专题11二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（13大类型精准练+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题11二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：X大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 方法归纳： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 【课前热身】 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 知识点2、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 方法归纳： 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象 【课前热身】 1．（21-22九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图．    2．（22-23九年级上·北京东城·期末）已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________． 知识点3、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【课前热身】 1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）若抛物线经过点和点，试比较与的大小． 3．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 知识4、求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 要点归纳： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 【课前热身】 1．（2025·辽宁抚顺·二模）二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 2．（24-25九年级下·天津和平·开学考试）二次函数的图象开口向 ，顶点坐标 ，当时y的取值范围的是 ． 3．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若是抛物线上不同的两点，求m的值； (3)当时，直接写出y的取值范围： ． 【类型1】把y=ax²+bx+c配成顶点式 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）二次函数的顶点在第________象限？ A．一 B．二 C．三 D．四 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）用配方法求二次函数的顶点坐标和对称轴． 3．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是． (1)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． (2)求证：． 【类型2】画y=ax²+bx+c的图象 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数． (1)该二次函数的图象与x轴的交点坐标是_____________、_____________，顶点坐标是_____________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围_____________． 5．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 【类型3】二次函数y=ax²+bx+c的图象问题 6．（2025·陕西·一模）关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A．B．C．D． 7．（2025·安徽六安·三模）如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点，与y轴负半轴交于点C，若当时，，那么关于x的一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 8．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 【类型4】关于y=ax²+bx+c性质的叙述 9．（2025·广东梅州·二模）对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 10．（2025·陕西商洛·三模）已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（    ） A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大 C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点 11．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线经过点，点，在此抛物线上，当，时，恒成立，则下列说法错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线经过点 C．抛物线开口向上 D．抛物线的顶点坐标为 【类型5】二次函数y=ax²+bx+c的对称性 12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象上有两点和，则此抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 13．（2025·山东滨州·二模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： 0 1 2 3 3 0 m 3 ①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为；④图象经过一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（    ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 14．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 【类型6】待定系数法求二次函数解析式 15．（24-25九年级上·云南红河·期中）求下列抛物线对应的函数解析式： (1)顶点在原点，且过点； (2)过点，，； (3)过点，，； (4)当时，函数值取得最小值为，且此函数图象与轴交于点． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 17．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数（a，b，c均为常数且）． (1)若该函数图象过点，点和点，求二次函数表达式； (2)若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标． 【类型7】二次函数y=ax²+bx+c的平移问题 18．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数． (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值． 19．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 20．（2025·河北邢台·二模）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 【类型8】二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数之间关系 21．（2025·广东清远·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有 ． 【类型9】二次函数y=ax²+bx+c的最值问题 23．（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 24．（2025·安徽淮北·三模）已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值． 25．（2025·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标； (2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 【类型10】二次函数y=ax²+bx+c性质的推理计算与证明 26．