22.3 实际问题与二次函数（销售利润问题）同步练习-2025-2026学年初中数学人教版九年级上册

22.3 实际问题与二次函数（销售利润问题） 一、单选题 1．若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 2．某超市以每件10元的进价购进200件玩具，销售人员预期最近的促销活动，单价是19元时只能卖出100件，而单价每降低1元则可以多卖出20件，那么单价是　　元时，此次促销活动的预期获利最大． A．15 B．16 C．17 D．18 3．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　） A．150元 B．160元 C．170元 D．180元 4．某商店销售某种商品所获得的利润（元）关于所卖的件数的函数解析式是，则当时的最大利润为（    ） A．2500元 B．47500元 C．50000元 D．250000元 5．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是（    ） A．销售单价降低15元时，每天获得利润最大 B．每天的最大利润为1250元 C．若销售单价降低10元，每天的利润为1200元 D．若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了5元 二、填空题 6．进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 ，每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 ．（以上关系式只列式不化简）． 7．某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元． 8．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6-x）个，则当x= 元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大． 9．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 元． 10．某体育用品商店购进一批涓板，每块滑板利润为30元，一星期可卖出80块.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，则一星期可多卖出4块，设每块滑板降价x元，商店一星期销售这种滑板的利润是y元，则y与x之间的函数表达式为 ． 11．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．    12．某商品进价为元，当每件售价为元时，每天能售出件，经市场调查发现每件售价每降低元，则每天可多售出件，当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低 元． 三、解答题 13．某商场试销一种成本为每件60元的服装，经试销发现，每天的销售量(件)与销售单价（元）的关系符合次函数． （1）如果要实现每天2000元的销售利润，该如何确定销售单价？ （2）销售单价为多少元时，才能使每天的利润最大？其每天的最大利润是多少？ 14．商城某种商品平均每天可销售20件，每件获得利润40元，为庆元旦，决定对该商品进行促销活动，经调查发现，该商品每件每降价1元，平均每天可多售出2件．设该商品每件降价x元，请解答下列问题： （1）用含x的代数式表示： ①降价后每售一件该商品获得利润______元； ②降价后平均每天售出______件该商品； （2）在此次促销活动中，商城若要获得最大利润，每件该商品应降价多少元？此时每天获得最大利润为多少元？ 15．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/．设第x天的销售价格为y（元/），销售量为．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，y与x满足一次函数关系，且当时，时，．②m与x的关系为． (1)当时，求y与x的关系式； (2)x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？ (3)若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/，求a的取值范围． 16．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）． （1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 17．某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出.每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆.租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车每辆每月只需维护费100元. （1）当每辆车的月租金为4600元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？ （2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达40.4万元？ （3）当每辆车的月租金定为_________元时，租赁公司的月收益最大. 18．小哲的姑妈经营一家花店.随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：    (1)如果在三月份出售这种植物，单株获利________元； (2)这种植物单株售价与月份的函数关系式为________. (3)求请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利单株售价单株成本） 19．随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2023年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2023年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图2所示（图中为一折线）． (1)当时，求每台的销售价格y与x之间的一次函数关系式； (2)设该产品2023年第x个月的销售数量为m（单位：台），m与x的关系可以用来描述．求哪个月的销售收入最多?（销售收入=每台的销售价格×销售数量） 20．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数． （1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？ 21．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）． （1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式 （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ （3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 B C A B D 1．