合条件的点C的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是 ，则该正多边形边数是（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则 （ ） A．160° B．100° C．80° D．20° 6．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OC的中垂线交弧AC于点E，连结AE、EC、CB，则下列结论错误的是（　　） A．∠AEC =135° B．∠BCE=105 C．=2 D．EC=2EA 7．公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H是上的八等分点，任意取其中的三个点组成一个三角形，则组成钝角三角形的个数是（　　） A．12个 B．18个 C．24个 D．32个 8．加图，四边形ABCD内接于交CB的延长线于点，若BA平分，则（　　） A．5 B．4 C． D． 二、填空题 9．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连结DF，则∠FDC的度数是　 　． 10．如图，是的外接圆，若，弦是内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为　 　． 11．如图，在半径为 3 的 上，以 3 为半径依次截取点六个点，并连结得六边形 ．连结 ，则四边形 的面积是　 　． 12．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 13．如图，分别切于点是上一点，是上一点．若，则的度数是　 　． 14．如图，、是切线，切点为B、C，连接，若是等边三角形，弦所对的圆周角为　 　． 15．如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM'，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM'的对称点C，画直线BC交OM'于点D，连接AC，AD，有下列结论： ①AD=CD； ②∠ACD的大小随着α的变化而变化； ③当α=30°时，四边形OADC为菱形； ④△ACD面积的最大值为a2； 其中正确的是　 　．（把你认为正确结论的序号都填上）． 16．如图，边长为6的正方形内接于，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接，分别与交于点G，H，且，有以下结论：①；②周长的最小值为；③随着点E位置的变化，四边形的面积始终为9.其中正确的是　 　.（填序号） 三、解答题 17．如图，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接正三角形、内接正四边形、内接正五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动． （1）在图1中，求∠APB的度数． （2）在图2中，求∠APB的度数；在图3中，求∠APB的度数． （3）根据前面的探索，若多边形ABCDE……是⊙O的正n边形，则∠APB的度数是(用含n的代数式表示)． 18．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． （1）如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． （2）在（1）的条件下，若的半径为． ①则的长是______． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． （3）在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 19．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，P是ED的中点，连结AP．求AP的长． 20．用直尺和圆规在下面的圆中分别作出圆的内接正方形、正十二边形． 参考答案 1．B 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．C 8．C 9．36° 10．十二 11． 12．九 13． 14．60或120 15．①③④ 16．①③ 17．（1）解：∵点M和点N的速度相同， ∴，∴∠BAM=∠CBN， ∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°， ∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=120°． （2）解：在题图2中，∵∠BAM=∠CBN， ∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=90°， ∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=90°． 在题图3中，∵∠BAM=∠CBN， ∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=108， ∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=72°． （3）解：如图， ∵∠BAM=∠CBN， ∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=180°-， ∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)= 故答案为 18．（1）解：由题意得： 四边形是圆美四边形， ， ， ． （2）解：①， ②如图，连接，在（1）的条件下， ，， 平分， ， ， ， 是等边三角形，延长到，使得， 又，， ， ，， ， 为等边三角形， 则， 即， ． （3）解：如图，延长和交于点， 在（1）的条件下，，， 是直径， ，， ， ，， 在中， ， ， 即， 解得：． 19．解：连结AE，过点F作FH⊥AE于点H， ∵正六边形ABCDEF，点P为ED的中点， ∴EP=ED=1，AE=EF=ED=2，∠AFE=∠AED=120°， ∴∠FAE=∠FEA=（180°-120°）=30°，AE=2HE， ∴FH=EF=1， ∴， ∴， ∵∠AEP=∠FED-∠FAE=120°-30°=90°， ∴. 20．解：如图， 此四边形就是所求作的圆的内接正方形 此十二边形就是所求作的圆的内接十二边形. 学科网（北京）股份有限公司 $$