第四章图形的相似 章末检测卷-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第四章图形的相似章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 一、单选题 1．如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．如图，是斜边上的高线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，经过正方形对称中心的直线分别交的延长线、、于点、、，已知，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 4．已知点是线段的黄金分割点，且，若线段，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点在边上，过点作交于点，过点作交于点，连接交于点，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 6．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段长为（    ）    A．24 B．32 C．36 D．48 7．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．线段与线段交于点，连接、、、，若，且，，，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．已知：如图，矩形中，对角线交于点O，过D作于E，并延长交于F，连接，以下结论：①；②；③；④若F为中点，则；其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 二、填空题 11．在与中，已知，且的周长为，则的周长为 ． 12．旗杆的影子长，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是，如果此时附近一座纪念塔的影子长，那么这座纪念塔高 ． 13．如图，等边的边长为8，D为上的一点，，P是线段上的一动点（点P不与点A，D重合）．若点P和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为 ． 14．如图，是的中位线，作的平分线交于点G，连接，交于点F．若，当 时，与相似． 15．如图，点E是平行四边形边的中点，连接交于点F．现假设可在平行四边形区域内随机取点，则这个点落在部分的概率为 ． 16．如图，在菱形中，，点是上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接与交于点，若，则 ． 三、解答题 17．如图，在平面直角坐标系中，中A点的坐标为，B点的坐标为． (1)将绕点O顺时针旋转得到，请你画出旋转后的图形； (2)请用无刻度直尺作的角平分线，交x轴于点E，并求出的长． 18．如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，交于点H，过点F作交于点G，已知，． (1)填空：= （填数值）． (2)求的长； (3)若，在上述条件和结论下，求的长． 19．如图，和是两个等腰直角三角形，，的顶点E位于边 的中点上．设与交于点M，与交于点N，求证：． 20．在中，，，P是线段延长线上的一个动点，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接，． (1)如图，当时． ①与_________相似，； ②求证：； ③已知，，求与之间的数量关系； (2)当时，若，，请直接写出的长． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点G是线段上一动点，若直线把分成的两部分，求点G的坐标； (3)已知D为的中点，点P是第二象限内一点，当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，求点P的坐标． 22．（1）尝试探究：如图，在正方形中，边长为a，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，并且，若，则______； （2）类比延伸：如图，在长方形中，，，点E，F，G，H分别在长方形的四条边上，并且，若，则______； （3）拓展应用：如图，在中，，，D，E分别在边和上，并且，若，，则和的数量关系为：______，并写出解答过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章图形的相似章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A D A D C A A 1．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． 2．C 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理的实际应用、完全平方公式的应用，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 根据两个对应角相等可证，，，再由相似三角形的性质可推得，，，可判断选项、选项、选项的正误；结合勾股定理、完全平方公式即可判断选项． 【详解】解：依题得：， ，， ，， ，，， ，，，则选项、选项错误； ， 即，则选项正确； 中，， 又， ， 即，则选项错误． 故选：． 3．A 【分析】本题考查了正方形的性质，中心对称的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．由正方形的性质可得，，，，再证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， ， ， 点是正方形的对称中心， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查黄金分割的含义． 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，根据概念列比例式即可求解． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴， 而， ∴． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据平行线分线段成比例可知，得到，然后可证，得到，接着根据题意易证四边形是平行四边形，得到，最后由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得到求解即可． 【详解】解：如图，过作交格线于，则于，    由题意，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据矩形的性质，得到，进而列出方程即可． 【详解】解：∵井的截面图为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 8．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．由平行四边形的性质可得、，根据平行线分线段成比例定理可得，再证，则可得，从而可得． 【详解】解：∵， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ， ， ， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证，根据对应边成比例求出的长度，再证，利用面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】如图：∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：， 经检验，都是原方程的根， ∵，即，且， ∴， ∴， 当时，， ； 当时，， ； 故选：A． 10．A 【分析】本题考查的是矩形的性质及相似三角形判定与性质，根据矩形性质得出，，则 ，即可判定①；证明即可判定②；证明即可判定③；证明得出，设，则，求出即可判定④． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ；故②正确； ， ， ，即，故③正确； ， ， ， 为中点， 设，则， ， （负值已舍）， ， ， ，故④正确， 故正确的结论有：①②③④； 故选：A． 