B 本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键． 解： ， 当时， （万元）； 故选：B． 2．C 根据题意可以得到利润和单价的关系式，从而可以求得当单价为多少时，利润最大，本题得以解决． 设服装单价是x元，销售利润为w元， 所以当x=17时，w取得最大值， 故选：C. 考查二次函数的应用，列出二次函数解析式，配方成顶点式即可求出单价为多少时，利润最大. 3．A 设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案． 解：设获得的利润为y元，由题意得： ∵a＝﹣1＜0 ∴当x＝150时，y取得最大值2500元． 故选A． 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键． 4．B 利用二次函数的对称轴公式可得：对称轴为：，再利用二次函数的图象及性质可得当时，y有最大值，将其带入解析式即可求解． 解：二次函数的对称轴为：， ，且， 二次函数的图象在时，y随x的增大而增大， 当时，y有最大值，最大值为：， 当时的最大利润为：47500元， 故选B． 本题考查了二次函数的应用、二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 5．D 设每件降价x元，由“每降低5元，每天可多售出10件”可知每降价1元可多售2件，根据题意可知每天的利润为（20+2x）（40-x），据此一一判断选项即可. 因为每降低5元，每天可多售出10件，所以每降价1元可多售2件， 设每件降价x元，每天的利润为y元，则每天可售（20+2x）件，每件利润为40-x， 所以每天的利润为 将整理成顶点式有， 由顶点式可知当销售单价降低15元时，每天获得利润最大，每天的最大利润为1250元，故A、B正确； 将x=10代入到解析式中解得y=1200，故C正确； 令y=1050，则，解得，即当每天的利润为1050元，则销售单价可能降低了5元，也可能降低了25元，所以D错误； 综上所述，答案选D. 本题考查的是二次函数的实际应用，能够根据题意列出每天利润与降低单价的二次函数方程是解题的关键. 6． y＝2000－5（x－100） w＝[2000－5（x－100）]（x－80） 7．205 此题考查了二次函数的实际应用问题．由可获得利润，即可知当时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值． 解： ∴当时，取最大值41， （万元）， 年所获利润的最大值205万元， 故答案为：205． 8．3. 试题解析：由题意可得函数式y=（6-x）x， 即y=-x2+6x， 当x=-=3时，y有最大值， 即当x=3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大． 考点：二次函数的应用． 9．25 本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 解：设利润为w元， 则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25， ∵20≤x≤30， ∴当x=25时，二次函数有最大值25， 故答案是：25． 本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 10． 根据销售利润为销量每件利润进而得出答案． 解：由于每块滑板降价元，商店一星期销售这种滑板的利润是元， 则与之间的函数表达式为： ． 故答案为：． 本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，解题的关键是掌握利用利润销量每件商品利润进而得出利润与定价之间的函数关系式． 11．121 利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值． 解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得： ， 解得， ∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元， ， ∵1<0， ∴当时，w有最大值为121， 故答案为：121． 本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键． 12． 本题考查了二次函数的应用，根据每天的利润单件利润每天售出的数量，列出函数解析式，再根据函数的性质即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出函数解析式是解题的关键． 解：设该商品每件售价降低元，每天的利润为元， 根据题意得：， ∵， ∴当时，有最大值， ∴当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低元， 故答案为：． 13．（1）100元；（2）当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元． （1）根据题意列出方程，解一元二次方程即可； （2）先根据利润=每件的利润×销售量表示出利润，然后利用二次函数的性质求最大值即可． （1）依题意得：， 解得或（不合题意）． （2）若每天的利润为元， 则 ， ∴当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元． 本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，掌握解一元二次方程的方法和二次函数的性质是解题的关键． 14．（1）①；②；（2）每件该商品应降价15元，获得最大利润为1250元 （1）①每件降x元得一件盈利（40-x）元； ②根据商城某种商品平均每天可销售20件，每件获得利润40元，为庆元旦，决定对该商品进行促销活动，经调查发现，该商品每件每降价1元，平均每天可多售出2件，即可得到降价后平均每天售出件； （2）设获得最大利润元，可得到y=（40-x），整理即可得到y的最大值 解：（1）① 由题意得：每件降x元得一件盈利元 故答案为：； ② 由题意得：降价后平均每天售出件商品， 故答案为：； （2）设每天获得的利润为y元，根据题意，得 ，其中，， ∵， ∴有最大值． ∴当时，y有最大值为1250． 答：每件该商品应降价15元，获得最大利润为1250元． 本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意得出降价后每件商品的盈利和每天销售的商品数量的表达式． 15．