【第二十四章 圆 02-1讲 点和圆的位置关系】【四大知识点+14大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十四章 圆 02-1讲 点和圆的位置关系 题型归纳 【题型1. 判断点与圆的位置关系】………………………………………………… 3 【题型2. 利用点与圆的位置关系求半径】………………………………………… 5 【题型3. 点与圆上的一点最值问题】……………………………………………… 7 【题型4. 三角形外接圆的概念辨析】……………………………………………… 11 【题型5. 求三角形外心坐标】……………………………………………………… 15 【题型6. 求特殊三角形外接圆的半径】…………………………………………… 19 【题型7. 已知外心的位置判断三角形的形状】…………………………………… 22 【题型8. 判断三角形外接圆的圆心位置】………………………………………… 24 【题型9. 确定圆的条件】…………………………………………………………… 28 【题型10. 尺规作图——确定圆心】………………………………………………… 31 【题型11. 尺规作图——画圆】……………………………………………………… 34 【题型12. 举反例】…………………………………………………………………… 38 【题型13. 反证法中的假设】………………………………………………………… 40 【题型14. 反证法的应用】…………………………………………………………… 42 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 46 知识清单 知识点1 点和圆的位置关系 1.点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有 点P在圆外 ⇔ d＞r ； 点P在圆上 ⇔ d=r ；点P在圆内 ⇔ d＜r 【提示】符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 知识点2 过已知点作圆 1.可作圆的数量：过已知一点可作无数个圆；过已知两点也可作无数个圆；过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆. 2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 知识点3 外接圆与外心 1.外接圆的概念：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 2.外心的概念：外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. 知识点4 反证法 1.概念：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法. 2.用反证法证明命题的一般步骤： （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确. 题型专练 题型1. 判断点与圆的位置关系 【例1】（2025·吉林·二模）在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，点与圆的位置关系，先证明，可得即可得到结论. 【详解】解：如图，∵在中，，， ∴， ∴， ∴以为圆心，长为半径画圆，则点在上， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如果的半径为3，，则点在（   ） A．外 B．内 C．上 D．不确定 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为3，，且， ∴点A在内， 故选：B． 【变式2】（2025九年级下·河北·专题练习）已知的半径为3，当时，点与的位置关系为（   ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小确定点与圆的位置关系． 根据“点到圆心的距离大于半径，则点在圆外”即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，当， 即点到圆心的距离大于半径， ∴点P在圆外， 故选：A． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江伊春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，在中，斜边上的高是，若以点D为圆心，以的长为半径画圆，则原点O在这个圆的（    ） A．外面 B．内部 C．圆周上 D．以上三种都有可能 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，勾股定理，点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系是关键． 根据勾股定理得到，则，即圆的半径为，由等面积法得到，由此即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴的半径为， ∵， ∴， ∴， ∴原点O在这个圆的内部， 故选：B ． 题型2. 利用点与圆的位置关系求半径 【例1】（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵点P在半径为5的内， ∴， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据题意，分①点P在内；②点P在外两种情况分别求解即可． 【详解】解：①当点P在内，如图1： ，， ， 的半径； ②当点P在外，如图2： ，， ， 的半径； 综上所述，的半径或7． 故答案为：4或7． 【变式3】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是 ． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，点和圆的位置关系．设交轴于点，连接，利用勾股定理求得，根据点和圆的位置关系即可求解． 【详解】解：如图，设交轴于点，连接， ∵点，的半径为5， ∴，， ∴， 若点在内， ∴， 故答案为：． 题型3. 点与圆上的一点最值问题 【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的中位线，点与圆的位置关系．掌握三角形的中位线定理，点与圆的位置关系是解题的关键．由点、点的坐标得是的中点，则是的中位线，，当的长最大时，的长最大，根据点与圆的位置关系可得长的最大值为，求出，即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为， 故选：D． 【变式1】（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值，解题的关键是确定当圆心在线段上，取得最大值． 由题意知，当圆心在线段上，取得最大值，把点的坐标代入中，即可求得的值． 【详解】解：由题意知，当圆心在线段上，取得最大值， 此时直线过点， 把点坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·河北邢台·期中）在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据题意可知圆上的点到直线的最短距离为，最长距离为，据此判断即可，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，    由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是， 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是， 故选：． 【变式3】（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图所示 ， ， ， ， 点在以为直径的上，当、、共线时最小， 在中，，， ， ， ． 最小值为． 故选：A． 题型4. 三角形外接圆的概念辨析 【例1】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 【例2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）下列命题中，其中正确的是（   ） A．经过三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C．度数相等的弧是等弧 D．相等的圆周角所对的弧相等 【分析】本题考查了命题，根据圆的基本知识点，三角形外心的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A、同一平面内，不共线的三个点一定可以作圆，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法正确，符合题意； C、同圆或等圆中，度数相等的弧是等弧，故原说法错误，不符合题意； D、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）在中，，点是的外心，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理的相关知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 已知点是的外心，那么、即为同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：由于点是的外心， 在的外接圆中， 、同对着弧； 由圆周角定理得：． 故选：B ． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列命题正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．三角形的外心到三个角顶点的距离相等 【分析】本题考查确定圆的条件，圆周角定理，垂径定理，三角形外心的性质，根据确定圆的条件判断A选项；根据同圆或等圆中，等角对等弧判断B选项；根据垂径定理判断C选项；根据三角形外心的性质判断D选项． 