专题2.2 基本不等式同步知识归纳与分层检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.2 基本不等式 高中数学辅导资料 专题2.2 基本不等式 一、知识归纳： 1．基本不等式 如果，那么（当且仅当 时取“=”）. 说明：①对于非负数，我们把称为的 ，称为的 . ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有；另一方面当 时，有. 2．基本不等式求最值 （1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 . （2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 简记为：积定和最小，和定积最大. 3．几个重要不等式 （1） （）； （2） （）； （3） （）； （4） 或 （）； （5） 自查自纠：1． 算术平均数 几何平均数 2． 3． 2 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知，若，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】由于，，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故选：C． 2．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【详解】因为，所以，所以,当且仅当，即时，取得等号，故选:C. 3．已知，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选：B 4．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，，∴，当且仅当，等号成立，所以最小值为，故选：A. 5．已知，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【详解】由得：，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选： 6．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴ab≤，等号在a＝b＝时成立. ∴.故选：D 7．若正数x，y满足x2+3xy﹣1=0，则x+y的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正数满足，所以，则， 所以，当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，故的最小值为，故选B. 8．若实数 满足，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由实数 满足，，设，解得， 则， 当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为，故选D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．的最大值为2 D．最小值为 【答案】BD 【详解】当时，无最小值，故A错误；因为，所以，故B正确； ，所以的最大值为1，C错误；，当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：BD 10．若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】:,,且,,,A错误;,,B错误;,,C正确;,D正确.故选CD 11．已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，即，，当且仅当，即时，等号成立，即，，即，且分母不为0，解得或，选项中满足条件的有ACD．故选ACD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．当时，的最小值为 . 【答案】 【详解】，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为.故答案为：. 13．函数的最小值是 . 【答案】 【详解】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.故答案为：. 14．已知正数满足，则的最大值是 【答案】 【详解】，由，得， 因此，当且仅当时取等号，即，亦即时取等号，于是得， 所以当时，取得最大值为.故答案为： B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】B 【详解】由于，故，所以，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4.故选：B 2．设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：，当且仅当，即，即，时取等号. 3．设函数，则函数f（x）（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【详解】∵x＜0，∴，当且仅当，即时，等号成立.∴f（x）max＝﹣21，故选：D. 4．若，，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【详解】由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 故选A. 【点睛】本题考查利用基本不等式求和式的最小值，利用基本不等式求最值时也要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查计算能力，属于基础题. 5．设均为正实数，且，则的最小值为 A．4 B． C．9 D．16 【答案】D 【详解】因为，所以，即，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立.故选：． 6．已知，若，则的最小值是（    ） A．7 B．9 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：D. 7．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∵当时，不等式恒成立，∴只需．∴的取值范围为：．故选A． 8．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由恒成立，所以恒成立，又因为，，所以，当且仅当，即时取等号.所以，即的最大值为，故A正确.故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．若，，且，则的可能取值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【详解】,当且仅当即时等号成立，所以，由选项可知的可能取值为，不可能为，故选：CD. 10．若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对A选项：，，，，即（当且仅当时等号成立），故A选项正确；对B选项：，而成立，成立，故B选项正确；对C选项：，（当且仅当时等号成立），故C选项正确；对D选项：，（当且仅当时等号成立），，故D选项错误.故选：ABC. 11．下列说法正确的有（    ） A．的最小值为 B．已知，则的取值范围是 C．已知，则的最小值为4 D．已知，则最小值为2 【答案】BD 【详解】A：显然当时，，最小值不可能为2，A错；由，当且仅当时取等号，所以，故，当且仅当时取等号，故的取值范围是，B对； C：由， 当且仅当时取等号，所以的最小值为5，C错； D：令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，故最小值为2，D对. 故选：BD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知正数x，y满足x＋＝1，则＋的最小值为 ． 【答案】4 【详解】由x＋＝1得y＝x－x2，故＋＝＋＝＋＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时取“＝”．故＋的最小值为4.故答案为：4 13．若正实数x，y满足，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】因为正实数x，y满足，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：. 14．已知正数满足，若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意得，当且仅当，即，时取等号，所以实数的取值范围为.故答案为：. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$专题2.2 基本不等式 高中数学辅导资料 专题2.2 基本不等式 一、知识归纳： 1．基本不等式 如果，那么（当且仅当 时取“=”）. 说明：①对于非负数，我们把称为的 ，称为的 . ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有；另一方面当 时，有. 2．基本不等式求最值 （1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 . （2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 简记为：积定和最小，和定积最大. 3．几个重要不等式 （1） （）； （2） （）； （3） （）； （4） 或 （）； （5） 自查自纠：1． 算术平均数 几何平均数 2． 3． 2 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知，若，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 2．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 3．已知，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 4．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 6．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．若正数x，y满足x2+3xy﹣1=0，则x+y的最小值是（  ） A． B． C． D． 8．若实数 满足，则的最大值为 A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．的最大值为2 D．最小值为 10．若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．当时，的最小值为 . 13．函数的最小值是 . 14．已知正数满足，则的最大值是 B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．2 2．设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 3．设函数，则函数f（x）（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 4．若，，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 5．设均为正实数，且，则的最小值为 A．4 B． C．9 D．16 6．已知，若，则的最小值是（    ） A．7 B．9 C． D． 7．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．若，，且，则的可能取值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的有（    ） A．的最小值为 B．已知，则的取值范围是 C．已知，则的最小值为4 D．已知，则最小值为2 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知正数x，y满足x＋＝1，则＋的最小值为 ． 13．若正实数x，y满足，则的最小值为 . 14．已知正数满足，若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围为 ． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$