精品解析： 辽宁省抚顺市清原县南口前镇中学2024-2025学年下学期九年级4月月考数学 试题

2025年辽宁省抚顺市清原县南口前镇中学九年级4月数学月考 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的应用，清楚零上为正，零下为负是解题的关键．零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论． 【详解】解：若零上记作，则零下可记作． 故选：C． 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】它的左视图，即从该几何体的左侧看到的是两列，左边一列两层，右边一列一层，因此选项A的图形符合题意． 【详解】解：从该几何体的左侧看到的是两列，左边一列两层，右边一列一层，因此选项A的图形符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确三视图的形状是正确判断的前提． 3. 紫金山-阿特拉斯彗星被称为“2024年最值得期待的彗星”，它是一颗带有黄色彗尾的非周期彗星，运行轨道是一个特殊的椭圆形，绕太阳一圈需约61700年，即每隔六万多年才有机会见到一次，其中数据61700用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故选：D． 4. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误； C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘除运算，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用同底数幂乘除法则，合并同类项法则，完全平方公式将各项计算后进行判断即可． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、与不是同类项，无法合并，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 6. “绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行，且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 作，可得，由平行线的性质得，则此题可解． 【详解】解：过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知．若，则（ ） A. 2 B. 6 C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到四边形四边形，，得到，根据相似三角形的性质得到，同理可得，进一步可得答案． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形四边形，， ∴， 又∵， ， 同理：，而， ， ∴； 故选：D． 8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设第一次分钱的人数为人，根据题意列出即可，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人， 根据题意得：， 故选：． 9. 如图，已知的对角线相交于点O，经过点O，分别交于点E，F，且，则四边形的周长是（ ） A. 13 B. 1 C. 22 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质得到，再证明得到，据此根据四边形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 故选：C． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（　　） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. （m为任意实数） D. 当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； ∵当时，二次函数有最小值， ∴， 整理得，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为： 12. 在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有______个白球． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，首先根据红球的个数和摸到红球的频率求出球的总个数，然后减去红球的个数即可得到白球的个数． 【详解】解：∵有3个红球，摸到红球的频率稳定在0.2左右， ∴这个盒子中大约有个球， ∴（个）， ∴这个盒子中大约有12个白球． 故答案为：12． 13. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据对应点得出平移方式是解题关键．由、连点坐标可知，线段的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，据此即可得到点C的坐标． 【详解】解：由，可知，线段的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度， ， 对应点的坐标为即， 故答案为：． 14. 如图，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以设出点和点的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得，然后利用菱形的面积公式求得即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 对角线的中点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， ， 菱形的面积． 故答案为：． 15. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ②分别以B，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，若，，，则__________． 【答案】17 【解析】 【分析】连接，由作图过程可知，，，则，，可得，，则．本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：连接． 由作图过程可知，，， ，， ． ，， ． ， ， ， ， ． 故答案为：17． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握实数的混合运算、分式的混合运算法则与运算顺序是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂，乘方运算，算术平方根，化简绝对值，再合并即可； （2）先计算分式乘法，再算加法即可得到答案． 【小问1详解】 解： 原式 【小问2详解】 原式 17. 第9届亚洲冬季运动会将于2025年2月在哈尔滨举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“冰雪同梦，亚洲同心”的绘画比赛，并购买A、B两种吉祥物徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元：购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元． （1）每个A种徽章与每个B种徽章的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进A、B两种徽章共60个，且总费用不超过2000元，那么最多购进A种徽章多少个？ 【答案】（1）每个A中徽章的价格为36元，每个B种徽章的价格分别为28元； （2）最多购进A种徽章40个 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列二元一次方程组，列一元一次不等式，是解题的关键． （1）设每个A中徽章的价格为x元，每个B种徽章的价格分别为y元，根据购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元：购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A种徽章，则购进个B种徽章，根据总费用不超过2000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每个A种徽章的价格为x元，每个B种徽章的价格分别为y元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A中徽章的价格为36元，每个B种徽章的价格分别为28元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种徽章，则购进个B种徽章，由题意得：，解得：， 答：最多购进A种徽章40个． 