专题02 空间向量在立体几何中的应用（压轴题专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题02 空间向量在立体几何中的应用 目录 典例详解 类型一、建立空间直角坐标系的方法与技巧 类型二、空间向量证明平行与垂直 类型三、空间向量计算空间角与距离 压轴专练 类型一、建立空间直角坐标系的方法与技巧 1.建立空间直角坐标系的原则 在建系时应该注意三条坐标轴所在的直线应当两两垂直，若题中未告知，则需根据线面垂直或面面垂直等条件证明；若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的建系环境. 2.建立空间直角坐标系的技巧 （1）以“特殊点”为原点：①几何体的顶点/对称中心：如正方体的顶点、球心、正棱锥的顶点等，利用对称性简化坐标；③线面交点/中点：若几何体中有垂直关系（如线面垂直），可将垂足设为原点，方便表示垂直方向的坐标轴. （2）利用“垂直关系”定轴：①已有两两垂直的直线：直接作为x、y、z轴；②构造垂直关系：若没有现成垂直直线，可通过作垂线（如底面内作x、y轴，垂直底面方向为z轴）. （3）简化坐标的技巧：①让尽可能多的点在坐标轴或坐标面上：减少坐标中的非零值；②设参数表示长度：若几何体边长未知，可设为1（或a），避免具体数值的干扰，最后根据条件求解参数. 例1．如图，三棱柱的各条棱长均为是2，侧棱与底面ABC所成的角为60°，侧面底面ABC，点P在线段上，且平面平面，则 ．    变式1-1．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 变式1-2．已知等腰梯形ABCD中，为AD中点，现将沿BE折起，使到达点的位置，得到四棱锥. （1）求证：； （2）当二面角的大小为时，记的重心为，点在线段BC上，且满足平面PCD， （i）试确定点的位置并说明理由； （ii）求平面DGF与平面DPC所成角的正弦值. 变式1-3．如图，在三棱柱中，△ABC是边长为2的正三角形，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：三棱柱的体积为； 条件③：三棱锥是正四面体． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 类型二、空间向量证明平行与垂直 1.空间位置关系的向量表示： 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 2.向量法解决几何问题的步骤 （1）建立空间图形与空间向量的对应关系把几何问题转化为向量问题； （2）进行向量的加减、数乘、数量积运算,得出向量运算的结果； （3）把向量运算的结果转化为相应的几何问题的结果. 例2．在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（    ）. A． B． C． D． 变式2-1．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 变式2-2．（多选）在正方体中，M，N分别为线段的中点，为正方形内（包含边界）的动点，则（  ） A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点，使得平面平面CDP C．存在唯一的点，使得平面 D．直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为 变式2-3．在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M为AD的中点，动点P满足，且. （1）若时，求证：； （2）若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； （3）若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围. 类型三、空间向量计算空间角与距离 1.利用空间向量求空间角 （1）异面直线所成角： 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． （2）直线与平面所成角： 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. （3）二面角： 若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. 平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 2.利用空间向量求空间距离 （1）点到直线的距离： 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点到平面的距离： 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为. （3）线面距和面面距：（线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解） ①直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. ②两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. 例3．（多选）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 变式3-1．在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角的范围是 B．直线与平面所成角的最大值为 C．二面角的大小不确定 D．直线与平面不垂直 变式3-3．如图，在四棱锥中，平面，.点在棱上且与不重合，平面交棱于点. （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点到平面的距离分别为，求的最小值. 一、单选题 1．体积为1的正四棱锥的侧棱上分别有三点，且, ，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形， 为BC的中点，.则平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．已知正方体的棱长为1，，是棱、的中点，动点满足，其中，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则平面 B．