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上． (1)判断此抛物线与x轴的交点个数，并说明理由； (2)已知对于，，，总有，求的取值范围． 27．（24-25九年级下·安徽池州·期中）已知二次函数． (1)若二次函数的图象与x轴交于点，求二次函数图象与x轴的另外一个交点的坐标． (2)若当自变量x取任意实数时，总有对应的函数值，求m的取值范围（用含有b的式子表示）． (3)当时，，求和的值及的取值范围． 28．（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1． (1)求a的值； (2)二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由． (3)设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值； 【类型11】二次函数y=ax²+bx+c与公共点的计算与证明 29．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，直线经过点，与抛物线的对称轴交于点． (1)求k，b的值； (2)若抛物线与x轴交于，且，令，求h的最大值； (3)当时，抛物线与直线有且只有一个公共点，求c的取值范围． 30．（2025·江苏盐城·一模）点和点在二次函数图象上， (1)当时，时 ①求证：； ②已知点和点，若二次函数 的图象与线段只有一个交点，求的取值范围； (2)当时，求证：． 【类型12】二次函数y=ax²+bx+c的实际应用问题 31．（2025·陕西榆林·三模）冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度． 32．（2025·河北邢台·三模）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点． ①求抛物线的解析式； ②若点最终落在上，求此时的长； ③竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点处到达最高点．若点经过点正上方处，直接写出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【类型13】二次函数y=ax²+bx+c与几何综合问题 33．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 34．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 35．（2025·山东东营·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（2025·安徽滁州·一模）已知二次函数的图像经过，两点，则下列判断中正确的是（   ） A．存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．无论实数为何值，都有 D．无论实数为何值，都有 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数，点，均在该二次函数图象上．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，点在该函数图象上，若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 5．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数的图象经过四个象限，则的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，当且仅当某点的横纵坐标数值完全一致时，该点被定义为“完美点”．如若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为“完美点”，已知二次函数(a是常数，)的图象上有且只有一个“完美点”，且当时，函数的最小值为，最大值为7，则m的取值范围是（      ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）用配方法将写成的形式是 ． 10．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若二次函数的图象经过原点，则m的值为 ． 11．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数、且有、则、按从大到小的顺序排列为 ． 12．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，点A为抛物线的顶点，点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，则的长为 ． 13．（2025·四川资阳·三模）已知函数，若函数在上的最大值是，则的值为 ． 14．（24-25九年级下·安徽池州·期中）抛物线经过点． （1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ． （2）若对于，都有，则的取值范围是 ． 三、解答题 15．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知：二次函数． (1)通过配方，将其写成的形式； (2)求出图象与轴的交点、的坐标； (3)为何值时，； (4)当________时，随的增大而减少． 16．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）将抛物线（a为常数）的图象向上平移1个单位后，图象经过点． (1)求原抛物线的函数表达式． (2)已知点，在抛物线上． ①求证：； ②若，直接写出m的取值范围． 17．（2025·广东深圳·二模）综合与实践 在学习完二次函数后，创新学习小组对一个二次函数的顶点特征展开了如下探究： (1)①列表：填写表格，表格中的与的值分别是____，____； 的值 ．．．．．． ．．．．．． 的顶点横坐标 ．．．．．． 1 2 3 ．．．．．． 的顶点纵坐标 ．．．．．． 0 3 4 0 ．．．．．． ②描点：随着取不同值，请将的顶点描在下面的平面直角坐标系中； ③连线：用光滑的曲线顺次连接各点； (2)①猜想：随着取不同值，的顶点形成的图象的表达式是___________；②请验证你的猜想； (3)若抛物线与轴有两个不同的交点，请求出的取值范围． 18．（2025·海南·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交于和两点． (1)若． ①求b，c的值； ②当时，二次函数最大值和最小值的差为12，求m的值； (2)当时，若存在实数s，总有，求满足条件的s的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：X大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 方法归纳： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 【课前热身】 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值． 【答案】对称轴，顶点坐标，最小值为 【分析】本题主要考查求二次函数的顶点坐标和对称轴、最值，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴、最值． 【详解】解：， 对称轴为直线， 顶点坐标为， 又， 该二次函数有最小值，最小值为． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，二次函数的性质： （1）利用配方法把解析式化为顶点式即可； （2）根据和求出对应的、值，即可得到与坐标轴交点的坐标． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时，，解得：，； 当时，， 故抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 知识点2、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 方法归纳： 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象 【课前热身】 1．（21-22九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    【答案】、、，图象见解析． 【分析】将、、分别代入二次函数解析式中，求出对应的y值，再利用描点、连线画出函数图象即可． 【详解】解：填表如下： x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 －3 －4 －3 0 … 描点、连线，如图所示：    【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象，熟练掌握利用描点法画二次函数的图象是解题关键． 2．