专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步知识归纳与分层检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 高中数学辅导资料 专题 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 一、知识归纳： 1．一元二次函数的图象与性质 （1）函数的图象是一条 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ． （2）当时，抛物线开口向上．在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大．函数在处有最小值，即 ． 当时，抛物线开口向下．在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小．函数在处有最大值，即 ． 2．二次函数解析式的三种形式 一般式： ． 顶点式：，顶点坐标为 ． 零点式：，，为的零点． 3．二次函数与一元二次方程、不等式 （1）一元二次不等式：一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，． （2）二次函数的零点：一般地，对于二次函数，我们把使 的实数x叫做二次函数的零点． （3）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实数根 的解集 的解集 4．用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式 通过配方总是可以变为 或 的形式，再由k的 ，可得原不等式的解集. 5．用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果，则不等式的解集是 ，不等式的解集是 . 6．写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件． （1），恒成立的充要条件是 且 ． （2），恒成立的充要条件是 且 ． （3），恒成立的充要条件是 且 ． （4），恒成立的充要条件是 且 ． 7．和型不等式的解法 ① ；② ． 自查自纠： 1．抛物线 2． 3．一个 2 或 4． 正负 5． 6． 7． 或 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．不等式的解集是                           A． B． C． D． 2．不等式的解集为，那么（   ） A． B． C． D． 3．当时，函数的值域为(　　) A． B． C． D． 4．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 6．若关于的不等式对任意的，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 7．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 8．已知函数.以下四个命题: ①，使得；      ②，使得； ③，均有成立；       ④，均有成立. 其中所有正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列不等式的解集为R的有（    ） A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0 C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1 10．与不等式的解集相同的不等式有（    ） A． B． C． D． 11．关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3}，则下列正确的是（　　） A．a<0 B．关于x的不等式bx+c>0的解集为{x|x<-6} C．a+b+c>0 D．关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为{x|x<-或x>} 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．不等式的解集是 ． 13．若关于的不等式的解集是，则 . 14．命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．不等式的解集是 A．R B． C． D．或 2．“”等价于（ ） A． B．—a<x<a C．或 D．或 3．已知关于的不等式的解集为，则等于 A． B．1 C． D．3 4．命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知不等式成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 8．若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．不等式|x|·(1－2x)＞0的解集是（    ） A． B．(－∞，0)∪ C． D． 10．若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 11．若不等式的解集是，则a的值为（　　） A．－2 B． C．－ D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若关于的不等式的解集是，则 13．若关于x的不等式解集为，则a的取值范围是 . 14．若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围是 ． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 高中数学辅导资料 专题 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 一、知识归纳： 1．一元二次函数的图象与性质 （1）函数的图象是一条 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ． （2）当时，抛物线开口向上．在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大．函数在处有最小值，即 ． 当时，抛物线开口向下．在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小．函数在处有最大值，即 ． 2．二次函数解析式的三种形式 一般式： ． 顶点式：，顶点坐标为 ． 零点式：，，为的零点． 3．二次函数与一元二次方程、不等式 （1）一元二次不等式：一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，． （2）二次函数的零点：一般地，对于二次函数，我们把使 的实数x叫做二次函数的零点． （3）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实数根 的解集 的解集 4．用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式 通过配方总是可以变为 或 的形式，再由k的 ，可得原不等式的解集. 5．用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果，则不等式的解集是 ，不等式的解集是 . 6．写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件． （1），恒成立的充要条件是 且 ． （2），恒成立的充要条件是 且 ． （3），恒成立的充要条件是 且 ． （4），恒成立的充要条件是 且 ． 7．和型不等式的解法 ① ；② ． 自查自纠： 1．抛物线 2． 3．一个 2 或 4． 正负 5． 6． 7． 或 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．不等式的解集是                           A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式对应的方程为，即，解得方程的根为或， 不等式的解集为，即不等式的解集为，故选C. 2．