22.3 实际问题与二次函数（拱桥和投球问题）同步练习-2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.3 实际问题与二次函数(拱桥和投球问题) 一、单选题 1.某湖面上有一座抛物线形拱桥,按如图所示的方式建立平面直角坐标系,得到抛物线的函数解析式为,正常水位时,水面宽为,此时拱顶到水面的距离为( ) A. B. C. D. 2.如图,有一抛物线拱桥,当拱顶离水面时,水面宽,当水面增加时,水面下降了( ) A. B. C. D. 3.如图是一个红酒杯,杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形,杯脚高,杯口宽为,则酒杯总高度为( ) A. B. C. D. 4.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为时,达到最大高度,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心距离地面高度为,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的有( ) ①此抛物线的解析式是 ②篮圈中心的坐标是 ③此抛物线的顶点坐标是 ④篮球出手时离地面的高度是 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.若从地面竖直向上抛一小球,小球的高度h(单位:)与小球运动的时间t(单位:)之间的函数关系如图所示,有以下结论: ①小球在空中经过的路程是40; ②与之间的函数关系式为; ③小球运动的时间为6; ④当小球的高度时,.以上结论中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.从某一高度自由下落的小球离地面的高度与下落时间满足关系式,它的图象如图所示,点为其图象上一点.小球下落过程中的速度与小球离的距离满足关系式,已知该小球到达地面的速度超过时会对地面造成伤害,则下列说法错误的是( ) A.小球开始下落时离地面的高度为 B.小球落地 C.小球不会对地面造成伤害 D.第时小球的速度为 7.某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线.不考虑空气阻力,足球距离地面的高度(单位:)与足球被踢出后经过的时间(单位:)之间的关系如下表: 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论: ①足球距离地面的最大高度为; ②足球被踢出时落地; ③足球被踢出时,距离地面的高度是. 其中,正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度(单位:)与小球的运动时间(单位:)之间的关系式是.有下列结论: ①小球从抛出到落地需要; ②小球运动的高度可以是25m; ③小球运动时的高度大于运动时的高度. 其中,正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 9.如图,一抛物线形拱桥,当拱顶到水面的距离为2米时,水面宽度为4米;则当水面的宽度为米时,水位上升 米. 10.有一个抛物线型蔬菜大棚,将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中,抛物线可以用函数来表示,已知米,距离点2米处的棚高为米,若借助横梁建一个门,要求门的高度为1.5米,则横梁的长度是 米. 11.湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥,按图所示建立平面直角坐标系,得到抛物线解析式为,正常水位时水面宽为,当水位上升时水面宽为 . 12.从地面向上抛出的小球,小球的高度(单位)与运动时间(单位:)之间的关系是,则小球运动过程中,小球高于地面的时长为 . 13.“一河诗画,满城烟花”,每逢过年过节,人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放,当发射角度与水平面成度角时,烟花在空中的高度(米)与水平距离(米)接近于抛物线,烟花可以达到的最大高度是 米. 14.如图,在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球在地面上的落点为点B,网球的飞行路线是一段抛物线,小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)已知米,米,网球飞行的最大高度米,若要使网球能落入桶内,则至少需摆放 个无盖圆柱形桶. 