（22-23九年级上·北京东城·期末）已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： … … … … (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________． 【答案】(1) (2)画图见详解 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）根据函数解析式，用描点法即可求解； （3）根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围． 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，， ∴，解方程得， ∴二次函数解析式为． （2）解：二次函数解析式为，图像如图所示， 函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意． （3）解：当时，根据（2）中图示可知， 当时，；当当时，；当时，． ∴当时，． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键． 知识点3、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【课前热身】 1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图形开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算是关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴直线，与坐标轴交点的知识判定即可． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵对称轴直线为， ∴，故B选项正确，符合题意； ∵二次函数图象与轴交于正半轴， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 2．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）若抛物线经过点和点，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出对称轴为直线，再根据抛物线的开口向上，得出当时，随的增大而增大，进而可得出答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线， 又∵，即抛物线的开口向上， 当时，随的增大而增大， ， ． 3．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 【答案】(1)函数表达式为，抛物线的对称轴为 (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键． （1）将，代入，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴； （2）由抛物线的轴对称性，先求出点的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积． 【详解】（1）抛物线过点，， 将，代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为， ， 即抛物线的对称轴为； （2）点与点关于对称轴对称，点， 点的坐标为， ，且轴． ． 知识4、求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 要点归纳： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 【课前热身】 1．（2025·辽宁抚顺·二模）二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，本题考查了将二次函数写成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值是， 故选：A． 2．（24-25九年级下·天津和平·开学考试）二次函数的图象开口向 ，顶点坐标 ，当时y的取值范围的是 ． 【答案】 下 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出开口方向和顶点坐标从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键． 首先配方成顶点式，然后得到开口向下，顶点坐标为，然后根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵， ∵，故开口向下； ∴顶点坐标为 ∴时，时取得最大值为5， 时取得最小值为， ∴当时y的取值范围的是． 故答案为：下，，． 3．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若是抛物线上不同的两点，求m的值； (3)当时，直接写出y的取值范围： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求二次函数值，二次函数图象的性质， 对于（1），将这三点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），当代入关系式求出y，再根据函数值相等求出x值即可； 对于（3），先求出对称轴可得最大值，当时，求出y值，进而得出答案． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得 ， 解得， 所以抛物线的关系式为； （2）解：当时，， 当时，， 解得， ∴； （3）． 解：抛物线的关系式为， ∴抛物线的开口向下，离对称轴越远函数值越小，当时，函数有最大值7． ∵在之间， ∴y的最大值为7， ∵，当时，， ∴y的最小值为， ∴y的取值范围是． 故答案为：． 【类型1】把y=ax²+bx+c配成顶点式 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）二次函数的顶点在第________象限？ A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的性质，判断点所在象限，熟练掌握顶点式二次函数的性质是银题的关键． 先将抛物线解析式化成顶点式，再写出顶点坐标，然后根据坐标符号判断其所在象限即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点在第一象限． 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）用配方法求二次函数的顶点坐标和对称轴． 【答案】二次函数的顶点坐标为，对称轴是直线 【分析】本题考查二次函数的顶点式，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：配方，得：， 所以，二次函数的顶点坐标为，对称轴是直线． 3．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是． (1)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1)在，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数图象的图象与性质，配方法的应用，熟练掌握二次函数顶点坐标的公式和配方法的应用是解题的关键． （1）求当时，的值，即可判断； （2）利用二次函数顶点坐标的公式求出，关于的式子，再得出关于的式子，再利用配方法求最值即可． 【详解】（1）解：点在该函数的图象上，理由如下： 当时，， 则点在该函数的图象上； （2）解：∵函数（为常数）图象的顶点坐标是， ∴，， ∴， ∵为常数， ∴， ∴． 【类型2】画y=ax²+bx+c的图象 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数． (1)该二次函数的图象与x轴的交点坐标是_____________、_____________，顶点坐标是_____________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围_____________． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象． （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标即可； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合二次函数图象，写出当时对应的y的取值范围． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是，， ∵， ∴该二次函数图象顶点坐标为； （2）解：列表： 描点，连线，如图： （3）解：由图象可知，当时，． 5．