【详解】解：不共线的三点确定一个圆，故A错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故B错误； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，C错误； 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三条垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，故D正确． 故选：D 【变式3】（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：B． 【变式4】（24-25九年级上·云南保山·期末）已知：不在同一直线上的三点．求作，使它经过点． 作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线； （2）连接，作线段的垂直平分线，交于点； （3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（   ） A．连接，则点是的内心 B． C．连接，则不是的半径 D．若连接，则点在线段的垂直平分线上 【分析】本题考查作图，三角形的外接圆与外心等知识；根据三角形的外心的定义和性质一一判断即可． 【详解】解：连接， 由作图可知，∵点是，垂直平分线上的焦点， ∴点是的外心， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴A错误，D正确， ∵点的位置不确定， ∴的长度不确定，∴B错误； ∵点是的外心，且以为圆心，长为半径作 ∴ ∴是的半径，∴C错误； 故选：D． 题型5. 求三角形外心坐标 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·全国·期末）图中的外心坐标是 ． 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，根据三角形外心的定义作三角形两边的垂直平分线，根据网格的特点，很容易作出与的垂直平分线，则它们交点的坐标为所求． 【详解】解：作，的垂直平分线交点P，如图， 则点P为的外心， P点坐标为． 故答案为∶． 【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为， 半径为， ∵， ∴点在这条圆弧所在圆上， ∵， ∴原点在这条圆弧所在圆内， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 【分析】本题考查了特殊三角形外心，根据直角三角形的外心为斜边的中点，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点，的坐标分别是，， ∴ ∴是直角三角形， ∵是的外接圆， ∴ ∴在上，且为的中点 ∴， 故答案为：． 【变式4】（24-25八年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解题的关键． 由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示， 它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心， 由图知，， 该圆弧所在的圆心坐标为， 故答案为：． 题型6. 求特殊三角形外接圆的半径 【例1】（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）直角三角形两条直角边分别为6和8，则直角三角形外接圆的半径为（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【分析】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理，先由勾股定理求出斜边长，即可得出答案． 【详解】解：∵直角三角形两条直角边分别为6和8， ∴斜边为， ∴直角三角形外接圆的半径为， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ． 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，在中，利用勾股定理可得，然后利用三角形的中位线定理可得：，，，从而利用平行线的性质可得，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】如图： ∵，，， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点D，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴外接圆半径， 故答案为：． 题型7. 已知外心的位置判断三角形的形状 【例1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 【变式1】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【详解】解：点I是的外心，则点I是的三条垂直平分线交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·河南新乡·期末）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查三角形的外心，垂径定理，圆周角定理，确定圆的条件等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据垂径定理即可判断．③根据圆周角定理即可判断．④根据三角形外心的性质即可判断，⑤根据等弧的定义判断，⑥根据圆的对称性质进行判断． 【详解】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确． ③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中； ④三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确， ⑤长度相等的两条弧是等弧，错误，条件是在同圆或等圆中； ⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确． ∴正确的有②④⑥，共3个． 故选：C． 【变式3】（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 题型8. 判断三角形外接圆的圆心位置 【例1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）（1）如图，已知，求作的外接圆（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求该外接圆的半径． 【分析】此题主要考查了作三角形的外接圆、等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，关键是正确找到圆心所在位置． （1）首先画出和的垂直平分线，两线交于一点，以为圆心，长为半径画圆即可． （2）连接，即可得出，然后根据等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：（1）如图所示：即为所求的外接圆； （2）连接，如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即该外接圆的半径为． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）的外接圆的半径，则斜边的长是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，根据90度角所对的弦是直径，得到斜边是的直径，即可得出结果． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴斜边是的直径， ∵， ∴； 故选C． 【变式2】（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．经过不在同一条直线上的四个点一定能作圆 D．三角形的外心一定在三角形内 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理以及圆的有关知识．解题的关键是熟记定理． 根据圆周角定理，垂径定理，圆的作图，圆的外心分别对A，B，C，D 作出判断即可． 【详解】解：A．根据弦、弧、圆周角的关系可判断说法正确； B．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以说法错误； C．经过不在同一直线上的三点一定能作圆，所以说法错误； D．钝角三角形的外心在三角形外，所以说法错误． 故选A． 【变式3】（2025·山东菏泽·二模）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在 边上，则的长为（   ） A．2 B． C． D．2或 【分析】运用勾股定理求出的长度，且根据准外心的定义，一共有两种情况：，，设，解一元一次方程，即可求得答案．本题主要考查了勾股定理、解一元一次方程，解题的关键在于考虑到两种情况的可能，且需要理解准外心的定义． 【详解】解：∵，，， 根据勾股定理，可得：， ∵准外心P在上， ∴或， ①当时，如图， 设， 则， 即， 解得：； ②当，如图， 设， 则， 此时也是直角三角形， 故， 即， 解得：； 故选：D 【变式4】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知． (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心；    （2）解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 题型9. 确定圆的条件 【例1】（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可． 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级下·四川遂宁·阶段练习）下列四个命题中，正确的有（   ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点确定一个圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】此题考查了圆中的有关概念和性质．根据相关知识进行解答即可． 