若，则与所成角的取值范围为 C．若平面，则 D．若，则 4．已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．在正三棱柱中，点E为棱的中点，点F为棱的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．若，则 C．若，则直线与所成角的余弦值为 D．若，则平面与平面的夹角为 6．已知三棱锥中，，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是上靠近点的四等分点，设，，，下列说法正确的是（   ） A．是平面的一个法向量 B． C．直线与直线所成角为 D．点到平面的距离为 7．已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（    ） A．若是棱的中点，则平面 B．点到直线的距离的最小值为 C．棱上存在点，使得 D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 三、填空题 8．如图，在正方体中，点分别在棱，，上，为的中点，，，记平面与平面的交线为．则直线与平面所成角的正切值为 ． 9．如图，在棱长为6的正四面体中，点满足，则四面体的外接球的表面积为 ． 四、解答题 10．如图，在四棱锥中，，，，为边的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 11．如图，在四棱锥中，为矩形，且，，. （1）求证：平面； （2）若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且. ①求点到平面的距离； ②求平面与平面所成夹角的正弦值. 12．如图，正方体的棱长为，为线段上的动点，，分别是线段，上的点，且，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另外一条直线距离的最小值，求异面直线与之间的距离； （3）求异面直线与所成角的余弦值的最大值，并说明点的位置. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量在立体几何中的应用 目录 典例详解 类型一、建立空间直角坐标系的方法与技巧 类型二、空间向量证明平行与垂直 类型三、空间向量计算空间角与距离 压轴专练 类型一、建立空间直角坐标系的方法与技巧 1.建立空间直角坐标系的原则 在建系时应该注意三条坐标轴所在的直线应当两两垂直，若题中未告知，则需根据线面垂直或面面垂直等条件证明；若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的建系环境. 2.建立空间直角坐标系的技巧 （1）以“特殊点”为原点：①几何体的顶点/对称中心：如正方体的顶点、球心、正棱锥的顶点等，利用对称性简化坐标；③线面交点/中点：若几何体中有垂直关系（如线面垂直），可将垂足设为原点，方便表示垂直方向的坐标轴. （2）利用“垂直关系”定轴：①已有两两垂直的直线：直接作为x、y、z轴；②构造垂直关系：若没有现成垂直直线，可通过作垂线（如底面内作x、y轴，垂直底面方向为z轴）. （3）简化坐标的技巧：①让尽可能多的点在坐标轴或坐标面上：减少坐标中的非零值；②设参数表示长度：若几何体边长未知，可设为1（或a），避免具体数值的干扰，最后根据条件求解参数. 例1．如图，三棱柱的各条棱长均为是2，侧棱与底面ABC所成的角为60°，侧面底面ABC，点P在线段上，且平面平面，则 ．    【答案】 【分析】取中点，连接，，由已知可得，，两两垂直，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，求得平面与平面的一个法向量，可求得结论． 【详解】侧面底面，则点在平面上的射影在直线上， 为直线与底面所成的角， ，三棱柱的各条棱长均为2， 是等边三角形， 取中点，连接，，则， ∵侧面底面，侧面底面，面， 所以面， 如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系， 则， 故， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，， 平面的一个法向量为， 平面平面，∴， ，，． 故答案为：． 变式1-1．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）设中点为，连接，由等边三角形、面面垂直的性质得、，再由线面垂直的性质、判定证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，并求出直线与平面的方向向量、法向量，再应用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）设中点为，连接，因为为等边三角形，故， 由题意，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故， 又M为的中点，为等边三角形，则， 因为，平面，所以平面. （2）由（1）知平面，平面，故， 连接，，则， 即四边形为平行四边形，故，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为θ，，则. 变式1-2．已知等腰梯形ABCD中，为AD中点，现将沿BE折起，使到达点的位置，得到四棱锥. （1）求证：； （2）当二面角的大小为时，记的重心为，点在线段BC上，且满足平面PCD， （i）试确定点的位置并说明理由； （ii）求平面DGF与平面DPC所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）（i）答案见解析；（ii） 【分析】（1）根据空间中线面的位置关系，证明线面垂直，根据线面垂直的性质定理，证明线线垂直即可. （2）（i）根据空间中线面的位置关系，通过面面平行的判定定理证明面面平行，进而通过面面平行的性质定理，证明线面平行； （ii）根据面面夹角的向量方法，建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，通过向量数量积和同角三角函数关系，求出面面夹角的正弦值； 【详解】（1）取BE中点O，连接， 在中，由于，所以， 由于四边形BCDE为菱形且， 所以为正三角形，， 又由于且平面，所以平面PCO， . （2）（i）如图所示，取PB三分点（靠近点），BC三分点（靠近点），连接， 由于，，平面PCD， 又，，平面PCD， 因为，平面PCD，平面， 所以平面平面PCD，故平面PCD； （ii）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，平面BCDE，建立如图坐标系： 由于，，， 此时；由可得， 又可得，同理由得； 设平面PCD的法向量为，由可得， 令，则平面PCD的一个法向量为； 设平面GFD的法向量为，由可得， 令，则平面GFD的一个法向量为； 设平面DGF与平面DPC所成角为， 则，即. 