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 【答案】(1) (2)见解答 (3)①④ 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确理解题意、准确计算是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式； （2）取点描点连线绘制函数图象即可； （3）根据函数图象和性质逐次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：取点补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 如图， （3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意； 故答案为：①④． 【类型3】二次函数y=ax²+bx+c的图象问题 6．（2025·陕西·一模）关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数法图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．根据开口方向，对称轴，与x轴交点逐项判断即可． 【详解】解：在中： ∵， ∴函数图象开口向下． ∵对称轴为， ∴函数对称轴在y轴右侧，C选项不正确， 令代入二次函数得， 则． ∵， ∴， ∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点， 设二次函数的图象与轴有两个不同交点的横坐标分别为， 又∵，则， ∴ ∴二次函数的图象与轴的两个交点在轴的右侧， ∴只有D选项符合题意， 故选：D． 7．（2025·安徽六安·三模）如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点，与y轴负半轴交于点C，若当时，，那么关于x的一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数综合，掌握一次函数和二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据题意分析出的正负，然后根据当时，，求出的正负，即可得出答案． 【详解】解：由二次函数图像可知，对称轴， ∴， ∵抛物线（m为常数）与x轴交于点， ∴点B的横坐标大于-1，小于0； ∵点关于对称， ∴点A的横坐标大于-2，小于-1． ∵当时，， ∴． 即． ∴一次函数图像经过一、二、四象限． ∴C符合题意．． 故选C． 8．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）把代入（1）中解析式求出x的值，然后求出抛物线的对称轴，最后结合已知写出点C的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的纵坐标为，点在抛物线上， ∴， 解得，， ∵， ∴对称轴为直线， ∵点C在对称轴右侧， ∴ ∴点C 到 y 轴的距离2．． 【类型4】关于y=ax²+bx+c性质的叙述 9．（2025·广东梅州·二模）对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；把二次函数化为顶点式，根据顶点式即可对各选项进行判断． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误 当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 10．（2025·陕西商洛·三模）已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（    ） A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大 C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点位置是解题的关键． 由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴，即对称轴在轴右侧，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴的右侧时，随的增大而增大；在对称轴的左侧时，随的增大而减小， 即当时，随的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交于点，位于y轴正半轴， ∴图象一定不经过第三象限，故C选项正确，符合题意； ∵， ∵， ∴无法确定的正负， 即无法确定图象与轴的交点的个数，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 11．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线经过点，点，在此抛物线上，当，时，恒成立，则下列说法错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线经过点 C．抛物线开口向上 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了把化成顶点式，二次函数的图象与性质，解题关键是求出对称轴． 先将点代入抛物线解析式中，求得与的关系式，求出对称轴，可判断A； 利用对称性可求出点的对称点，从而可判断B；利用对称性可求出点的对称点，根据当，时，恒成立，分两种情况画出草图，可判断C；根据上述解析，得出当时，，求出的值，可判断D． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴抛物线的对称轴为， 故A正确； 点关于对称轴的对称点为，故B正确； ∵抛物线的对称轴为，点在此抛物线上，且， ∴点关于对称轴的对称点为，且， 当，时，由题意描点，结合点关于对称轴的对称点可知抛物线开口向上， 当，时，由题意描点，不符合二次函数图象，此种情况不存在， 则抛物线开口向上，故C正确； ∵当时，，当时，， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，故D错误， 故选：D． 【类型5】二次函数y=ax²+bx+c的对称性 12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象上有两点和，则此抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知抛物线上对称的两点求对称轴，此抛物线的对称轴是直线，即可求解； 【详解】解：∵点和是抛物线上对称的两点， ∴此抛物线的对称轴是直线， 故选：A 13．（2025·山东滨州·二模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： 0 1 2 3 3 0 m 3 ①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为；④图象经过一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（    ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线与系数的关系，顶点坐标，对称轴，对称性，增减性，是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；根据图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的．判断⑤． 【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上， 故①符合题意； 抛物线的对称轴是直线， 故②符合题意； 当或时， ， 故m的值为0， 故③不符合题意； ∵图象过原点，对称轴为直线，抛物线的开口向上 ∴图象不过第三象限，图象经过一、二、四象限； 故④符合题意； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升的． 故⑤不符合题意． ∴符合题意的有①②④ 故选：A． 14．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解．由表格可得抛物线对称轴为直线，然后根据对称性可求时y的值，进而求解． 【详解】解：由题可得抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线 ∵抛物线经过点， ∴时， 即． 故答案为：． 【类型6】待定系数法求二次函数解析式 15．（24-25九年级上·云南红河·期中）求下列抛物线对应的函数解析式： (1)顶点在原点，且过点； (2)过点，，； (3)过点，，； (4)当时，函数值取得最小值为，且此函数图象与轴交于点． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）设抛物线解析式为，再然后把代入求出a即可； （2）设抛物线解析式为，然后把，，代入得三元一次方程组，解方程组即可； （3）设抛物线解析式为，然后把代入求出a即可； （4）设抛物线解析式为，然后把代入求出a即可． 