【详解】解：①圆的对称轴是直径所在的直线，故原说法错误； ②当三点共线的时候，不能作圆，故原说法错误； ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故原说法错误； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故原说法正确． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长的半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（   ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】本题考查了圆的相关性质，解题关键是熟练掌握等圆、等弧等知识点，逐个判断即可． 【详解】解：①能够互相重合的两个圆叫作等圆，说法正确； ②能够互相重合的弧是等弧，原说法错误； ③以2cm长的半径的圆有无数个，说法正确； ④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，原说法错误； 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、三角形的外心等弧定义进行判断即可得到正确结论． 【详解】解：（1）不共线的三点确定一个圆，故不符合题意； （2）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故不符合题意； （3）三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故符合题意； （4）在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，熟练掌握定义与性质是解题的关键． 【变式4】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）下列四个结论，不正确的是（   ） ①过三点可以作一个圆；②圆内接四边形对角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等． A．②③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】本题考查确定圆的条件、圆的内接四边形的性质、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．根据确定圆的条件、圆的内接四边形的性质、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系定理逐一判断即可得答案． 【详解】解：过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故①错误； 圆的内接四边形对角互补，故②错误； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等，故④错误， 综上所述：不正确的结论有①②③④， 故选：D． 题型10. 尺规作图——确定圆心 【例1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：圆心O如图． 【例2】（24-25九年级上·甘肃·阶段练习）要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题主要考查了确定圆的圆心位置，一个圆的圆心一定在该圆一条弦的垂直平分线上，则在弧上任取一点C，作线段的垂直平分线，二者交于点O，则点O即为所求． 【详解】解：如图所示，在弧上任取一点C，作线段的垂直平分线，二者交于点O，则点O即为所求． 【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，有一圆弧形拱桥，请用尺规作图确定圆弧所在圆的半径．    【分析】本题主要考查了尺规作垂线，垂直平分线的性质，圆心的确定方法，掌握圆心的确定方法是解题的关键． 根据圆心到圆上的各点的距离相等，垂直平分线的性质，尺规作垂线即可求解． 【详解】解：如图所示，    连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，得到两个交点，连接两交点得到线段的垂直平分线，交圆弧于点，交于点， 同理，连接，作线段的垂直平分线交于点，连接， ∴即为所求． 【变式2】（2025九年级·陕西西安·专题练习）尺规作图：如图，已知，D为上一点，求作，使得同时与，相切，且与相切于D点．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】本题考查了尺规作图中作圆和作角平分线的画法，掌握以上知识是解题的关键； 根据圆和角平分线的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：作的角平分线交于点，过点作，与交于点，然后以点为圆心，为半径作圆，如图： 即为所作． 【变式3】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，在中，点是边上一点，连接，请在边上找一点，作使得该圆经过B、D两点．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】题目主要考查圆心的确定的作法，根据题意，作出线段的垂直平分线交于点O即可确定圆心． 【详解】解：如图所示，点O即为所求． 题型11. 尺规作图——画圆 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，请用尺规作图法，以线段为直径求作． 【分析】本题考查作图一复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 即为所求． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 即为所求， 【例2】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，是直角三角形，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出以为直径的圆，并标出圆心的位置（保留作图痕迹，不写作法）； (2)的平分线与交于点，连接、，求证：． 【分析】本题考查了尺规作圆，圆心角、弦、弧之间的关系定理和圆周角定理．熟练掌握五种基本作图和熟记“在同圆成等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等”是解题的关键． （1）先作线段的垂直平分线，交与点，确定圆心的位置，再以点为圆心，长为半径画圆即为所求； （2）由题意可知平分，可得，从而得到，继而得到． 【详解】（1）解：如图所示：为所求； （2）证明：如图： 平分， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，． (1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求圆O的半径R． 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，连接，以 O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接交于点D，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 本题考查作图，复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：连接交于点D． 设． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得： ∴圆O的半径为：． 【变式2】（2024·山东青岛·一模）画长的线段，并以此为半径，点x为圆心画一个半径为的圆x． 【分析】本题主要考查了画圆，根据圆的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式3】（23-24九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，利用尺规作图法求作使与的交点D到圆心C的距离最短（不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】本题主要考查了复杂作图，垂线段最短，过点C作B于点D，以点C为圆心，的长为半径画圆，则即为所作． 【详解】解：过点C作于点D，以点C为圆心，的长为半径画圆，则即为所作． 点C到的距离为的长，此时与的交点D到圆心C的距离最短． 题型12. 举反例 【例1】（2025·河南驻马店·三模）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【分析】本题考查了反例法证明命题是假命题，根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、钝角三角形三条高线的交点在三角形外部，符合反例要求； 、直角三角形三条高线的交点为直角顶点，位于三角形边上，不在外部，不符合反例要求； 、锐角三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 、等边三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 故选：． 【例2】（2024·河南驻马店·二模）能说明“若，则”是假命题的一个反例可以是 ． 【分析】本题考查了命题与定理：命题写成“如果．．．，那么．．．”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 选取的的值不满足“如果，那么”的即可． 【详解】解：当时，满足，但不满足， 所以可作为说明命题“如果，那么”是假命题的一个反例． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了举反例. 根据绝对值的性质、假命题的概念解答即可. 【详解】解：A、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； B、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； C、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； D、当时，，能说明命题是假命题，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】本题考查说明一个命题是假命题．