变式1-3．如图，在三棱柱中，△ABC是边长为2的正三角形，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：三棱柱的体积为； 条件③：三棱锥是正四面体． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明见解析；（2）选条件②或条件③， 【分析】（1）由正三棱锥的性质以及正三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直，可得答案； （2）由题意，建立空间直角坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）证明：取中点为，连接和 ∵，∴ 又△ABC为等边三角形，∴ ∵，，面， ∴平面，又面，∴ ∵三棱柱中， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形. （2）条件①：不符合题意 条件②：取中点为，连接，交于点，则底面 三棱柱的体积为，底面积为，所以高， 以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向， 过点且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量， 因为，． 则，取，可得， 又， 设直线与平面所成角为， 所以． 条件③：为正四面体，∴ 取中点为，连接，交于点，则底面. 由等边△ABC易得，， 以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向， 过点且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量， 因为，． 则，取，可得， 又， 设直线与平面所成角为， 所以． 类型二、空间向量证明平行与垂直 1.空间位置关系的向量表示： 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 2.向量法解决几何问题的步骤 （1）建立空间图形与空间向量的对应关系把几何问题转化为向量问题； （2）进行向量的加减、数乘、数量积运算,得出向量运算的结果； （3）把向量运算的结果转化为相应的几何问题的结果. 例2．在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系设点，利用以及两点的位置关系可得点的轨迹为四边形，求出该矩形周长即可得结果. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，， 设，则， ，可得； 当时，，当时，， 取， 连结，则， 四边形为矩形，则， 即，又和为平面中的两条相交直线， 平面，又， 为的中点，则平面， 为使，必有点平面， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形， 又，则点的轨迹不是正方形， 则矩形的周长为. 故选：A. 变式2-1．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 【答案】C 【分析】以点A为原点建立空间直角坐标系，结合选项，利用坐标法解决问题. 【详解】依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 设，，又， 所以，所以，A选项正确， 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 要使平面，平面， 则，解得， 所以存在点，使平面，B选项正确， 若直线与直线所成角为，又， 则， ，无解，所以C选项错误. 故选：C. 变式2-2．（多选）在正方体中，M，N分别为线段的中点，为正方形内（包含边界）的动点，则（  ） A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点，使得平面平面CDP C．存在唯一的点，使得平面 D．直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为 【答案】ABD 【分析】对A，等体积转化，直接判断；对B，建系，计算量两平面的法向量进行判断即可；对C，计算判断可得结果；对D，利用向量计算正弦值为，然后判断即可. 【详解】对A，如图，，因为点到平面的距离为定值，为定值， 所以棱锥的体积为定值，故A正确； 对B，建立空间直角坐标系如图所示： 设正方体的棱长为2，所以，其中， ， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以，令，所以， ，令，所以 若平面平面CDP，则，不符合题意， 所以B正确； 对C，又，所以，若平面， 所以，所以点不唯一，故C错误； 对D，，平面的一个法向量为， 所以直线PM与平面ABCD所成角的正弦值为 令，则，当时，有 所以直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为，故D正确. 故选：ABD． 变式2-3．在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M为AD的中点，动点P满足，且. （1）若时，求证：； （2）若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； （3）若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量数量积为零，可得答案； （2）由（1）的坐标系，求得平面的法向量与直线的方向向量，利用线面位置关系可得参数的等量关系，可得答案； （3）由（1）的坐标系，根据几何性质，明确球心的位置，利用数量积为零可得参数的范围，可得答案. 