21.2.2 公式法 课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.2　公式法 栏目导航 要点概览 探究新知 1.一元二次方程根的判别式 一般地,式子　 　叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示它,即Δ=　 　.  2.一元二次方程实数根情况的判别方法 (1)　 　⇔一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根;  (2)　 　⇔一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;  (3)　 　⇔一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根.  要点概览 b2-4ac b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 探究新知 探究点一　一元二次方程根的判别式 【例1】 (1)用公式法解一元二次方程3x2+x=7时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述中,正确的是( ) A.a=3,b=-1,c=7 B.a=3,b=1,c=-7 C.a=3,b=-1,c=-7 D.a=3,b=1,c=7 B 4 D D 5 运用一元二次方程根的判别式确定根数量的步骤:(1)把不是一般形式的一元二次方程化为一般形式;(2)确定a,b,c的值,并求出b2-4ac的值;(3)根据b2-4ac的值与0的大小关系确定一元二次方程根的 情况. 6 【例2】 已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x-1=0,根据下列条件求出m的取值范围. (1)方程有两个不等的实数根; (2)方程没有实数根. 【新知巩固】 1.对于一元二次方程2x2=x,它的根的情况为( ) A.有一个实数根 B.有两个不等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 B C 4 4.关于x的一元二次方程x2+2x+k-3=0有实数根. (1)求k的取值范围; (2)若k是该方程的一个根,求2k2+6k-5的值. 解:(1)∵x2+2x+k-3=0有实数根, ∴Δ≥0,即22-4(k-3)≥0,解得k≤4. (2)∵k是方程x2+2x+k-3=0的一个根,把x=k代入方程,得k2+2k+k-3=0, 即k2+3k=3, ∴2k2+6k-5=2(k2+3k)-5=2×3-5=1. 探究点二　用公式法解一元二次方程 【例3】 用公式法解方程: (1)x2-4x+2=0; (2)4x2+1=3x. 解:(2)方程化为4x2-3x+1=0, a=4,b=-3,c=1. Δ=b2-4ac=9-4×4×1=-7<0. ∴原方程没有实数根. 【新知巩固】 3x2+9x-1=0 (2)2x2-5x=-11. 解:(2)把2x2-5x=-11化为2x2-5x+11=0. ∴a=2,b=-5,c=11, Δ=b2-4ac=25-88<0, ∴原方程无解. 谢谢观赏！ 19 (2)用公式法解方程x2+4x=2,其中求得b2-4ac的值是( ) A.16 B.±4 C.32 D.64 (3)下列方程没有实数根的是( ) A.x2=3x B.5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D.4x2-5x+2=0 解:由m-2≠0,得m≠2, Δ=32-4×(m-2)×(-1)=4m+1. (1)∵方程有两个不等的实数根, ∴Δ=4m+1>0,解得m>-. ∴m的取值范围是m>-且m≠2. 解:(2)∵方程没有实数根, ∴Δ=4m+1<0, 解得m<-. ∴m的取值范围是m<-. 2.已知关于x的一元二次方程(k-2)x2+2x+3=0有两个不等的实数根,则k的取值范围是( ) A.k< B.k> C.k<且k≠2 D.k≤且k≠2 3.(1)关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根,则m的值为　 　; (2)若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实数根,则k的取值范围是 　 　. k≤且k≠0 解:(1)x2-4x+2=0, ∵a=1,b=-4,c=2, ∴Δ=(-4)2-4×1×2=8>0, ∴x=,即x1=2+,x2=2-. 5.用公式法解关于x的一元二次方程,得x=,则该一元二次方程是　 　. 6.解方程:x2+2x=2. 小明同学解答如下: ∵a=1,b=2,c=2, ∴b2-4ac=(2)2-4×1×2=4>0. ∴x==-±1. ∴x1=-+1,x2=--1. 请你分析以上解答是否有错?若有,找出错误地方,并写出正确的解答过程. 解:有错,错在常数项弄错. ∵a=1,b=2,c=-2, ∴b2-4ac=(2)2-4×1×(-2)=20>0. ∴x==-±. ∴x1=-+,x2=--. 7.用公式法解下列方程: (1)x2-2x=-3; 解:(1)方程化为x2-2x+3=0. a=1,b=-2,c=3. Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=0, 方程有两个相等的实数根 x1=x2=-=-=. $$