要说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，需找到两个锐角的和不是钝角的例子．钝角需满足，若和为锐角（）或直角（），则构成反例． 【分析】解：选项A：，，和为，是钝角，支持原命题，不构成反例． 选项B：，，和为，是钝角，支持原命题，不构成反例． 选项C：，，和为，是钝角，支持原命题，不构成反例． 选项D：，，和为，是锐角，说明两个锐角的和可能不是钝角，构成反例． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·上海金山·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中值可以是 ． 【分析】本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键．只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题． 【详解】解：当时，符合条件， 但，与矛盾， ∴命题“如果，那么”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4】（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）用“举反例”的方法说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是 ． 【分析】本题考查的是平方根的含义，举反例说明命题是假命题；先举例：当时，有平方根，但是不是正数，从而可得答案. 【详解】解：当时，有平方根，但是不是正数， ∴说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是：； 故答案为： 题型13. 反证法中的假设 【例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（    ） A．等腰三角形的底角大于 B．等腰三角形的底角等于 C．等腰三角形的底角小于 D．等腰三角形的底角大于或等于 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设等腰三角形的底角大于或等于， 故选： D． 【例2】（24-25九年级上·天津·阶段练习）用反证法证明：不在同一条直线上的三点确定一个圆，证明时可以先假设 ． 【分析】本题考查反证法，根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，作答即可． 【详解】解：用反证法证明：在同一直线上的三点不能确定一个圆，首先应假设不在同一直线上的三点不能确定一个圆； 故答案为：不在同一直线上的三点不能确定一个圆 【变式1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 【分析】本题考查的是反证法的应用，反证法的关键是假设原命题结论不成立，即结论的反面成立，原命题结论为“至少有一个锐角不大于”，其反面应为“两个锐角都大于” ． 【详解】解：原命题“至少有一个锐角不大于”的否定是 “两个锐角都大于”，故应假设直角三角形中两锐角都大于． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证明：三角形中至少有一个角不小于，先要假设（   ） A．三角形中每一个角都小于 B．三角形中有一个角大于 C．三角形中至少有一个角大于 D．三角形中有一个角小于 【分析】本题考查了反证法的应用，由原命题为“三角形中至少有一个角不小于”，其先要假设三角形中每一个角都小于，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【详解】解：用反证法证明：三角形中至少有一个角不小于，先要假设三角形中每一个角都小于， 故选：． 【变式3】（24-25八年级下·浙江金华·期末）用反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设 ． 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立即可求解． 【详解】解：反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设的是直角三角形， 故答案为：是直角三角形 ． 【变式4】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）用反证法证明“已知：是正整数，且是偶数．求证：是偶数”时，应先假设 ． 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解． 【详解】解：反证法证明“已知：是正整数，且是偶数．求证：是偶数”时，应先假设不是偶数（是奇数）， 故答案为：不是偶数（是奇数）． 题型14. 反证法的应用 【例1】（24-25八年级下·福建三明·期中）已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，即可证明结论． 【详解】解：先要假设每个数大于， 则四个正数的和大于1， 与已知已知四个正数的和等于1矛盾， 故至少有一个数不大于， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）请用反证法证明：已知：，求证：． 【分析】本题考查了反证法的应用，解题的关键是熟练掌握反证法的证明步骤． 先假设，然后根据绝对值的性质推出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】假设， 当时，， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【分析】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 根据反证法的步骤即可判断． 【详解】解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 所以，正确的步骤是③①②． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 【分析】此题考查了反证法，完全平方公式，假设m不是偶数，则m为奇数，设（n为整数），证明出为奇数，与为偶数矛盾，即可证明． 【详解】解：假设m不是偶数，则m为奇数， 设（n为整数），则． 因为为偶数， 所以为奇数，与为偶数矛盾， 所以假设不成立，故m为偶数． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 【分析】本题主要考查了反证法，反证法第一步假设结论不成立，即假设是0或正数，根据正数和0的绝对值都是它本身可得到此时假设与题设矛盾，则可证明结论． 【详解】解：证明：假设不是负数，那么是0或是正数． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是正数，那么，这与题设矛盾，所以不可能是正数． 综合①和②，知不可能是0，也不可能是正数，所以必为负数． 【变式4】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设______，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“_______”矛盾，故假设不成立．所以． 【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有只有一条直线与已知直线平行，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可． 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ∵，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立．所以． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知的半径为．若点到圆心的距离为，则点（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．与的位置关系无法确定 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小进行判断，即可作答． 【详解】解：∵的半径为．若点到圆心的距离为，且， ∴点在内， 故选：A 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（ ） A．有一个锐角小于 B．每一个锐角都小于 C．有一个锐角大于 D．每一个锐角都大于 【分析】本题考查了反证法，直角三角形的两个锐角互余，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立．原命题为“至少有一个锐角不大于”，其反面是“所有锐角都大于”． 【详解】解：原命题的结论是“至少有一个锐角不大于”，即存在一个锐角小于或等于． 反证法需假设结论的反面成立，即“两个锐角都大于”．此时，两个锐角的和将超过，与直角三角形中两锐角之和为矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．选项中对应“每一个锐角都大于”的是D． 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了确定圆的条件、垂径定理、圆心角与弦的关系以及三角形外心的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点需逐一分析． 【详解】解：①不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定，错误； ②根据垂径定理，平分非直径弦的直径必垂直于该弦，正确； ③ 相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立，未限定条件则不成立，错误； ④ 三角形的外心是各边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（即外接圆半径），正确； 综上，正确的有②和④，共2个． 故选：B． 4．