【详解】（1）在底面菱形中，连接，记，取的中点为，连接， 在菱形中，，在直四棱柱中，易知平面， 因为平面，所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 因为，所以，， 可得， 则， 所以，则， 由，则，即， 因为，所以，则. （2）由题意作图如下：由图可知平面的一个法向量， 由，则的中点的坐标为， 即，由，则（）， 由（1）可知，由，则 则， 由平面，则，解得， 所以，则， 当时，等号成立，所以的最小值为. （3）由题意可作图如下： 由（1）可得，由（），则， 设的中点为，则， 在菱形中，且为中点，则， 在三棱锥中，底面的外接圆圆心为的中点， 易知球心为线段的中垂线与直线的交点，则设 由，则， 易知，可得，解得， 由，，则，即， 所以. 类型三、空间向量计算空间角与距离 1.利用空间向量求空间角 （1）异面直线所成角： 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． （2）直线与平面所成角： 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. （3）二面角： 若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. 平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 2.利用空间向量求空间距离 （1）点到直线的距离： 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点到平面的距离： 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为. （3）线面距和面面距：（线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解） ①直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. ②两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量. 例3．（多选）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可判断ABD，根据向量法求距离公式即可判断C. 【详解】以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于A：，， ， 直线与所成角的范围为，故直线与所成角为，A正确； 对于B：，显然是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以， 直线与平面所成角范围为，则，B正确； 对于C：，设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 故点到平面的距离，C正确； 对于D：显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 设二面角的大小为， ， 因此二面角的大小为，D错误. 故选：ABC. 变式3-1．在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以，，为空间向量的基底，表示出和，利用空间向量的数量积，求异面直线的夹角. 【详解】如图： 因为，所以， 则， 又，所以， 则， 又平面，平面，所以，， 即， 又，所以 所以 ， ，， 所以， 则直线与直线夹角的余弦值为． 故选：A. 变式3-2．如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角的范围是 B．直线与平面所成角的最大值为 C．二面角的大小不确定 D．直线与平面不垂直 【答案】D 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，由直线方向向量夹角余弦的范围即可判断；对于B，由线面角正弦值的公式即可判断；对于C，由两平面的法向量夹角余弦即可判断；对于D，由即可判断. 【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 不妨设正方体棱长为1，， 对于A，， 不妨设直线与所成角为， 所以， 当增大时，分别减小，增大，所以关于单调递减， 所以，所以，故A错误； 对于B，由题意，且显然平面的法向量为， 不妨设直线与平面所成角为， 则单调递增，， 所以，所以，故B错误； 对于C，， 所以， 不妨设平面与平面的法向量分别为， 所以有和，令，解得， 即取平面与平面的法向量分别为， 二面角为锐角，不妨设为， 则， 所以二面角的大小为，故C错误； 对于D，， 所以， 所以与不垂直，所以直线与平面不垂直. 故选：D. 变式3-3．如图，在四棱锥中，平面，.点在棱上且与不重合，平面交棱于点. （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点到平面的距离分别为，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先证平面，在根据线面平行的性质定理可得. （2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，用向量法求二面角的三角函数值. （3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求它的最小值. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面. 所以. （2）如图： 取中点，连接. 因为平面，平面，所以. 在四边形中，，且， 所以四边形为矩形，所以平面. 又在和中，，，. 所以（）. 所以，. 故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 当为中点时，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取，可得 故. 设平面的法向量为， 则，取，得， 得. 所以. 所以二面角的正弦值为：. （3）设，（），，则，，. 设平面的法向量为，则 ， 令，则，取. 则到平面的距离为：， 到平面的距离为：， 所以 设，则 那么， 当且仅当即时取等号. 所以. 一、单选题 1．体积为1的正四棱锥的侧棱上分别有三点，且, ，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当直角坐标系，利用向量依次求出，面的法向量，接着求出点B到面的距离和即可由锥体体积公式计算求解. 