【详解】（1）解：∵顶点在原点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线过点，，， ∴， 解得：，，， ∴抛物线解析式为； （3）解：∵抛物线过过点，， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （4）解：∵当时，函数值取得最小值为， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用．理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．（1）将和代入函数表达式，解方程组即可；（2）先得出函数顶点坐标，代入化简，即可得出结论． 【详解】（1）∵函数图象经过点和， ∴， 解得 ， ∴； （2）∵， ∴顶点， ∵图象的顶点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数（a，b，c均为常数且）． (1)若该函数图象过点，点和点，求二次函数表达式； (2)若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，无关型问题． （1）根据二次函数图象过点和点，设二次函数在解析式为，把代入求解即可； （2）将二次函数转化为，根据定点与a的值无关，得到，，求出x值，代入解析式，求出对应的y值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）∵二次函数图象过点和点， ∴设二次函数的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴ （2）若，， 则， ∴当时，，当时，， ∴若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，． 【类型7】二次函数y=ax²+bx+c的平移问题 18．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数． (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值． 【答案】(1)二次函数的对称轴为，顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数的性质； （1）通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而求解； （2）根据平移的性质得出新抛物线的解析式为，然后由平移后的函数的对称轴为y轴得到，最后求解即可． 【详解】（1）解：配方： ， 所以二次函数的对称轴为，顶点坐标为； （2）由题意得：平移后的二次函数表达式为， 所以对称轴为， 因为平移后的二次函数对称轴是轴， 所以， 解得． 19．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征及平移规律． （1）直接将代入，解得的值即可求得表达式； （2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到轴上即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 该抛物线的表达式为； （2）解：， 该抛物线的顶点为， 要使抛物线与轴只有一个公共点，即要求顶点在轴上， 顶点纵坐标应为0， 将该抛物线向上平移1个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点， 故答案为：1． 20．（2025·河北邢台·二模）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 【答案】(1)，抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可求解函数解析式，然后把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）由题意可得，然后得出平移后的表达式为，进而根据“两点之间，线段最短”可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知：， 令时，则， ∴， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设平移后的表达式为， ∴， 解得：， ∴平移后的表达式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为． 【类型8】二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数之间关系 21．（2025·广东清远·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标判断①，开口方向，对称轴，与轴的交点判断②和④，特殊点判断③即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴该图象经过点；故①正确； 由图象可知：， ∵对称轴为， ∴， ∴；故②④错误； ∵图象经过点； ∴，故③正确； 故选B． 22．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数图象的性质，对选项逐一进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知，开口向上， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵抛物线交轴负半轴， ，故①正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为， 将该点坐标代入解析式可得：，故②正确，符合题意； ∵抛物线顶点横坐标为，当时求得值最小，即， ∴无论取何值时，总是大于或等于 即，故③正确，符合题意； 根据绝对值的几何意义可知，分别表示到的距离，根据抛物线图象的性质，距离对称轴越远的点，其坐标就越大，故④正确，符合题意． 故答案为：①②③④． 【类型9】二次函数y=ax²+bx+c的最值问题 23．（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称轴公式进行求解即可； （3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 24．（2025·安徽淮北·三模）已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了求二次函数的最值，求抛物线的对称轴，根据二次函数的性质求字母参数的范围，解题关键是掌握二次函数的性质的进行求解． （1）先抛物线L经过点，得到关于待定系数的关系式，再结合系数满足等式，求出的值； （2）①先求出点的坐标，再求出抛物线的对称轴，根据，求得的取值范围． ②先根据抛物线的顶点纵标为，得出，根据，得到，再根据，得到，从而可用表示出，然后可得当时，取最小值，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）∵抛物线L经过点， ∴当时，， ， ， ． （2）①∵， ∴， ∴抛物线经过， 抛物线经过， ∴抛物线的对称轴为． ． 的取值范围为． ②． ． ． 由①知， ∴当时，取最小值． 的最小值为． 25．（2025·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标； (2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）由对称轴可得，可得，从而可得答案； （2）由二次函数图象开口向上，对称轴为直线，根据对于，且，都有，即的中点在右侧，结合离对称轴越近，函数值越小，再进一步求解即可； （3）①当时，即时，如图，可得当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，②如图，当且时，时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，③如图，当且时，即时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，④如图，当时，即时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ， ， ∴顶点坐标为； （2）解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵点为函数图象上任意两点， 若对于，且，都有， 又，即的中点在右侧， ∵离对称轴越近，函数值越小， 即． （3）解：①当时，即时，如图， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． ②如图，当且时，时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ③如图，当且时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ④如图，当时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． 综上所述：或． 