16.2.3 多项式与多项式相乘 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

16.2.3 多项式与多项式相乘 1 1.探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算． 2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力. 学习目标 问题 如图,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长a米,宽p米的长方形绿地,增长了b米,加宽了q米.你能用几种方法求出扩大后的绿地的面积? p q a b ap ｂq ｂp aq 新知探究 p q a b ap ｂq ｂp aq 解法一：扩大后的绿地面积可以看成长为（a+b)m,宽为(p+q)m的长方形，所以这块绿地的面积为 (a+b)(p+q) ① 解法二：扩大后的绿地面积还可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积为 ap+aq+bp+bq ② 新知探究 由于①和②表示同一个量,所以: (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq 多项式 多项式 思考：观察式子(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq 的特征，你能说出多项式与多项式相乘的法则吗？ 把p+q看做一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得 (a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q). 新知探究 再利用单项式与多项式相乘的法则，得 a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq． 总体上看，(a+b)(p+q)的结果可以看作由a+b的每一项乘p+q的每一项，再把所得的积相加而得到的， 即 (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq 新知探究 (a+b)( p+q)=ap+aq+bp+bq (a+b+c)(p+q）=ap+aq+bp+bq+cp+cq 多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 推广： 注意：多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，做到不重不漏. 新知探究 多项式与多项式相乘的步骤： (1) 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项； (2) 把各乘积相加； (3) 有同类项的要合并同类项； (4) 通常把结果整理成按某一字母的降幂排列. 总结归纳 知识点一：多项式乘多项式法则 1. (1)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的__________乘另一个多项式的每一项，再把所得的积________．即 ＝______＋______＋______＋______； (2)几何解释：如图，大长方形的面积等于四个小长形的面积． 每一项 相加 ap aq bp bq 能力提升 2. (1)计算(a－3)(－a＋1)的结果是( ) A．－a2－2a＋3 B．－a2＋4a－3 C．－a2＋4a＋3 D．a2－2a－3 (2)下列多项式相乘，结果为a2＋6a－16的是( ) A．(a－2)(a－8) B．(a＋2)(a－8) C．(a－2)(a＋8) D．(a＋2)(a＋8) C C 知识点二：多项式乘多项式法则的应用 3. 运用法则时应注意以下两点： (1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； (2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4. 计算： (1)(x＋a)(x＋b)； 解：原式＝x2＋bx＋ax＋ab＝x2＋(a＋b)x＋ab (2)(3a－b)(a＋3b). 解：原式＝3a2＋9ab－ab－3b2＝3a2＋8ab－3b2 知识点三：混合运算 5. (1)与数的混合运算一样，整式的混合运算要注意运算顺序； (2)有同类项的要合并同类项，最后结果必须是最简结果． 6. 计算：(3y＋2)(y－4)－3(y－2)(y－3). 解：原式＝3y2－12y＋2y－8－3(y2－5y＋6) ＝3y2－12y＋2y－8－3y2＋15y－18 ＝5y－26 【典例导引】 7. 【例1】若(x＋4)(x－2)＝x2＋mx＋n，则m，n的值分别是( ) A．2，8    B．－2，－8 C．－2，8    D．2，－8 D 【变式训练】 8. 已知(x＋3)(x＋m)＝x2＋nx－24，则m，n的值分别是( ) A．8，11    B．－8，－5 C．8，15    D．－8，11 B 9. 【例2】计算： (1)(2x2－3)(x＋5)； 解：原式＝2x3＋10x2－3x－15 (2)(a2－4a＋2)(3a＋2). 解：原式＝3a3＋2a2－12a2－8a＋6a＋4＝3a3－10a2－2a＋4 10. 计算： (1)(x－2)(x＋3)； 解：原式＝x2＋x－6 (2)(a＋3)(a2＋3a－2). 解：原式＝a3＋3a2－2a＋3a2＋9a－6＝a3＋6a2＋7a－6 解：原式＝x2－2x＋1＋3x－x2＝x＋1， 12. 先化简，再求值：(2a＋b)(a－2b)＋2a(b－a)，其中a＝1，b＝2. 解：原式＝2a2－4ab＋ab－2b2＋2ab－2a2＝－ab－2b2， 当a＝1，b＝2时，原式＝－2－8＝－10 13. 【例4】 如图，某市有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米； (2)求出当a＝5，b＝4时的绿化面积． 解：(1)S阴影＝(3a＋b)·(2a＋b)－(a＋b)(a＋b)＝6a2＋3ab＋2ab＋b2－a2－ab－ab－b2＝(5a2＋3ab)平方米． 答：绿化的面积为(5a2＋3ab)平方米 (2)当a＝5，b＝4时，5a2＋3ab＝5×52＋3×5×4＝185(平方米). 答：绿化的面积为185平方米 14. 如图，在长为(2a＋3)米，宽为(3b－5)米的长方形铁片上，剪去一个长为(a＋2)米，宽为b米的小长方形铁片． (1)计算剩余部分(即阴影部分)的面积； (2)当a＝6，b＝4时，求图中阴影部分的面积． 解：(1)S阴影＝(2a＋3)·(3b－5)－b(a＋2)＝6ab－10a＋9b－15－ab－2b＝(5ab－10a＋7b－15)平方米 (2)当a＝6，b＝4时，5ab－10a＋7b－15＝5×6×4－10×6＋7×4－15＝120－60＋28－15＝73(平方米). 答：图中阴影部分的面积为73平方米 (a+b)( p+q)=ap+aq+bp+bq (a+b+c)(p+q）=ap+aq+bp+bq+cp+cq 多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 推广： 注意：多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，做到不重不漏. 课堂小结 11. 【例3】先化简，再求值：(x－1)(x－1)＋x(3－x)，其中x＝－ eq \f(1,2). 当x＝－ eq \f(1,2)时，原式＝－ eq \f(1,2)＋1＝ eq \f(1,2) $$