【详解】连接相交于点，连接，则由题意可知平面， 故可得两两垂直，故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正四棱锥底面边长为，则正四棱锥的体积为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以点B到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为. 故选：C. 2．如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形， 为BC的中点，.则平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系，结合等体积法可得，即可建立空间直角坐标系，运用法向量求解. 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以． 又因为，平面, 所以平面,平面，所以． 由于,所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以，所以． 因为，所以， 又，平面，所以平面，则面． 取中点，连接，由面，面，则面面，面面， 根据已知易知，所以为三棱柱， 设，多面体的体积为， 则 ． 解得． 建立如图所示的空间直角坐标系，则，． 则平面的一个法向量，且， 设平面的一个法向量，则即取． 所以，平面与平面夹角的余弦值为． 故选：C. 3．已知正方体的棱长为1，，是棱、的中点，动点满足，其中，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则平面 B．若，则与所成角的取值范围为 C．若平面，则 D．若，则 【答案】C 【分析】建系，分析可知.对于A：利用空间向量判断垂直关系；对于B：利用空间向量求异面直线夹角；对于C：利用空间向量求线面平行；对于D：分析可知点在以为直径的球面上，举反例说明即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 则，即. 对于选项A：因为若，，即， 可得，， 因为不恒为0，即与不一定垂直， 所以与平面不一定垂直，故A错误； 对于选项B：若，即， 可得，， 设与所成角为， 则， 当且仅当时，等号成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即或时，等号成立， 综上所述：，所以，故B错误； 对于选项C：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 若平面，则， 可得，整理可得，故C正确； 对于选项D：若，则点在以的中点为球心，半径的球面上， 例如，符合题意，但，故D错误； 故选：C. 4．已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线，点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系，由，故的最小值为异面直线的距离，再利用空间向量法求异面直线距离距离即可. 【详解】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线， 点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系， ， 又是异面直线上的点， 所以的最小值为异面直线的距离， ， ， 设与直线都垂直的一个向量， 则，不妨取，， 所以异面直线的距离. 故选：C. 二、多选题 5．在正三棱柱中，点E为棱的中点，点F为棱的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．若，则 C．若，则直线与所成角的余弦值为 D．若，则平面与平面的夹角为 【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；利用空间位置的向量证明判断B；（或其补角）即为直线与所成的角，由余弦定理求出异面直线夹角余弦判断C；是平面与平面的夹角，即为平面与平面的夹角，利用三角函数关系求出二面角大小判断D. 【详解】对于A：依题意，，则四边形为平行四边形, 所以，又平面，平面，故平面，故A正确； 对于B：因为，又，， 所以 ， 则，故B正确； 对于C，因为，所以（或其补角）即为直线与所成的角， 不妨设，，则，， 故直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，取的中点，连接，则是正三棱柱的中截面， 平面平面，平面与平面的夹角等于平面与平面的夹角， 取的中点，连接，由， 得，又，则是平面与平面的夹角， 在中，，则， 所以平面与平面的夹角为，故D正确． 故选：ABD. 6．已知三棱锥中，，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是上靠近点的四等分点，设，，，下列说法正确的是（   ） A．是平面的一个法向量 B． C．直线与直线所成角为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】A选项，由于是空间的一组基底，设平面的一个法向量，利用即可求解；B选项，用基底表示，计算是否成立；C选项，用基底表示，根据夹角公式求解；D选项，结合A求出的法向量，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】 由题知，，，， A选项，显然是空间的一组基底， 故可设平面的一个法向量，于是， 即，即, 取，则，于是是平面的一个法向量， A选项正确； B选项， ，， 于是， 即不成立，B选项错误； C选项，，，则， 由于，，则是等边三角形，则， 于是，则向量的夹角是， 则直线与直线所成角为，C选项正确； D选项，根据点到平面的距离公式，点到平面的距离为， 而， ， 于是点到平面的距离为，D选项正确. 故选：ACD 7．已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（    ） A．若是棱的中点，则平面 B．点到直线的距离的最小值为 C．棱上存在点，使得 D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 【答案】ACD 【分析】对于A，设的中点为，通过证明四边形为平行四边形，可证得平面；对于B，通过建系设点，利用空间点到线的距离公式可求最小值；对于C，利用向量的坐标表示出夹角，计算出当时，，即可判断；对于D，由题意可求，再利用球的截面问题可直接求截面面积的最小值. 