【类型10】二次函数y=ax²+bx+c性质的推理计算与证明 26．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上． (1)判断此抛物线与x轴的交点个数，并说明理由； (2)已知对于，，，总有，求的取值范围． 【答案】(1)两个，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据抛物线解析式并结合一元二次方程根的判别式可得，由此判断即可得解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，，再分两种情况：当时；当时；求出的取值范围，再结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：此抛物线与x轴的交点个数为两个，理由如下： ∵抛物线， ∴， ∴此抛物线与x轴的交点个数为两个； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 当时， ∵对于，，总有， ∴如图所示： ∴由图可得：， 解得， 当时，可以取到，此时，与题意矛盾，舍去； ∵， ∴为关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，． 27．（24-25九年级下·安徽池州·期中）已知二次函数． (1)若二次函数的图象与x轴交于点，求二次函数图象与x轴的另外一个交点的坐标． (2)若当自变量x取任意实数时，总有对应的函数值，求m的取值范围（用含有b的式子表示）． (3)当时，，求和的值及的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，二次函数的性质，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先把代入解析式求出解析式，再求出函数值为0时，自变量的值即可得到答案； （2）把解析式化为顶点式，求出顶点坐标，只需要满足m的值小于顶点的纵坐标的值即可； （3）把解析式化为顶点式求出对称轴，根据当时，，那么只需要满足函数恰好经过和时，总有，即的最小值，据此求出抛物线解析式即可求出b、h的值，进而求出t的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∴二次函数解析式为， 当时，，解得， 二次函数的图象与轴的另外一个交点的坐标为． （2）解：， 当时，取最小值，最小值为． 取任意实数，总有， ． （3）解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线． 又当时，， 当抛物线过点和时，总有，即的最小值， ， ∴， ． 当时，， 当时，的最小值为， ， ． 28．（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1． (1)求a的值； (2)二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由． (3)设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值； 【答案】(1) (2)向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将二次函数化为顶点式，求得顶点坐标，根据两个顶点的横坐标的关系列出方程，求解即可； （2）根据两个二次函数的解析式即可得到平移方式； （3）把点代入上，得到，把，，代入，得到，进而得到，因式分解得到，进而求出的值，即可出得出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，二次函数分别为，， ∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【类型11】二次函数y=ax²+bx+c与公共点的计算与证明 29．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，直线经过点，与抛物线的对称轴交于点． (1)求k，b的值； (2)若抛物线与x轴交于，且，令，求h的最大值； (3)当时，抛物线与直线有且只有一个公共点，求c的取值范围． 【答案】(1)1，1 (2) (3)或 【分析】（1）将和分别代入直线表达式中可求得k和n值，再根据抛物线的对称轴公式求解b值即可； （2）由题意可得，抛物线的对称轴为直线，进而得到，再结合得出，则，最后根据二次函数的性质求最值即可； （3）联立方程组可得，然后分两种情况，分别结合方程根取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将点代入可得：，解得， ∴直线方程为， 把代入得：解得，即交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵抛物线与x轴交于，， ∴对称轴为， ∴，即， ∵， ∴，即，解得：． ∵ ∴对称轴为，， ∴当时，h的最大值为． （3）解：联立直线和抛物线，可得，即， 令，对称轴为直线， 当时，二次函数g的图象与x轴有且只有一个公共点，分两种情况： ①当二次函数g的图象的顶点在x轴上时满足条件，此时，解得； ②当时，， 当时，， 根据图象可知，当时满足条件，解得：， 综上，c的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合、待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识点，认真分析题意、找寻知识之间的关联点是解题的关键． 30．（2025·江苏盐城·一模）点和点在二次函数图象上， (1)当时，时 ①求证：； ②已知点和点，若二次函数 的图象与线段只有一个交点，求的取值范围； (2)当时，求证：． 【答案】(1)①见解析；②； (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）①由题意得方程的解为，，由根与系数的关系得，再根据，即可判断； ②利用待定系数法求得直线的解析式为，再利用待定系数法求得抛物线的解析式，联立得，求得两根为（不在内，舍去），，得到，据此求解即可； （2）由题意得到点和点，代入求得，，再代入到，整理得，据此证明即可． 【详解】（1）①证明：当时，时，点和点， ∴方程的解为，， 由根与系数的关系得， ∵，∴； ②解：设直线的解析式为， 将点和点代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 将点和点代入得， ，解得， ∴，联立得， 整理得， ， ∵， ∴， ∴方程总有两个实数根， 解得， 即（不在内，舍去），， ∴，， ∵， ∴，， 解得； （2）解：当时，点和点， 将和代入得， ， 解得，， ∴， ∴， 整理得， ∵，， ∴． 【类型12】二次函数y=ax²+bx+c的实际应用问题 31．（2025·陕西榆林·三模）冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质. （1）由题意知，顶点P的坐标为，设抛物线的函数表达式为，将代入，求解即可； （2）由题意知，，当时，求出，由对称性可知，即可得解. 【详解】（1）由题意知，顶点P的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）由题意知，， ， 当时，， 由对称性可知， ， 故这两根窗框的总长度为米． 32．（2025·河北邢台·三模）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点． ①求抛物线的解析式； ②若点最终落在上，求此时的长； ③竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点处到达最高点．若点经过点正上方处，直接写出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、求拖物线与直线的交点、代数式运算、含参函数求参数范围．核心素养表现为抽象能力、推理能力和模型观念． （1）①运用待定系数法求解即可；②根据自变量的值求函数值的计算即可；③根据函数值求自变量的值即可； （2）根据题意得到抛物线解析式为，抛物线过点，则，抛物线解析式为，且抛物线过，，当时，代入计算即可． 【详解】（1）解：①由题意，得抛物线的解析式为， 又抛物线过点， ， ， 抛物线的解析式为． ②抛物线的解析式为， 当时，，即， ． ③由②可得抛物线经过点， 要经过点， ， 抛物线经过点时，， ， 当时，点落在上． （2）解：． 顶点， 抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， 抛物线解析式为，且抛物线过， ， ， 当时， ， ， 点在点正上方处． 【类型13】二次函数y=ax²+bx+c与几何综合问题 33．