11．12 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，特别是周长比与相似比的关系。 根据周长比等于相似比即可求解。 【详解】． 又的周长为， 的周长为． 12． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．由题意可知旗杆的高度为，根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解． 【详解】解：设这座纪念塔的高度为， 由题意得：旗杆的高度为， ∴， 解得：； 故答案为：． 13．或 【分析】过点作于点，利用勾股定理和等边三角形的性质求出；根据题意，分两种情况讨论，即或，进而证明与，利用相似三角形的性质列出避雷线即可求出的长． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵等边的边长为， ， ， ， ， ， 分两种情况：①如下图，连接，若， ， ， ，即，解得， ②如下图，连接，若， ， ， ，即，解得， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的证明及性质的使用是解决本题的关键． 14．8或 【分析】先根据三角形的中位线性质得到，，再根据平行线的性质和角平分线的性质得到，则，再分和两种情况，利用相似三角形的性质分别讨论求解即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ①当时，则， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，则G为的中点； ∴； ②当时，则， ∵，， ∴， 设，，则，， ∵， ∴， ∴，即， 整理，得， 解得，（负值，舍去） ∴， 综上，当或时，与相似． 故答案为：8或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 15． 【详解】本题考查几何概率和平行四边形的性质，先设整个图形的面积是x，根据平行四边形的性质得出的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案． 【解答】解：设整个图形的面积是x， ∵四边形是平行四边形，点E是的中点， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， ∴这个点落在部分的概率为． 故答案为：． 16． 【分析】延长，交延长线于，在上截取，连接，，过于，由菱形的性质及，可证，进而可得，设菱形的边长，，则，，由旋转可知：，，进而可证得，得，，易知，可得，则，再证，可得，进而得，在中，，则，据此可得，整理得，可得，，即可求解． 【详解】解：延长，交延长线于，在上截取，连接，，过于，    ∵四边形是菱形，， ∴，， 则，， ∴， ∴，即：， 设菱形的边长，， 则，， 由旋转可知：，， ∴， 又∵，则， ∴， 又∵，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，则， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴，则， 则， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ， 在中，，则 即：， 整理得：， 即：，亦即， 则，（舍去） ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造与，再利用勾股定理及相似三角形的性质建立等式是解决问题的关键． 17．(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】此题考查旋转作图，旋转的性质， （1）根据旋转的性质作图即可； （2）选取格点C，连接即为的角平分线，利用勾股定理，相似三角形的判定与性质求出的长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，取格点C，连接交x轴于点E，即为的角平分线， ∵，， ∴， ∴与都是直角三角形，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质． （1）由，推出； （2）由，推出，可得结论； （3）由，得到，推出，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，由等腰直角三角形的性质得到，，，进而得到，，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．(1)①， ②证明见解析 ③ (2) 或 【分析】（1）①证明，得到即可； ②根据，结合，证明； ③根据，列出比例式求解即可； （2）根据时，，均为等腰三角形，推出，根据角的和差关系，推出，证明，列出比例式出，求出的长即可求出的长度，因此只需要在中求出即可． 【详解】（1）解：①，， ∴， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； ②由①知：，， ∴，， ∴， ∴， ③∵，，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，由题可知：， 因此如图1、图2所示，过B点作交延长线于点M， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图1： ， 此时：， ∴此时：； 如图2： 此时：， ∴此时：； ∴的长为：或者． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质等知识．正确应用相似三角形的判定及性质是解题的关键，特别要注意两个三角形相似时的对应关系． 21．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）待定系数法求出直线解析式即可； （2）根据题意先求出的面积，再设，，分两种情况①当时和②当时求出点G的坐标即可； （3）当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，则存在或，分类求解即可． 【详解】（1）解：由得：，， ∵点， 设直线的解析式为，将点B，C的坐标代入得： ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 设，， 分以下两种情况： ①当时，即， ∴， 解得， ∴； ②当时，即， ∴， 解得， ∴． 综上，点G的坐标为或； （3）解：当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，则存在或， 分以下两种情况讨论： 当时，如图， 则且， 即且， ∵D是的中点， 则， 则点； 当时，如图， 则， 则， 过点P作交y轴于点H，则，则点，则点N是的中点， ∵的表达式为：，， 则直线的表达式为：， 联立和的表达式得：， 则， 即点， ∵点N是的中点， 则由中点坐标公式得：点， 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形相似等，熟练掌握分类讨论是关键． 22．（1）；（2）；（3），过程见解析 【分析】（1）作交于点，交于点，交于点，设与分别交于点，点，由正方形的性质得，，可证明，，因为，所以，推导出，可证明，则，于是得到问题的答案； （2）作交于点，交于点，交于点，设交于点，可证明，，因为，所以，推导出，可证明，则，求得，于是得到问题的答案； （3）作交的延长线于点，设交于点，因为，所以，则，而，可推导出，再证明，得，再证明，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）如图，作交于点，交于点，交于点，设与分别交于点，点， 四边形是长为的正方形，点，，，分别在正方形的四条边上， ，，，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， 故答案为：． （2）如图，作交于点，交于点，交于点，设交于点， 四边形是矩形，， ，点，，，分别在矩形的四条边上， ，，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （3）如图（3），过点C作交的延长线于点，设交于点， ，，，分别在边和上， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$