15.如图,运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分,以地面所在直线为轴,过最高点且垂直于地面的直线为轴,建立平面直角坐标系.则该标枪运动轨迹的函数关系式为:,已知运动员出手点距离最高点的水平距离为,则该运动员投掷标枪的水平距离为 . 三、解答题 16.金溪县实验中学开展“阳光体育”活动,学生们在操场玩跳长绳游戏.如图,在跳长绳的过程中,绳甩到最高处时的形状是抛物线型,以O为原点建立平面直角坐标系(甲位于点O处,乙位于x轴上的点D处),正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A,B,且的水平距离为6米,A,B两点到地面的距离与均为米,绳子甩到最高点C处时,最高点距地面的垂直距离为米. (1)请求出抛物线的解析式. (2)跳绳者小明的身高为米,当绳子甩到最高处时,小明站在距甲同学多远时,绳子刚好过他的头顶上方? 17.如图是一座悬索桥侧面示意图.桥塔与桥塔均垂直于桥面,缆索段与缆索段、缆索段均呈抛物线型.缆索段所在的抛物线与缆索段所在的抛物线关于所在的直线对称,桥塔与桥塔之间的距离(桥塔的粗细忽略不计),缆索段的最低点到的距离.请你建立适当的坐标系,解答问题: (1)在你所建坐标系下,求缆索段所在的抛物线的函数解析式; (2)若,求的长. 18.南昌生米大桥(图1)是南昌市中南部城市主干道的重要构成部分之一,横跨赣江,是一座集现代设计美学与工程技术创新于一体的标志性建筑.如图2,主桥拱可近似地看作抛物线的一部分,桥面的一部分可看作水平线段,其跨度为,桥拱的最大高度为.以点为原点,线段所在直线为轴,过点垂直于的直线为轴,构建平面直角坐标系. (1)求主桥拱所在抛物线的解析式; (2)如图2,若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯,且相邻景观灯的间距、端点,到相邻景观灯之间的距离均相等,已知杆状景观灯平均的铺设成本为270元/,求5根景观灯的铺设成本. 19.一位足球运动员在一次训练中,从球门正前方的A处射门,已知球门高为,球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分,当球飞行的水平距离为时,球达到最高点,此时球的竖直高度为.现以O为原点,建立平面直角坐标系如图所示. (1)求抛物线的表达式; (2)通过计算判断球能否射进球门; (3)为了进球,运动员带球向点A的正后方移动了米射门,若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变,结果恰好在点O正上方处进球,求n的值. 20.根据年杭州体育中考实心球项目的评分标准,男生的投掷成绩是大于或等于米时获得满分分.如图,实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分.男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程,通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离(单位:米)与竖直高度(单位:米)的数据如表: 水平距离 竖直高度 (1)求实心球运动轨迹的抛物线解析式; (2)小刚在此次训练中是否得到满分,请说明理由; (3)体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限,要调整出手角度”的建议,体现在抛物线的解析式上可以理解为保持,值不变,调整值.求能使得小刚得到满分的的取值范围. 21.在2024年巴黎奥运会上,全红婵凭借总分分的成绩蝉联奥运会女子10米跳台冠军,成为中国奥运史上最年轻的三金王.在进行跳水训练时,运动员身体(视作一点)在空中的运动路线可视作一条抛物线.如图所示,建立平面直角坐标系.已知米,米,跳水曲线在离起跳点A水平距离为米时达到距水面最大高度米. (1)当时, ①求这条抛物线的解析式; ②求运动员落水点G与点A的距离; (2)图中米,米,若跳水运动员在区域内(含点E,F)入水时才能达到训练要求,请直接写出的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C A C B B 1.A 本题考查了二次函数的应用,准确熟练地进行计算是解题的关键.根据题意可得:把代入,进行计算,即可求解. 解:∵水面宽为, ∴的横坐标为 把代入 得: ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选:A. 2.B 本题考查二次函数的应用,待定系数法求抛物线解析式,利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键. 