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象与性质，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出，，求出直线的函数表达式为，设，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）作轴交BC于点E，求出直线的函数表达式为，设，求出，得，，根据的面积等于3得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：令，解得或， ∵， ∴，， 如图1， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴ 解得， ∴直线的函数表达式为， 由（1）得抛物线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵， ∴线段有最大值为． （3）解：如图2，作轴交BC于点E， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得 ∴直线的函数表达式为， 设， 令，解得， 则， ∴， ∴的面积， ∵的面积等于3， ∴，解得或． 34．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，                                   抛物线的函数表达式为； （2）证明：，当时，， ， ∴设直线的解析式为， 把点代入，得：， ∴直线的函数表达式为， 抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线， 当时，， ， 如图，设点， ， 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，则， 直线的函数表达式为， 当时，， ， ． 同理可得，直线的函数表达式为，                      当时，， ， ， ． 为定值． 35．（2025·山东东营·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，满足条件的点M的坐标有或或 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式，求出解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，根据已知条件确定是等腰直角三角形，可得，根据最大时，最大，然后求出直线解析式，并表示出，讨论极值，可得答案； （3）当平行四边形以为平行四边形的边时和以为对角线时，讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵点，点在抛物线 的图象上， ， 解得：，， 抛物线的解析式为． （2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图1： ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设， 则， ， ， 当时，最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大． （3）解：存在，满足条件点的坐标为或或，理由如下， 当以为平行四边形的边时，如图2， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标为； 当以为平行四边形的边长时，如图3， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标是； 当以为对角线时，如图4， ，， 线段的中点的坐标为，即， ， 解得， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，等腰直角三角形的性质和判定，求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，不能丢解． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，解题关键是正确利用待定系数法求出抛物线解析式，牢记对称轴公式．将A点和B点坐标代入解析式即可求出解析式，利用对称轴是即可求解． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ， 抛物线的对称轴是． 故选：C ． 2．（2025·安徽滁州·一模）已知二次函数的图像经过，两点，则下列判断中正确的是（   ） A．存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．无论实数为何值，都有 D．无论实数为何值，都有 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意把当时， 时，求出，，即可解题． 【详解】解：当时，，选项AC错误，不符合题意； 当时，二次函数，当时，，故选项B正确符合题意；选项D错误不符合题意， 故选：B． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数，点，均在该二次函数图象上．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出该二次函数的图象与轴的交点分别，，从而得出该二次函数图象的对称轴为直线，根据对称性得出关于直线的对称点为，根据二次函数性质，求出结果即可． 【详解】解：当时，， 解得：或， 该二次函数的图象与轴的交点分别为，， 该二次函数图象的对称轴为直线， 该二次函数的图象开口向上， 当时，的值随的值增大而减小， 关于直线的对称点为， 时，． 故选：B． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，点在该函数图象上，若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．由二次函数解析式得出对称轴为直线，结合当时，y随x的增大而增大，得抛物线开口向上，，再结合，，，即可作答． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ， ∵，， ∴，， ∵， 则， ∴， 故选：A． 5．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数的图象经过四个象限，则的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】求出二次函数的顶点坐标为，对称轴为，与y轴的交点坐标为，又由开口向上可知，图象要经过四个象限，则，结合可得，由此即可得解．本题主要考查了二次函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴开口向上， 顶点坐标为，对称轴为，与y轴交点为， ∵二次函数的图象经过四个象限， ∴， 解得， 又∵ ∴， ∴的值可以是2． 故选：A 7．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. 8．（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，当且仅当某点的横纵坐标数值完全一致时，该点被定义为“完美点”．如若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为“完美点”，已知二次函数(a是常数，)的图象上有且只有一个“完美点”，且当时，函数的最小值为，最大值为7，则m的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键． 令，则，再利用建立方程解得，即可求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质进行分析即可． 【详解】解：令，则 ∴ 解得， ∴ ∵开口向下，顶点为， ∴的最大值为， ∵或时，， ∴当时，最小值为，则，且时， 解得， 故答案选：C 二、填空题 9．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）用配方法将写成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数的一般式转化为顶点式，熟练掌握配方法，利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可得解 【详解】解：． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若二次函数的图象经过原点，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意可得、，然后计算即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴、，解得：． 故答案为：1． 11．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数、且有、则、按从大到小的顺序排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，， ∴当时，值最小． 当 时，； 当 时，， ∴． 故答案为：． 12．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，点A为抛物线的顶点，点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，中点坐标公式；由题意得点A的坐标，设，利用对称关系求得点C的坐标；利用抛物线的对称性即可求得结果． 