（24-25七年级下·上海·期中）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了反证法的证明的第一步，注意从结论的反面出发假设是解题关键．反证法即假设结论的反面成立，即可得出答案． 【详解】解：用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设． 故选：B． 5．（2025·河北邯郸·三模）对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，或 B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，应该等于 D．小亮的求解不正确，的度数不固定 【分析】本题考查了圆周角定理以及外心的性质，运用了分类讨论思想，讨论是锐角三角形还是钝角三角形是解决本题的关键． 本题涉及圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，注意的是，需讨论是锐角三角形还是钝角三角形求解即可． 【详解】解：当是锐角三角形时，如图， 已知点O为的外心，连接，， 此时是圆心角，是圆周角，且， 即； 当是钝角三角形时，如图， 同样连接，，， 此时可得， 则四边形为圆的内接四边形， 所以， 总结，小亮只考虑了锐角三角形的情况，求解不正确，或． 故选：A． 6．（24-25七年级下·广东中山·期末）对于命题“已知，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了不等式的性质，真假命题等知识．根据当不等式两边乘以负数时，不等号方向改变，原命题不成立求解即可． 【详解】解：原命题“已知，则”成立的条件是．若a为负数，则不等式方向改变，即． 选项A中，为负数，代入计算得，，此时，即，说明原命题不成立，故A是反例． 选项B、C、D中的a均为正数，代入后成立，无法作为反例， 故选：A． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 8．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点B是线段上的点，且满足，．将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，取线段的中点D，则点A与点D的最小距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查旋转的性质，三角形中位线的性质，点与圆上一点的最佳问题，根据三角形中位线性质求得，得出点D是在以点O为圆心，为半径的圆上运动是解题的关键． 取的中点O，连接，根据中位线的性质与旋转的性质求得，则点以点A为圆心，为半径的圆上运动，同时，点D是在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点D在上时，此时最小，由求解即可． 【详解】解：取的中点O，连接，如图， ∵点D是线段的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵由旋转可得， ∴， ∴点以点A为圆心，为半径的圆上运动，同时，点D是在以点O为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点D在上时，最小，如图， ∴此时，． 故选：B． 9．（2025·浙江杭州·三模）已知中，弦垂直弦，，，则关于直径的说法正确的是（    ） A．一定等于 B．可能大于 C．不可能大于 D．不可能等于 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用点与圆的位置关系求半径，解题的关键是根据垂径定理和勾股定理求出． 分为弦是圆的直径和弦不是圆的直径，两种情况进行分析，若弦是圆的直径，则圆的直径是，若弦不是圆的直径，弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点，根据矩形的性质得出，根据垂径定理得出，，设圆的半径为，根据勾股定理可求得，即可求解． 【详解】解：如果弦是圆的直径，此时的直径是，故A选项、D选项说法错误； 如果弦不是圆的直径，如图： 弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵，，，， ∴，， 设圆的半径为，即， 在中，， 在中，， 在中，， 即， 当点在圆上时，， 即， 解得：， 即圆的直径可能等于； 当点在圆内时，， 即， 解得：， 即圆的直径可能小于； 综上，圆的直径不可能大于． 故选：C． 10．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P在对角线上，以点A为圆心，2为半径长作，以点P为圆心作，如果点C在内而点D在外，并且与外切，那么可以作为半径长的值是（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【分析】本题考查了勾股定理和点和圆的位置关系，过点作，解题关键是求出、的长，再确定的半径的取值范围即可． 【详解】解：矩形中，，，则，， 由勾股定理可得：， 过点作，则，， 即，， ∴，， 令与交于点，设，则，，， ，， ∴， ∵点C在内而点D在外，并且与外切， ∴，即， ∴， 即的半径的取值范围为：， 故，四个选项中，只有4.5在该范围内， 故答案为：C． 二、填空题 11．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设 ． 【分析】本题考查的是反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题关键． 根据反证法的步骤，即第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解． 【详解】解：反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·河北保定·期中）用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设 【分析】此题主要考查了反证法，根据反证法的第一步：假设结论不成立设，可以假设“等腰三角形的两底是直角或钝角”． 【详解】证明：根据反证法的第一步：假设结论不成立设，可以假设“等腰三角形的两底是直角或钝角”． 故答案是：等腰三角形的两底是直角或钝角． 13．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知的面积为，点与在同一平面内，若，则点在 （填写“内”、“上”、“外”）． 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据面积求半径，比较半径与点到圆心的距离的大小，然后作答即可． 【详解】解：∵的面积为， ∴的半径为5， ∵， ∴点P在内， 故答案为：内． 14．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，    ∴为圆心， ∴半径， 故答案为： 15．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【详解】解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 16．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知，将绕点顺时针旋转，若，，则在旋转过程中，的最小值是 ． 【分析】本题考查了旋转的性质，理解旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：如图，在旋转过程中，当与重合时，即在位置，有最小值，最小值为. 17．（2025·河南驻马店·三模）中，，点为的中点，为上一动点（可与点重合），将沿折叠，点的对应点为点，连接．设，则的取值范围是 ． 【分析】本题考查了勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题，根据题意得出，，则在半径为的的一段弧上运动，分别求得的最大值与最小值，即可求解． 【详解】解：如图， 解：∵中，，点为的中点，将沿折叠，点的对应点为点， ∴，则在半径为的的一段弧上运动， 当重合时，， 当在上时取的最小值，最小值为 ∴ 故答案为：． 18．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【分析】本题主要考查正方形的性质，点与圆的位置关系；以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，利用，结合圆的性质可得出点P的轨迹是以为直径的圆，将的最值问题转化为点C到圆上点的距离最值问题，通过点C到圆心的距离与半径的关系即可求解． 【详解】解：如图，以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， ∵ 根据圆的性质，点P的轨迹是以为直径的圆， ∵正方形的边长为2， ∴，则圆心为，半径为， ∴圆的方程为， ∵， ∴圆心到点C的距离为 ∵， ∴点C在圆外， ∴最小值为， 最大值为， 故答案为：，． 19．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 20．（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 【分析】如图，以为边作等边，连接，可证，然后可得点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上，要使得 面积最小，则求出点到线段的最小距离，点到的最小值为，最后求出面积即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∵ ∴ ，即， 在和 中， ∴ ∴ ∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上， 要使得 面积最小，则点到线段的距离最小， ∵是边长为2的等边三角形， ∴点到的距离为， ∴点到的最小值为， ∴面积最小值为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点轨迹圆相关知识点，全等三角形的判定，勾股定理的运用，构造辅助圆的方法求最值问题，解题关键是利用构造全等三角形找到动点的轨迹，再求出圆上一点到定点线段距离的最小值． 