不等式的解集为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于一元二次不等式的解集为，所以.故选：A 3．当时，函数的值域为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为二次函数图像对称轴为，开口向上，所以当时，取最小值,当时，取最大值,所以值域为.故选：C. 4．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为不等式的解集为{x|－2<x<1}，所以a<0，排除C、D；又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，得其图象为B.故选：B. 5．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为关于的不等式在上有解，即在上有解，只需的图象与轴有公共点，所以，即，所以，解得：，所以实数的取值范围是，故选：A. 6．若关于的不等式对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】因为，，所以（当且仅当时等号成立），所以由题意，得，解得，故选C 7．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为不等式对于一切恒成立，所以对一切恒成立， 所以，又因为在上单调递减，所以， 所以，所以的最小值为，故选：C. 8．已知函数.以下四个命题: ①，使得；      ②，使得； ③，均有成立；       ④，均有成立. 其中所有正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【详解】令，所以，因为为开口向上的二次函数，所以对任意，总存在使得，故②正确④错误；因为当，，时，，所以方程，无解，所以恒成立，故①正确；因为当，时，，所以方程，有一根或两根，所以对任意，不恒成立，故③错误．故选：． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列不等式的解集为R的有（    ） A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0 C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1 【答案】AC 【详解】A中.满足条件；B中，解集不为R；C中，满足条件；D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选：AC 10．与不等式的解集相同的不等式有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为，A.，二次函数的图象开口朝下，所以的解集为； B.，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为； C.，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为； D. ，所以或，与已知不符. 故选：ABC 11．关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3}，则下列正确的是（　　） A．a<0 B．关于x的不等式bx+c>0的解集为{x|x<-6} C．a+b+c>0 D．关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为{x|x<-或x>} 【答案】ACD 【详解】因关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3}，则a<0，且-2，3是方程ax2+bx+c=0的二根，于是得，解得b=-a，c=-6a，对于A，因a<0，则A正确；对于B，不等式bx+c>0化为：-ax-6a >0，解得x>-6，B不正确；对于C，a+b+c=a-a-6a=-6a>0，C正确；对于D，不等式cx2-bx+a>0化为：-6ax2+ax+a>0，即6x2-x-1>0，解得或，D正确.故选：ACD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】当时，不等式化为，即，解得，当时，不等式化为，解得且，综上：原不等式的解集是，故答案为： 13．若关于的不等式的解集是，则 . 【答案】1 【详解】因为关于的不等式的解集是，所以是方程的两个根， 所以由根与系数的关系可得，得，故答案为：1 14．命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】命题甲：集合为空集，即方程没有实数解，当时，方程变为，故无解，符合题意当时，，即，综上命题甲为真，则.命题乙：关于的不等式的解集为则，解得，所以命题乙为真，则，因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题，所以当甲真乙假时，得，此时，当甲假乙真时，得，即.综上，的取值范围为. B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．不等式的解集是 A．R B． C． D．或 【答案】D 【详解】依题意，解得或.故选D. 2．“”等价于（ ） A． B．—a<x<a C．或 D．或 【答案】D 【详解】，当，或，当时，或，即或.答案选D 3．已知关于的不等式的解集为，则等于 A． B．1 C． D．3 【答案】A 【详解】由题得、2为方程的根，将代入，得，即， 故选A. 4．命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，对于恒成立，满足；当时，在恒成立，则，满足；综上，.故选：C 5．已知不等式成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为等价于，即，当，不等式为，显然不成立； 当时，不等式解得，当时，不等式解得，所以等价于或；因为不等式成立的一个必要不充分条件是， 所以或是的真子集，则或，解得或，即实数m的取值范围是.故选：C． 6．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式在内有解等价于时，.当时，，所以.故选：A. 7．若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解集为，，当时， 的解集为，因为关于x的不等式组的整数解只有，所以，即，当时，的解集为空集，不满足题意，当时，的解集为，不满足题意，综上，的取值范围.故选：D 8．若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为恒成立，所以恒成立恒成立恒成立， 故，解之得：.故选：A 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．不等式|x|·(1－2x)＞0的解集是（    ） A． B．(－∞，0)∪ C． D． 【答案】BD 【详解】原不等式等价于，解得且，即x∈(－∞，0)∪.故选：BD. 10．若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【详解】由，得函数的对称轴为，当时，函数取的最小值为，当或时，函数值为，因为函数的定义域为，值域为，所以，所以实数的值可能为.故选：ABC. 11．若不等式的解集是，则a的值为（　　） A．－2 B． C．－ D． 【答案】CD 【详解】因为不等式的解集是，所以和2为方程的两根， 所以根据根与系数的关系可得，所以.故选：CD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若关于的不等式的解集是，则 【答案】 【详解】由题设可知：关于的一元二次方程的两根为与，由韦达定理可得：，解得：，，故答案为：． 13．若关于x的不等式解集为，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题若关于x的不等式解集为，则.故答案为： 14．若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【详解】关于x的不等式（2x－1）2<ax2等价于，其中且有，故有，不等式的解集为，所以解集中一定含有1,2,3，可得，所以，解得. 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$