24.2.2 直线与圆的位置关系 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 24.2.2 直线与圆的位置关系 （暑期预习讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解直线与圆的三种位置关系及其判定方法 2. 掌握用圆心到直线的距离判断位置关系的方法 3. 能够根据方程组解的个数判断直线与圆的位置关系 4. 理解切线的基本性质 5. 能够解决直线与圆位置关系的简单应用问题 知识点梳理 1. 位置关系分类 · 相离：直线与圆没有公共点 · 相切：直线与圆有唯一公共点（切点） · 相交：直线与圆有两个公共点（交点） 2. 判定方法 · 几何法：比较圆心到直线的距离d与半径r的大小关系 · d > r ⇔ 相离 · d = r ⇔ 相切 · d < r ⇔ 相交 · 代数法：联立方程求判别式Δ · Δ < 0 ⇔ 相离 · Δ = 0 ⇔ 相切 · Δ > 0 ⇔ 相交 3. 切线性质 · 切线与半径垂直 · 切线与圆有且仅有一个公共点 · 切线长定理：从圆外一点引两条切线，切线长相等 4. 特殊情形 · 过圆上一点的切线有且仅有一条 · 过圆外一点的切线有两条 · 过圆内一点的直线必与圆相交 易错点提醒 1. 混淆直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系 2. 忽视切线判定中"垂直"这一关键条件 3. 计算距离时公式应用错误 4. 代数法中联立方程求解不完整 5. 切线长定理应用时忽略"圆外一点"的前提 6. 将割线误认为切线 7. 几何法与代数法混用导致矛盾 8. 忽视图形中隐含的位置关系 知识点小结 1. 核心概念：三种位置关系、切线性质 2. 关键方法：距离比较法、判别式法 3. 重要定理：切线长定理 4. 数学思想：数形结合、分类讨论 5. 重点掌握： · 位置关系的判定 · 切线性质的运用 6. 难点突破： · 综合问题的分析 · 隐含条件的挖掘 7. 注意事项： · 严格区分不同判定方法 · 注意几何与代数的对应关系 · 画图辅助分析 注：本节内容是圆与直线关系的核心知识，要重点理解位置关系的判定方法，特别是切线性质的运用。通过典型例题掌握解题思路，注意几何直观与代数运算的结合应用。 巩固练习 一、选择题 1．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(　　) A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 3．如图，⊙O与正方形ABCD的边AB，AD相切，且DE与⊙O 相切与点E，若⊙O 的半径为5，且AB=12，则DE=（　　） A．5 B．6 C．7 D． 4．在黑板上有如下内容：“如图，是半圆所在圆的直径，，点在半圆上，过点的直线交的延长线于点．”王老师要求添加条件后，编制一道题目，下列判断正确的是（　　） 嘉嘉：若给出，则可证明直线是半圆的切线； 淇淇：若给出直线是的切线，且，则可求出的面积． A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．嘉嘉和淇淇的都不正确 D．嘉嘉和淇淇的都正确 5．如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（　　） A．或5 B．5或6 C．或6 D．5 6．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ） A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm 7．内接于，过点A作直线EF，已知，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF与的位置关系： 甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与相切； 乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与相切； 下列判断正确的是（　　） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 8．如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（　　） A． B．3 C． D．4 二、填空题 9．在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为　 　步． 10．如图，已知是的内切圆， （1）若，则　 　°； （2）如图，若与边相切于点P，且，，，则　 　． 11．如图，的半径为2，点O到直线l的距离为5，点 P 是直线l上的一个动点．若切于点 B，则的最小值是　 　 12．如图，在直角坐标系中， 的圆心A的坐标为 ，半径为1，点P为直线 上的动点，过点P作 的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是　 　． 13．如图，已知的半径为2，圆心P在抛物线上运动；当与x轴相切时；圆心P的坐标为　 　. 14．的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与的位置关系是　 　. 15．