三、解答题 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B在小正方形的顶点上，将线段绕着点O顺时针方向旋转，得到线段． (1)在网格中画出线段； (2)直接写出的外接圆的直径的长． 【分析】本题主要考查了旋转作图，勾股定理和网格问题，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）先根据旋转作出点、的位置，然后连接即可； （2）根据旋转，判断得出为等腰直角三角形，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； 1 （2）解：根据旋转可知：，， ∴是等腰直角三角形， ∴的外接圆的直径是线段， ∵． ∴的外接圆的直径的长为． 22．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法) 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是作出线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解决问题．线段与线段的垂直平分线的交点即为圆心O 【详解】 23．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）在上取一点E，连接，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）设，的垂直平分线交于点C，交于点D．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：设，的垂直平分线交于点C，交于点D． ， ， ∵， ∴， 在中，则有， 解得， ∴这钢梁圆弧的半径长为． 24．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 【分析】本题主要考查反证法的证明方法，反证法的步骤：首先假设反论题正确，然后依据规则进行推理，若出现与已知条件不符或与公理定理相矛盾的情形，即可证明反论题不成立，原命题正确． 第一步先假设和互相平分，根据平行四边形的判定和性质得到，即，与已知矛盾，从而证明原命题正确． 【详解】证明：连接．假设和互相平分． 和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在中，点D、E分别在、上， 与不可能平行，与已知矛盾， 故假设不成立，和不可能互相平分．   25．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟悉这些知识是解题的关键． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系． 【详解】（1）解：圆心D如图所示； 圆心坐标为； （2）解：由勾股定理得半径为：； （3）解：点E在内部； ， 而， 故点E在内部． 26．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【分析】本题考查了三角形的外心的性质和勾股定理等知识的综合应用，根据外心的性质可知垂直平分，可知为直角三角形，，，由勾股定理可求半径． 【详解】解：为外心，， ，又， 由勾股定理，得 ， 的外接圆的半径是． 27．（2025·吉林·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点为正方形网格的中心，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中作，要求所做的同时满足以下三个条件： ①点A、B、C均在格点上； ②点为的外心； ③所画的三角形互不全等． 【分析】本题考查了只用无刻度的直尺作符合条件的三角形，解题关键是弄清题意． 根据所给的三个条件画图即可． 【详解】解：如图，可画出如下图形： 所画出三角形显然都满足条形①，也满足条件③， 第1个图为等腰直角三角形，斜边的中点为G，点G就是其外接圆圆心； 第2个图为直角三角形，G为斜边中点，点G就是其外接圆圆心； 第3个图的右边两边的垂直平分线过点G，点G就是其外接圆圆心； 第4个图为等腰直角三角形，斜边的中点为G，点G就是其外接圆圆 心； 第5个图最短边的垂直平分线就是以这条边为对角线的正方形的另一对角线所在的直线，G点所在最长边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 第6个图显然在最短边的垂直平分线上，也在较短边的垂直平分线上（以较短边为对角线的正方形的另一对角线所在的直线就是较短边的垂直平分线），所马点G就是其外接圆圆 心； 第7个图点G在较短边的垂直平分线上，也在最短边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 第8个图点G在最短边的垂直平分线上，也在最长边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 所以以上8个图都符合要求，即为所求作的图形． 28．（24-25九年级下·吉林长春·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 【分析】本题是圆的综合题，考查作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作的垂直平分交于点O，即可求解； （2）连接，并延长交圆O于点E，即可求解； （3）分别连接，并延长分别交圆O于点Q，P，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，即为所求． 29．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，已知图形，点是上任意两点，我们把线段的长度的最大值称为平面图形的“宽距”，记作． (1)边长为1的正方形的宽距为______； (2)已知点，连接所形成的图形为． ①若，直接写出的取值范围； ②已知点，以为圆心，1为半径作圆．若点为上任意一点时，都有，直接写出的取值范围． 【分析】本题考查了几何新定义，圆的综合问题，解直角三角形，理解新定义求得符合题意的临界值是解题的关键； （1）根据新定义可得，长为1的正方形的宽距为对角线的长度，即可求解； （2）①根据新定义，画出图形，在以为圆心，为半径的圆内公共部分，则当最大时，是等边三角形，解直角三角形，即可求解； ②根据题意可得当时，点或到上的点距离最大为，最小值为，当时，以为圆心和为半径作，当与为半径的圆内切时取得最大值，当和为半径的圆外切时，取得最小值，设与为半径的圆内切于点，与为半径的圆内切于点，根据圆与圆的位置关系以及勾股定理求得的坐标，结合图形即可得出的范围，根据对称性求得的坐标的相反数，即可得出另一个范围，即可求解． 【详解】（1）解：根据新定义可得，长为1的正方形的宽距为对角线的长度，即， 故答案为：． （2）解：①∵， ∴ 如图，在以为圆心，为半径的圆内公共部分， ∴当最大时，是等边三角形， ∴ ∴ ②∵，点，以为圆心，1为半径作圆．若点为上任意一点时，都有， ∴当时，点或到上的点距离最大为，最小值为 当时，如图， 以为圆心和为半径作， 当与为半径的圆内切时取得最大值，当和为半径的圆外切时，取得最小值， 设与为半径的圆内切于点，与为半径的圆内切于点， ∴ ∴，则此时 同理可得，，则 ∴此时, ∴ 当时，根据对称性，同理可得 综上所述，或 30．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键． 根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可． 【详解】解：由题意，作图如下，即为所求： 31．（2025·广东中山·三模）综合与实践 【主题】曲轴连杆机构的运动分析与设计 【素材】 在某小型发动机的机构中，曲轴连杆的工作原理如图1所示：O为连杆轴，B为圆柱形气缸中活塞的圆心，直线平行于气缸内壁，连杆在活塞的带动下绕O轴匀速转动，连杆拖动活塞做往复运动．连杆长，连杆长． 【实践操作】 模拟曲轴连杆机构的运动过程，研究不同位置下连杆与活塞的关系． 【实践探索】 (1)活塞在气缸内最大移动的距离是__________． (2)点C为直线与的交点，当连杆从位置按顺时针方向旋转时，求活塞移动的距离．（计算结果保留根号） (3)如图2，发动机气缸底部开口的宽度为（与活塞直径相等），开口圆心为P，曲轴支点O位于气缸外部．当连杆支点A进入气缸内部时，需满足点A到气缸内壁的距离至少为，且活塞运动时不能脱离气缸．请确定满足条件时O、P之间距离的取值范围（结果保留一位小数）． 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，可得当点A在线段上时，有最大值，最大值为，求出此时的长即可得到答案； （2）过A作于H，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而得到的长即可得到答案； （3）当与相交时，点A进入气缸内部，且离气缸内壁最近，此时，在中，求出当时，的长；再由活塞不能脱离气缸，得到当A与C重合时，，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当点A在线段上时，有最大值，最大值为， ∴活塞在气缸内最大移动的距离是； （2）解：如图所示，过A作于H， 当连杆从位置按顺时针方向旋转时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴BH， ∴， ∴， ∴活塞移动的距离是． （3）J解：∵P为的中点 ∴， 当与相交时，点A进入气缸内部，且离气缸内壁最近，此时， ∴， ∵， ∴ 在中，当时， ∴， ∴ ∵活塞不能脱离气缸， ∴当A与C重合时，， ∴， ∴ ， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆 02-1讲 点和圆的位置关系 题型归纳 【题型1. 判断点与圆的位置关系】………………………………………………… 3 【题型2. 利用点与圆的位置关系求半径】………………………………………… 3 【题型3. 点与圆上的一点最值问题】……………………………………………… 4 【题型4. 三角形外接圆的概念辨析】……………………………………………… 5 【题型5. 求三角形外心坐标】……………………………………………………… 6 【题型6. 求特殊三角形外接圆的半径】…………………………………………… 8 【题型7. 已知外心的位置判断三角形的形状】…………………………………… 8 【题型8. 