18. “跳绳运动”是盘锦市中考体育必考项目之一，某校为了解今年九年级学生跳绳运动的掌握情况，随机抽取部分九年级学生跳绳运动的测试成绩作为一个样本，按A：不合格，B：合格，C：良好，D：优秀四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图，根据所给信息，解答以下问题： （1）在扇形统计图中，良好等级对应的扇形的圆心角是_______度． （2）补全条形统计图 （3）所抽取学生的跳绳运动测试成绩的中位数会落在_________等级． （4）该校九年级有名学生，本学期的跳绳训练目标是名以上的学生获得优秀．请你根据上面的调查结果判断该学校是否已经完成目标．若未完成请你根据调查结果提出一条合理性的训练意见． 【答案】（1）； （2） 图形如下： （3）中位数落在B级上； （4）没有完成，建议：该学校再体育课及课间操要加大跳绳的训练； 【解析】 【分析】（1）本题考查求扇形统计图的圆心角度数，根据条形统计图与扇形统计图共有量求出总数，即可求出良好的量，再用乘以占比即可得到答案； （2）本题考查补全条形统计图，根据（1）中良好的量补充图形即可得到答案； （3）本题考查求中位数，根据中位数的定义直接求解即可得到答案； （4）本题考查根据占比估算总体情况，利用总数乘以占比即可得到答案； 【小问1详解】 解：由图像可得， 样本容量为：（人）， C的人数为：（人）， ∴良好等级对应的扇形的圆心角是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得， C的人数为：（人）； 【小问3详解】 解：∵，， ∴中位数落在B级上； 【小问4详解】 解：由题意可得， （人）， ， ∴该学校没有完成目标， 建议：该学校再体育课及课间操要加大跳绳的训练． 19. 已知甲种水果单价为30元/千克，若一次性购买甲种水果超过40千克，超过部分的价格打八折．某经销商购买甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出图象中a的值，并求y与x之间的函数表达式； （2）若乙种水果单价为25元/千克，该经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲、乙两种水果的购买量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少付款金额是多少？ 【答案】（1） （2）购进甲，乙两种水果分别为千克，50千克，才能使经销商付款总金额最少，最少付款金额是元． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数表达式，一次函数图象及性质，一次函数的实际应用． （1）根据题意求出的值，利用待定系数法求出当时与之间的函数表达式，最终写成分段函数的形式并注明的取值范围即可； （2）设购进甲种水果千克，按照和分别写出w的表达式，分别求出w的最小值并进行比较，w较小的值即为答案，并求出对应的及的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意， 当时，， 当时，设，将坐标代入得 ，解得：， ∴， 综上所述：； 【小问2详解】 解：设购进甲种水果千克，则购进乙种水果千克， ①当时，， ∵随的减小而减小， ∴当时，取最小值，此时，； ②当时，， ∵随的增大而减小， ∴当时，取最小值，此时，； ∵， ∴购进甲，乙两种水果分别为千克，50千克，才能使经销商付款总金额最少，最少付款金额是元． 20. 某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且米．（参考数据：，，） （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？ 【答案】（1）米； （2）应选择乘坐观光车． 【解析】 【分析】（1）作于M，于N，推出四边形是矩形，得到，求出（米），由锐角的正切定义求出的长，由是等腰直角三角形，得到，求出的长，即可解决问题； （2）分别求出乘坐空中缆车，观光车所用的时间，即可判断． 【小问1详解】 解：作于M，于N， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：由勾股定理得到（米）， ∴（米）， ∴乘坐观光车的时间是（分钟）， 乘坐空中缆车的时间是（分钟）， ∴应选择乘坐观光车． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题． 21. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是圆的内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，再由，即可得出．根据圆周角定理结合题意可知，即得出．由此易证，即得出． （2）过点作，垂足为．根据题意可求出，结合（1）可知，即可求出．根据题意又可求出，利用三角函数即可求出，最后再利用三角函数即可求出最后结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作，垂足为． ∵，， ∴． 由（1）知． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题为圆的综合题．考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形．利用数形结合的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键． 22. 如图1，在矩形中，，，点是对角线上的动点（与点不重合），连接，过点作，交边于点． （1）当时，求证：； （2）点在运动过程中，的值是否发生变化？如果变化，请指出是如何变化，如果不变，请求出的值； （3）当等腰三角形时，求的长； （4）如图2，当为的中点时，连接交于点，将沿翻折得到，连接交于点，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接，在矩形中，， 又， ， ∵，， ∴， ； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）连接，利用即可证明，即有结论成立； （2）过点作于点，过点作于点，利用矩形的性质证明，有，得；进一步证明，有，结合题意即可求得； （3）分两种情况：当点F在线段上时，连接交于点H，可证得垂直平分，利用面积法求得，即可求得，利用即可； （4）连接交于点，利用勾股定理求得，结合（2）知，求得和，根据平行得，得，则，由折叠的性质可知，，可证得，求得和，再次利用，则有即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的值不变； 过点作于点，过点作于点，如图， 四边形是矩形， ， ，． ， ，即， ， ， 又， ， ， 由①②可得， ∵，， ； 【小问3详解】 ①当点F在线段上时， 由图可知，， ∴当为等腰三角形时，， 连接交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴垂直平分， ∵四边形为矩形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴，解得， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴； 即． 【小问4详解】 连接交于点， 点是的中点， ， 在中，， 由（2）知， ， 在中，，， 又∵， ， ， ， 由折叠的性质可知，， 又， ∴， ， ， ，， 又∵， ， ， 故． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质和折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质和做辅助线是解题的关键． 23. 