【详解】如图，设的中点为，连接，   是中点，，且， 对于A，若是中点，，且， ，且，所以四边形为平行四边形， ，又平面，平面，平面，故A正确； 根据题意，以为原点，以直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，，， 所以点到直线的距离， 即点到直线的距离的最小值为，故B错误； 对于C，，所以， 则，当时，，即， 所以棱上存在点，使得，故C正确； 对于D，当是棱的三等分点时，点或，球心， 所以，又正方体外接球半径， 所以截面所得圆的最小半径，其面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 8．如图，在正方体中，点分别在棱，，上，为的中点，，，记平面与平面的交线为．则直线与平面所成角的正切值为 ． 【答案】 【分析】先作出平面截正方体的截面为六边形，并得到平面与平面的交线为，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为6，写出点的坐标，平面的一个法向量为，利用公式先求出线面角的正弦值，进而求出余弦和正切值. 【详解】设直线与直线分别相交于点， 连接并延长，交于点，交的延长线与点， 连接，交于点，交于点，连接， 其中与相交于点， 故六边形即为平面截正方体的截面， 设与相交于点，连接，则平面与平面的交线为， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为6， 因为为的中点，，， 所以，， 因为，所以，故， 故，所以，解得， 故，同理可得，故， 显然平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角大小为， 则， 故，. 故答案为：. 9．如图，在棱长为6的正四面体中，点满足，则四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】利用正四面体的空间几何特征得到点在平面上，再结合几何特征求解出建立空间直角坐标系外接球的半径为，则利用外接球的几何特征求得外接球的半径.从而求出外接球的体积. 【详解】在正四面体中，取的中点为，连接． 易知平面． 设四面体的外接球的球心为，则点在平面上． 设在平面上的射影分别为，显然为的重心， 则． 在中，， 则． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设，外接球的半径为，则， 即， 即解得即， 则所求外接球的表面积． 四、解答题 10．如图，在四棱锥中，，，，为边的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）先证明平面，由勾股定理证明，可证平面，得证； （2）延长至点，可得，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）因为，所以． 又因为，平面，， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，平面，，相交， 所以平面． 因为平面，所以． 在四边形中，，，， 所以，． 又因为为边的中点， 所以． 所以．所以． 因为，平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （2）如图，延长至点，使得，连接． 因为，，， 所以四边形为矩形．所以， 由（1）平面， 因为直线与平面所成角为， 所以． 因为，所以． 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，． 设平面的法向量，则，即， 取，，，平面的一个法向量． 所以点到平面的距离． 11．如图，在四棱锥中，为矩形，且，，. （1）求证：平面； （2）若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且. ①求点到平面的距离； ②求平面与平面所成夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【分析】（1）由余弦定理得到，进而得到即可求证； （2）建系，通过点到面的距离公式及面面角的夹角公式即可求解. 【详解】（1）在中，，，， 所以，解得：， 所以，所以， 又，为平面内两条相交直线， 所以平面； （2）（2）由（1）知，平面，， 所以平面，又在平面内，所以平面平面， 在平面内，所以， 在三角形中，，，， 所以，又， 所以， 又， 又， 所以，又， 所以， 取的中点， ，可知：， 因为平面平面，交线为， 又在平面内， 所以平面，如图建立空间直角坐标系 易得：, 所以， 设平面的法向量为， 则，所以，令，得，即， 又， 所以求点到平面的距离， ②， 设平面的法向量， 则，所以， 令，则，可得：， 设平面与平面所成夹角为， 所以， 所以， 即平面与平面所成夹角的正弦值为. 12．如图，正方体的棱长为，为线段上的动点，，分别是线段，上的点，且，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另外一条直线距离的最小值，求异面直线与之间的距离； （3）求异面直线与所成角的余弦值的最大值，并说明点的位置. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），点在靠近点的线段的三等分点处 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据条件求得，从而有，，利用线面垂直的判定定理得面，再利用面面垂直的判定定理，即可求解； （2）设是直线上任意一点，且，利用向量法，求得到直线的距离，即可求解； （3）利用线线角的向量法，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为，且， 则 ， 所以， 因为，则，即， 又，则，即， 又平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2）设是直线上任意一点，且， 又，所以，得到， 则，又，设到直线的距离为， 则， 所以当时，取到最小值，最小值为，故异面直线与之间的距离为. （3）因为为的中点，所以，设， 则，，设异面直线与所成的角为， 则， 令，则，所以， 当且仅当，即时取等号，所以， 又当时，，即点在靠近点的线段的三等分点处. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$