判断三角形外接圆的圆心位置】………………………………………… 9 【题型9. 确定圆的条件】…………………………………………………………… 10 【题型10. 尺规作图——确定圆心】………………………………………………… 11 【题型11. 尺规作图——画圆】……………………………………………………… 13 【题型12. 举反例】…………………………………………………………………… 14 【题型13. 反证法中的假设】………………………………………………………… 15 【题型14. 反证法的应用】…………………………………………………………… 16 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 18 知识清单 知识点1 点和圆的位置关系 1.点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有 点P在圆外 ⇔ d＞r ； 点P在圆上 ⇔ d=r ；点P在圆内 ⇔ d＜r 【提示】符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 知识点2 过已知点作圆 1.可作圆的数量：过已知一点可作无数个圆；过已知两点也可作无数个圆；过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆. 2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 知识点3 外接圆与外心 1.外接圆的概念：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 2.外心的概念：外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. 知识点4 反证法 1.概念：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法. 2.用反证法证明命题的一般步骤： （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确. 题型专练 题型1. 判断点与圆的位置关系 【例1】（2025·吉林·二模）在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【变式1】（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如果的半径为3，，则点在（   ） A．外 B．内 C．上 D．不确定 【变式2】（2025九年级下·河北·专题练习）已知的半径为3，当时，点与的位置关系为（   ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江伊春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，在中，斜边上的高是，若以点D为圆心，以的长为半径画圆，则原点O在这个圆的（    ） A．外面 B．内部 C．圆周上 D．以上三种都有可能 题型2. 利用点与圆的位置关系求半径 【例1】（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【变式2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是 ． 题型3. 点与圆上的一点最值问题 【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【变式1】（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·河北邢台·期中）在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 题型4. 三角形外接圆的概念辨析 【例1】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）下列命题中，其中正确的是（   ） A．经过三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C．度数相等的弧是等弧 D．相等的圆周角所对的弧相等 【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）在中，，点是的外心，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列命题正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．三角形的外心到三个角顶点的距离相等 【变式3】（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25九年级上·云南保山·期末）已知：不在同一直线上的三点．求作，使它经过点． 作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线； （2）连接，作线段的垂直平分线，交于点； （3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（   ） A．连接，则点是的内心 B． C．连接，则不是的半径 D．若连接，则点在线段的垂直平分线上 题型5. 求三角形外心坐标 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·全国·期末）图中的外心坐标是 ． 【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【变式2】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 【变式4】（24-25八年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 题型6. 求特殊三角形外接圆的半径 【例1】（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）直角三角形两条直角边分别为6和8，则直角三角形外接圆的半径为（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ． 题型7. 已知外心的位置判断三角形的形状 【例1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式1】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【变式2】（23-24九年级上·河南新乡·期末）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 题型8. 判断三角形外接圆的圆心位置 【例1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）（1）如图，已知，求作的外接圆（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求该外接圆的半径． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）的外接圆的半径，则斜边的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．经过不在同一条直线上的四个点一定能作圆 D．三角形的外心一定在三角形内 【变式3】（2025·山东菏泽·二模）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在 边上，则的长为（   ） A．2 B． C． D．2或 【变式4】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知． (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 题型9. 确定圆的条件 【例1】（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【例2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【变式1】（24-25九年级下·四川遂宁·阶段练习）下列四个命题中，正确的有（   ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点确定一个圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长的半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（   ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式4】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）下列四个结论，不正确的是（   ） ①过三点可以作一个圆；②圆内接四边形对角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等． A．②③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 题型10. 尺规作图——确定圆心 【例1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． 【例2】（24-25九年级上·甘肃·阶段练习）要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，有一圆弧形拱桥，请用尺规作图确定圆弧所在圆的半径．    【变式2】（2025九年级·陕西西安·专题练习）尺规作图：如图，已知，D为上一点，求作，使得同时与，相切，且与相切于D点．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式3】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，在中，点是边上一点，连接，请在边上找一点，作使得该圆经过B、D两点．（保留作图痕迹，不写作法） 题型11. 尺规作图——画圆 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，请用尺规作图法，以线段为直径求作． 