定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当时，求点P的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线的距离与点B到直线的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）和；（2）；（3）①或；②存在，0或或 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点， （1）由抛物线与y轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标； （2）由抛物线经过点，代入抛物线的解析式，可用m表示出n，将函数解析式中的n用m表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点D的坐标； （3）①设与对称轴交于点G，若，则，由此可得关于m的绝对值方程，解得m的值，再求得相应的y值即可得出答案．②设与对称轴的交点为H，用含m的式子表示出点P的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含m的式子分别表示出点B到直线的距离和点P到直线的距离，根据点P到直线的距离与点B到直线的距离相等，得出关于m的绝对值方程，解方程即可； 明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图象与性质及绝对值方程是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为， ∴， ∴，， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵ ， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； （3）①设与对称轴交于点G，若，则， ∴， ∴或． ∴当时， ，点P的坐标为； 当时， ，点P的坐标为， ∴点P的坐标为或； ②存在，m的值为0或或． 如图，设与对称轴的交点为H． 由（2）知，， ， ∴， ∴抛物线的极限分割线：， ∵直线垂直平分， ∴直线：， ∴点B到直线的距离为， ∵直线与直线关于极限分割线对称， ∴直线：， ∵， ∴点P到直线的距离为|， ∵点P到直线的距离与点B到直线的距离相等， ∴， ∴或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省抚顺市清原县南口前镇中学九年级4月数学月考 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作（    ） A. B. C. D. 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 紫金山-阿特拉斯彗星被称为“2024年最值得期待的彗星”，它是一颗带有黄色彗尾的非周期彗星，运行轨道是一个特殊的椭圆形，绕太阳一圈需约61700年，即每隔六万多年才有机会见到一次，其中数据61700用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 4. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. “绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行，且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知．若，则（ ） A. 2 B. 6 C. 12 D. 18 8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知的对角线相交于点O，经过点O，分别交于点E，F，且，则四边形的周长是（ ） A. 13 B. 1 C. 22 D. 18 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（　　） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. （m为任意实数） D. 当时，y的值随x值的增大而增大 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 12. 在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有______个白球． 13. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点，，，则点C的坐标为______． 14. 如图，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点，则菱形的面积为______． 15. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ②分别以B，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，若，，，则__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 第9届亚洲冬季运动会将于2025年2月在哈尔滨举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“冰雪同梦，亚洲同心”的绘画比赛，并购买A、B两种吉祥物徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元：购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元． （1）每个A种徽章与每个B种徽章的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进A、B两种徽章共60个，且总费用不超过2000元，那么最多购进A种徽章多少个？ 18. “跳绳运动”是盘锦市中考体育必考项目之一，某校为了解今年九年级学生跳绳运动的掌握情况，随机抽取部分九年级学生跳绳运动的测试成绩作为一个样本，按A：不合格，B：合格，C：良好，D：优秀四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图，根据所给信息，解答以下问题： （1）在扇形统计图中，良好等级对应的扇形的圆心角是_______度． （2）补全条形统计图 （3）所抽取学生的跳绳运动测试成绩的中位数会落在_________等级． （4）该校九年级有名学生，本学期的跳绳训练目标是名以上的学生获得优秀．请你根据上面的调查结果判断该学校是否已经完成目标．若未完成请你根据调查结果提出一条合理性的训练意见． 19. 已知甲种水果单价为30元/千克，若一次性购买甲种水果超过40千克，超过部分的价格打八折．某经销商购买甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出图象中a的值，并求y与x之间的函数表达式； （2）若乙种水果单价为25元/千克，该经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲、乙两种水果的购买量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少付款金额是多少？ 20. 某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且米．（参考数据：，，） （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？ 21. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 22. 如图1，在矩形中，，，点是对角线上的动点（与点不重合），连接，过点作，交边于点． （1）当时，求证：； （2）点在运动过程中，的值是否发生变化？如果变化，请指出是如何变化，如果不变，请求出的值； （3）当等腰三角形时，求的长； （4）如图2，当为的中点时，连接交于点，将沿翻折得到，连接交于点，求的值． 23. 定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当时，求点P的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线的距离与点B到直线的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $