1.3正方形的性质与判定 课时2 课件-2025－2026学年北师大版数学九年级上册

1.3 课时2 正方形的判定 22200 1. 探索并证明正方形的判定； 2. 会运用正方形的判定条件进行有关的论证 . 学习目标 22200 全等三角形的教学重点应该放在如何拓展上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地填充。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。按边分类在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 探究1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 一组邻边相等 对角线互相垂直 正方形 新课导入 22200 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 知识讲解 22200 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. 知识讲解 22200 全等三角形的教学重点应该放在如何拓展上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地填充。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。按边分类在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 探究2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 菱形 一个角是直角 对角线相等 正方形 知识讲解 22200 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90° ， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 知识讲解 22200 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形. 定理4：对角线互相相等的菱形是正方形. 知识讲解 22200 全等三角形的教学重点应该放在如何拓展上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地填充。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。按边分类在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 例1.如图，点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′，求证：四边形A′B′C′D′是正方形. 经典例题 22200 证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴ BC=CD=DA=AB，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 又∵ AA′=BB′=CC′=DD′，∴ D′A=A′B=B′C=C′D. ∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′(SAS). ∴ D′A′=A′B′=B′C′=C′D′，∠2=∠ 3. ∴四边形A′B′C′D′为菱形.∵∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠3=90°.∴∠D′A′B′=180°－(∠1+∠ 3)=90°. ∴四边形A′B′C′D′为正方形. 经典例题 22200 例2.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE， 求证：四边形 BECF 是正方形. 45° 45° 经典例题 22200 全等三角形的教学重点应该放在如何拓展上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地填充。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。按边分类在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC=90°, ∠DCB=90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB, ∴∠EBC=45°, ∠ECB=45°，∴ ∠EBC=∠ECB . ∴ EB=EC,∴□BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°, ∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形. 经典例题 22200 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线， ①若∠BEF=30°，则∠A =______. ②若 EF=8cm, 则 AC =______. 你还记得三角形的中位线定理吗？ 30° 16 cm 知识讲解 22200 中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形. 如图1-3-4，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点， 则四边形EFGH 就是中点四边形. 知识讲解 22200 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？正方形的中点四边形会是什么形状？ 任意四边形的中点四边形是平行四边形. 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 知识讲解 22200 全等三角形的教学重点应该放在如何拓展上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地填充。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。按边分类在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形ABCD 各边的中点.求证：四边形 EFGH为正方形. 知识讲解 22200 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC 且EF = AC， 同理可证 HG∥AC 且HG = AC， EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD且FG = BD. ∴四边形 PFQO 为平行四边形. 知识讲解 22200 全等三角形的教学重点应该放在如何拓展上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地填充。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。按边分类在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 菱形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四边形会是什么形状？ 菱形的中点四边形是矩形. 你能试着证明吗？ 矩形的中点四边形是菱形. 知识讲解 22200 已知：如图，点 E，F，G，H分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD. ∴EF∥HG，EH∥FG， 知识讲解 22200 全等三角形的教学重点应该放在如何拓展上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地填充。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。按边分类在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 ∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴∠1=90°，∠2=90°. ∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义） 知识讲解 22200 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴EF∥AC 且 EF = AC， 同理可证 HG∥AC且HG = AC， EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD. 知识讲解 22200 全等三角形的教学重点应该放在如何拓展上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地填充。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。按边分类在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH ∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义） 知识讲解 22200 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。 原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 知识讲解 22200 全等三角形的教学重点应该放在如何拓展上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地填充。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。按边分类在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 例3.如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明：∵四边形ABCD为正方形, ∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°, ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH. 经典例题 22200 同理可证：OE=OF=OG, ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形. ∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, ∴四边形EFGH为正方形. 经典例题 22200 全等三角形的教学重点应该放在如何拓展上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地填充。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。按边分类在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 1.在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是(　　) A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　) A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF B C 随堂练习 22200 3．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H 分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？ 解：四边形EFGH是正方形. 理由如下：在正方形ABCD中， AB=BC=CD=AD, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CG=DH,∴BE=CF=DG=AH. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS). 随堂练习 22200 全等三角形的教学重点应该放在如何拓展上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地填充。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。按边分类在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 ∴∠AEH=∠DHG,HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形. ∵∠AEH+∠AHE=90°， ∴∠DHG+∠AHE=90°. ∴∠EHG=90°. ∴四边形EFGH是正方形. 随堂练习 22200 正 方 形 对角线相等 性质 判定 正方形的面积公式 特殊的矩形 一组邻边相等 对角线互相垂直 特殊的菱形 一个角是直角 课后总结 22200 $$