【详解】解：，则，对称轴为直线； 由题意设，则； ∵轴， ∴点C，点D关于抛物线的对称轴对称， ∴． 故答案为：4． 13．（2025·四川资阳·三模）已知函数，若函数在上的最大值是，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，属于“定范围动轴”的问题，正确分类讨论是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴为，再根据对称轴与的范围比较，分类讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：对称轴为直线， ①时， ∵， ∴函数在上，随的增大而减小， ∴当时，， 解得：或（舍）； ②当时，则， 此时当时，函数有最大值，则， 解得：； 当时，即， ∵， ∴函数在上，随的增大而增大， ∴当时，， 解得：（舍）， 综上：的值为或， 故答案为：或． 14．（24-25九年级下·安徽池州·期中）抛物线经过点． （1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ． （2）若对于，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可知抛物线过点，，利用抛物线的对称性即可求解； （2）先求出抛物线的对称轴是直线，再分两种情况：当时；当时；分别结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 若，则抛物线过点，， 该抛物线的对称轴是直线， 故答案为：1； （2）抛物线经过点，，，， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ①当时，此时抛物线开口向上， 当时，随着的增大而增大， 对于，，都有， ， ，不合题意，舍去； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， 对于，，都有， ， 解得， 综上，当时，都有． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知：二次函数． (1)通过配方，将其写成的形式； (2)求出图象与轴的交点、的坐标； (3)为何值时，； (4)当________时，随的增大而减少． 【答案】(1) (2)点坐标为，点坐标为 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数顶点解析式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和解析式之间的转化． （1）利用配方法即可将函数解析式的一般式转化成顶点式； （2）利用二次函数和一元二次方程的关系，当为0时，求出的值，即可求出交点坐标； （3）根据二次函数图象的性质即可判定的取值范围； （4）利用函数图象的性质，开口方向，顶点坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： ∴点坐标为，点坐标为． （3）解：根据二次函数的解析式可知， ，抛物线开口向下， 由（2）得抛物线与轴的交点分别为， 根据图象的性质可得， 当或时，． （4）解：由可知，抛物线的顶点坐标为， ，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减少． 16．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）将抛物线（a为常数）的图象向上平移1个单位后，图象经过点． (1)求原抛物线的函数表达式． (2)已知点，在抛物线上． ①求证：； ②若，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①见解析；②或． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意得，，从而图象向上平移1个单位后，可得新抛物线为，结合图象经过点，求出a即可判断得解； （2）①由（1）抛物线为，结合点，在上，从而，，故，进而可以判断得解； ②依据题意，由抛物线为，故抛物线的对称轴是直线，再结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴图象向上平移1个单位后，可得新抛物线为． 又∵图象经过点， ∴． ∴． ∴原抛物线的函数表达式为； （2）①证明：由（1）抛物线为， ∵点，在上， ∴，． ∴ ． ∵对于任意的实数m都有， ∴； ②解：由①知，． ∵ ∴， ∴， ∴或． 17．（2025·广东深圳·二模）综合与实践 在学习完二次函数后，创新学习小组对一个二次函数的顶点特征展开了如下探究： (1)①列表：填写表格，表格中的与的值分别是____，____； 的值 ．．．．．． ．．．．．． 的顶点横坐标 ．．．．．． 1 2 3 ．．．．．． 的顶点纵坐标 ．．．．．． 0 3 4 0 ．．．．．． ②描点：随着取不同值，请将的顶点描在下面的平面直角坐标系中； ③连线：用光滑的曲线顺次连接各点； (2)①猜想：随着取不同值，的顶点形成的图象的表达式是___________；②请验证你的猜想； (3)若抛物线与轴有两个不同的交点，请求出的取值范围． 【答案】(1)0；3；图形见解析； (2)①；②见解析． (3)或． 【分析】（1）依据题意，由二次函数配方求得其顶点坐标为； ①当时，顶点为；当时，顶点为，从而可得，，进而得解； ②依据题意，可以作图得解； ③依据题意，可以作图得解； （2）①依据题意，结合表格数据可以判断得解； ②依据题意，二次函数：，其顶点坐标为，，从而可设，，再把代入中，可得，进而得解； （3）依据题意，由与x轴有两个不同的交点，，又由（2）可知：函数：的顶点始终在图象上滑动，其顶点为，当时，从而抛物线与x轴交于，两个点，进而当顶点在下方时，抛物线有两个交点，；又函数：的顶点始终在上，故当的顶点在下方时，，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵二次函数 ， ∴其顶点坐标为． ①当时，顶点为； 当时，顶点为． ∴，． 故答案为：0，3． ②描点：如图，即为所描点； ③连线：如图，即为所连线； ； （2）解：①猜想：随着k取不同值，的顶点形成的图象的表达式是． 故答案为：； ②由题意，二次函数：，其顶点坐标为， ∴可设，， 把代入中， ∴； （3）解：由题意，∵与x轴有两个不同的交点，， 由（2）可知：函数：的顶点始终在图象上滑动，其顶点为， 当时， ∴或， 抛物线与x轴交于，两个点， 当顶点在下方时，抛物线与x轴有两个交点，； ∵：，即， ∴当时，即时，． ∴：始终过点． ∵函数：的顶点始终在上， ∴在上． ∴当的顶点在下方时，． 综上可得：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 18．（2025·海南·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交于和两点． (1)若． ①求b，c的值； ②当时，二次函数最大值和最小值的差为12，求m的值； (2)当时，若存在实数s，总有，求满足条件的s的取值范围． 【答案】(1)①b的值为2，c的值为3；②m的值为或3 (2)满足条件的s的取值范围为 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可；②根据二次函数的图象和性质分类讨论进行解答即可； （2）求出二次函数的对称轴为直线，进一步得到，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）①当时，点和， 将A，B两点坐标代入二次函数中，得， 解得 ∴b的值为2，c的值为3； ②由①知， ∴二次函数的表达式为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 当时，， 当时，， 分类讨论： ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，即时，都在对称轴左侧， 此时，y有最小值，，y有最大值， ∴，解得，符合题意； 当时，都在对称轴右侧， 此时，y有最大值，，y有最小值， ∴， 解得，符合题意； 当时，即时，时，y取得最大值4， 若最大值与最小值差为12，则最小值为， 将代入， 即，解得， 将代入， 即， 解得， 均不在的范围内，故不符合题意， 综上所述，当函数最大值和最小值的差为12时，m的值为或3； （2）根据题意，二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象与x轴交于和两点， ∴点A，B关于抛物线的对称轴对称， ∴点A，B到对称轴的距离相等，设点A在点B左侧， ∴， 又∵， ∴， ∴， 将代入中， 得， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为， ∵， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$