【例2】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，是直角三角形，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出以为直径的圆，并标出圆心的位置（保留作图痕迹，不写作法）； (2)的平分线与交于点，连接、，求证：． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，． (1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求圆O的半径R． 【变式2】（2024·山东青岛·一模）画长的线段，并以此为半径，点x为圆心画一个半径为的圆x． 【变式3】（23-24九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，利用尺规作图法求作使与的交点D到圆心C的距离最短（不写作法，保留作图痕迹）． 题型12. 举反例 【例1】（2025·河南驻马店·三模）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【例2】（2024·河南驻马店·二模）能说明“若，则”是假命题的一个反例可以是 ． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（24-25七年级下·上海金山·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中值可以是 ． 【变式4】（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）用“举反例”的方法说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是 ． 题型13. 反证法中的假设 【例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（    ） A．等腰三角形的底角大于 B．等腰三角形的底角等于 C．等腰三角形的底角小于 D．等腰三角形的底角大于或等于 【例2】（24-25九年级上·天津·阶段练习）用反证法证明：不在同一条直线上的三点确定一个圆，证明时可以先假设 ． 【变式1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证明：三角形中至少有一个角不小于，先要假设（   ） A．三角形中每一个角都小于 B．三角形中有一个角大于 C．三角形中至少有一个角大于 D．三角形中有一个角小于 【变式3】（24-25八年级下·浙江金华·期末）用反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设 ． 【变式4】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）用反证法证明“已知：是正整数，且是偶数．求证：是偶数”时，应先假设 ． 题型14. 反证法的应用 【例1】（24-25八年级下·福建三明·期中）已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）请用反证法证明：已知：，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 【变式4】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设______，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“_______”矛盾，故假设不成立．所以． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知的半径为．若点到圆心的距离为，则点（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．与的位置关系无法确定 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（ ） A．有一个锐角小于 B．每一个锐角都小于 C．有一个锐角大于 D．每一个锐角都大于 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·上海·期中）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北邯郸·三模）对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，或 B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，应该等于 D．小亮的求解不正确，的度数不固定 6．（24-25七年级下·广东中山·期末）对于命题“已知，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点B是线段上的点，且满足，．将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，取线段的中点D，则点A与点D的最小距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2025·浙江杭州·三模）已知中，弦垂直弦，，，则关于直径的说法正确的是（    ） A．一定等于 B．可能大于 C．不可能大于 D．不可能等于 10．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P在对角线上，以点A为圆心，2为半径长作，以点P为圆心作，如果点C在内而点D在外，并且与外切，那么可以作为半径长的值是（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 二、填空题 11．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设 ． 12．（24-25九年级上·河北保定·期中）用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设 13．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知的面积为，点与在同一平面内，若，则点在 （填写“内”、“上”、“外”）． 14．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    15．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 16．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知，将绕点顺时针旋转，若，，则在旋转过程中，的最小值是 ． 17．（2025·河南驻马店·三模）中，，点为的中点，为上一动点（可与点重合），将沿折叠，点的对应点为点，连接．设，则的取值范围是 ． 18．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 19．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 20．（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 三、解答题 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B在小正方形的顶点上，将线段绕着点O顺时针方向旋转，得到线段． (1)在网格中画出线段； (2)直接写出的外接圆的直径的长． 22．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法) 23．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 24．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 25．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 26．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 27．（2025·吉林·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点为正方形网格的中心，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中作，要求所做的同时满足以下三个条件： ①点A、B、C均在格点上； ②点为的外心； ③所画的三角形互不全等． 28．（24-25九年级下·吉林长春·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 29．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，已知图形，点是上任意两点，我们把线段的长度的最大值称为平面图形的“宽距”，记作． (1)边长为1的正方形的宽距为______； (2)已知点，连接所形成的图形为． ①若，直接写出的取值范围； ②已知点，以为圆心，1为半径作圆．若点为上任意一点时，都有，直接写出的取值范围． 30．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法） 31．（2025·广东中山·三模）综合与实践 【主题】曲轴连杆机构的运动分析与设计 【素材】 在某小型发动机的机构中，曲轴连杆的工作原理如图1所示：O为连杆轴，B为圆柱形气缸中活塞的圆心，直线平行于气缸内壁，连杆在活塞的带动下绕O轴匀速转动，连杆拖动活塞做往复运动．连杆长，连杆长． 【实践操作】 模拟曲轴连杆机构的运动过程，研究不同位置下连杆与活塞的关系． 【实践探索】 (1)活塞在气缸内最大移动的距离是__________． (2)点C为直线与的交点，当连杆从位置按顺时针方向旋转时，求活塞移动的距离．（计算结果保留根号） (3)如图2，发动机气缸底部开口的宽度为（与活塞直径相等），开口圆心为P，曲轴支点O位于气缸外部．当连杆支点A进入气缸内部时，需满足点A到气缸内壁的距离至少为，且活塞运动时不能脱离气缸．请确定满足条件时O、P之间距离的取值范围（结果保留一位小数）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$