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为　 　． 16．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，AB=4 ．若动点D在线段AC上(不与点A，C重合)，过点D作DE上AC交AB边于点E若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE= 　 　 时，⊙C与直线AB相切． 三、解答题 17．如图，四边形内接于，是的直径，平分，于点E． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求直径的长． 18．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图①中，A、B、C三点是格点，D是圆和网格线的交点，请你画出经过A、B、C三点的圆的圆心O，并在该圆上画出点E，使（画出1个点E即可）； （2）在图②中，经过格点A和格点B，圆心O也在格点上，点C是和网格线的交点，请在上作出点D，使得，并过点C作的切线． 19．如图，AB为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，弦AC∥OP，PC交BA的延长线于Q． （1）求证：PC是⊙O的切线． （2）若OA=AQ=3，则①PC=　 　，②△PBQ的面积为　 　． 20．在平面直角坐标系中，对于点P，O，Q给出如下定义：若且，我们称点P是线段的“潜力点”．已知点，． （1）在，，中是线段的“潜力点”是________； （2）若点P在直线上，且为线段的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围； （3）直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段上存在线段的“潜力点”时，直接写出b的取值范围． 21．如图：已知的直径，点为上一点，为的切线，是半径上任一点，过点作分别交，于，两点. 图1 图2 （1）如图1，当与圆心重合时， ①求证：； ②若，求图中阴影部分的面积； （2）如图2，连接，当时，交于点，，求的长度. 22．如图，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD. （1）若BC//AD，以顶点D为圆心，DA的长为半径作圆，请指出⊙D与直线BC的位置关系，并说明理由； （2）当AB＝2 ，∠BCD＝30°时，求四边形ABCD的面积的最大值； （3）若BC＝1，CD＝2，AC＝3，求∠BCD的度数. 参考答案 1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 6．D 7．C 8．A 9．6 10．（1）115 （2）10 11． 12．2 13．（，2）或（-，2）或（0，-2） 14．相交 15．∠ABC=90° 16．或 17．（1）解：直线与相切， 理由：连接，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：设，交于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故直径的长为． 18．（1）解：如图（任画一个E点即可） （2）解：如图 画法1画法2 19．（1）证明：连接OC． ∵AC∥OP， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵OA=OC， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠4， 在△OPC和△OPB中 ∴△OPC≌△OPB（SAS）， ∴∠OCP=∠OBP， ∵PB是⊙O的切线， ∴∠OBP=90°， ∴∠OCP=90°， ∴PC是⊙O的切线； （2）； 20．（1）， （2） （3） 21．（1）解：①为的切线，为半径， ， ， ， 为直经， ， ， ②当时， ， ， 直经， 半经 根据勾股定理得，即， 解得 （2）解：连接与交于点 为直经， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， ， 设，则 根据勾股定理得，即， 解得， 22．（1）解：如图所示： 以顶点D为圆心，DA的长为半径作圆过点B， 在四边形ABCD中， ∵AD＝BD，AD⊥BD，BC//AD ∴∠CBD＝ ， 即BC⊥BD于B， ∵AD＝BD ∴BD为⊙D的半径， ∴⊙D与直线BC相切. （2）解：如图所示： 作△BCD的外接圆，连接BO、DO，过O点作BD的垂线交⊙O于点C＇ ∵∠BCD为BD外接圆上所对的圆周角， ∴C点在BD同侧 移动，∠BCD＝30°不变， 当C移动到 时，C到BD的距离最长，△BCD的面积最大. 即四边形ABCD的面积的最大值. ∵AB＝2 ，AD＝BD，AD⊥BD ∴AD＝BD＝ ∵在⊙O中， ∴OB＝OD＝OC＝BD＝2， 在Rt△DEO中， ， ∴ ， . （3）解：如图所示： 过D点作DC的垂线，截取DE＝DC，连接EB、EC. ∵ ， ， ∴ ， 在△ACD和△BED中 ∵ ， ∴△ACD≌△BED， ∴AC＝BE＝3， 在Rt△CDE中 ∵DE＝DC＝2， ∴ ， ∴ ， 在△BCE中 ∵ ， ∴ ， ∴ . 学科网（北京）股份有限公司 $$