(1)y与x的关系式为：， (2)x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元 (3)a的取值范围为， （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据日销售利润等于每千克的销售利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据函数的性质，即可求解； （3）根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． （1）解：依题意，当时，；时，， 当时，设，则有 ，解得， ∴y与x的关系式为：． （2）解：依题意， ∵， ∴， 整理得，， 当时， ∵W随x增大而增大， ∴时，取最大值， 当时， ， ∵， ∴时，W取得最大值，此时， 综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元． （3）解：依题意，得， ， ∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大， ∴对称轴，得， 故a的取值范围为． 本题主要考查了二次函数和一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键． 16．（1）y＝﹣40x+880；（2）当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元 （1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y； （2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 解：（1）由题意得：y＝80+20×， ∴y＝﹣40x+880； （2）设每天的销售利润为w元，则有： w＝（﹣40x+880）（x﹣16） ＝﹣40（x﹣19）2+360， ∵a＝﹣40＜0， ∴二次函数图象开口向下， ∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元． 答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元． 本题考查二次函数的应用,关键在于理解题意找出等量关系. 17．（1）94辆，38.48万元；（2）5000元；（3）7200元. （1）由题意，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将会增加一辆，当每辆车的月租金为4600元时，则增加了600元，即减少了6辆，在根据租金和维护费算出月收益即可； （2）设每辆车的月租金设上涨x个100元，由月收益为40.4万元列出等式求解，然后检验每辆车月租金是否超过7200元，超过则不满足； （3）设当每辆车的月租金设上涨x个100元时，租赁公司的月收益为y元，得出函数表达式，由配方法求最大值． 解：（1）由题意，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将会增加一辆，当每辆车的月租金为4600元时，则增加了600元，即减少了600÷100=6辆，未租出辆，即租出辆； 月收益：（元），即38.48万元； （2）设上涨x个100元， 由题意得： , 整理得： , 解得： 又因为规定每辆车月租金不能超过7200元，则x=54，租金为9400，大于7200故舍去， 则x=10，此时月租金为（元）； （3）设上涨x个100元， 由题意得： 整理得： ， 配方得：， 当x=32时，y有最大值，此时月租金为7200元. 本题考查了一元二次方程的运用题型，准确根据题意列出方程，熟练掌握一元二次方程的计算及代数式最值得求解是解决本题的关键，难度适中. 18．(1) (2) (3)5月销售这种多肉植物，单株获利最大 （1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为（元），即可求解； （2）待定系数法求解析式即可求解； （3）待定系数法求得抛物线的表达式为：，根据单株获利单株售价单株成本得到新的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． （1）从左图看，月份售价为元，从右图看，月份的成本为元， 则每株获利为（元）， （2）设直线的表达式为：， 把点、代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：； 故答案为：． （3）顶点为，设抛物线的表达式为： 将点代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为 设利润为，则 ∵ ∴当时，取得最大值， ∴5月销售这种多肉植物，单株获利最大． 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 19．(1) (2)第5个月收入最高，理由见解析 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据销售收入每台的销售价格销售数量求得销售收入为万元与销售月份之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解． （1）解：当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为． ∵图象过两点， ，解得， ∴当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为； （2）解：设销售收入为万元， ①当时， ∵， ∴当时，； ②当时， ， ∵， ∴当时，， 因 ∴第5个月收入最高． 20．（1）（2）当销售价定为28元时，每天获得的利润最大 解：（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b． 由题意可得：，解得． ∴y与x的函数关系式为：． （2）∵每天获得的利润为：， ∴当销售价定为28元时，每天获得的利润最大． （1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b．，由题意可列出k和b的二元一次方程组，解出k和b的值即可． （2）根据题意：每天获得的利润为：，即，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格． 21．（1）；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3） （1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可； （2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果； （3）先求出当，即时的销售单价，得当，从而，得，可知，当时，元，从而有，解方程即可得到a的值． 解：（1）当，即， ． ∴当时， 当时， ． （2）当时，． ∵对称轴为， ∴当时，元． 当时，． ∵对称轴为， ∴当时，元． ∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元． （3）， ，则． 令，则． 解得：． 在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图． 观察示意图可知： ． 又， ． ． 对称轴为 ， 对称轴． ∴当时，元． ， ． 又， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$