根据题意得,抛物线顶点为,设抛物线的解析式为,利用待定系数法求出,然后将代入求解即可. 用如图所示的方式建立平面直角坐标系, 根据题意得,抛物线顶点为, 设抛物线的解析式为, 将点代入,得, 解得, ∴, ∵当水面增加时, ∴水面宽度为, ∴, ∴此时水面与抛物线右边的交点的横坐标为, ∴当时,. ∴当水面增加时,水面下降了. 故选:B. 3.C 本题主要考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质. 先确定抛物线的顶点坐标和对称轴,根据对称性确定点坐标,求出点到直线的距离即可求解. 解:抛物线的顶点坐标为 即, ∴对称轴为直线, ∵为, ∴当时,代入解析式得, 即, ∴点到的距离为, ∴酒杯总高度为, 故选:C. 4.C 本题考查了二次函数的应用,能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解题的关键.对于A,设抛物线的表达式为,依题意可知图象经过的坐标,由此可得a的值,据此将得到的解析式与A选项对照,即可得到其正误;对于B、C,根据函数图象判断,即可得到其正误;对于D,设这次跳投时,球出手处离地面,将代入计算即可求得结论. 解:∵抛物线的顶点坐标为, ∴可设抛物线的函数关系式为. , ∴篮圈中心在抛物线上,故选项②正确; ∴,解得, ∴此抛物线的解析式是,拋物线的顶点坐标是.故选项①正确,选项③错误; 设篮球出手时离地面的高度是. 令中, 可得. 可知篮球出手时离地面的高度是.故选项④错误. 则说法正确的有①②, 故选:C. 5.A 本题考查了二次函数的应用,二次函数的图象与性质,待定系数法求函数解析式,熟练掌握知识点,读懂函数图象是解题的关键. 根据函数的图象中的信息判断即可. 解:①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m; 故①错误; ②设函数解析式为:, 把代入得, 解得, 函数解析式为, 故②错误; ③令,, 解得:或6, 小球的运动时间为, 故③正确; ④把代入解析式得,, 解得:或, 小球的高度时,t为秒或秒, 故④错误; 综上,正确的只有一个, 故选A. 6.C 本题考查了二次函数的应用,根据题意正确地列出函数关系式是解题的关键.根据题意和二次函数的性质逐个选项进行判断,即可求解. 解:A、把代入得:, 解得:, 小球开始下落时离地面的高度为, 故A选项说法正确; B、由上可知,, 把代入得:, 小球落地, 故B选项说法正确; C、由题意得,小球落地时离的距离, 代入得:, , 小球会对地面造成伤害, 故C选项说法错误; D、把代入得:, 第时小球离地面的高度为, 第时小球离的距离, 代入中得:, , 第时小球的速度为, 故D选项说法正确; 综上所述,故选:C. 7.B 本题考查了二次函数的应用,根据题意求得解析式是解题的关键,根据表格可得抛物线的对称轴为直线,过点,则设抛物线的解析式为,待定系数法求得解析式,进而逐项分析判断,即可求解. 解:由题意,抛物线的对称轴为直线 ∴当和时, 设抛物线的解析式为,把代入得, ∴, ∴足球距离地面的最大高度为,故①错误, ∵时,, ∴足球被踢出时落地,故②正确, ∵时,,故③错误, ∴正确的有②,共1个 故选:B. 8.B 本题考查了二次函数的应用,掌握二次函数图象的性质,顶点坐标的计算,函数值的计算是解题的关键. 根据时,解方程,可判定结论①;配方出顶点式,求出最大值,可判定结论②;把运动时的高度,运动时的高度计算出来比较即可判定结论③;由此即可求解. 解:当时,, 解得:或, ∴小球从抛出到落地需要,正确,故①符合题意; ,由于, ∴当时,小球运动的高度是20m,不可能为,故②错误,不符合题意; 当时,,当时,, 那么小球运动时的高度等于运动时的高度,故③错误,不符合题意, ∴正确的个数为1, 故选:B. 9./ 本题主要考查了二次函数的实际应用,解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解. 如图建立平面直角坐标系,由题意得:C为抛物线顶点且坐标为,求出抛物线解析式,然后把代入求解即可. 解:如图,以水面所在直线为x轴,的中点O为坐标原点,建立平面直角坐标系, 由题意得:C为抛物线顶点且坐标为, 可设抛物线解析式为 , ∴ 即 , ∴抛物线解析式为 , 当水面宽度为米时,即当 , , ∴水面上升的高度为米, 故答案为:. 10. 此题主要考查二次函数的性质及用待定系数法求出函数的解析式,比较简单,要学会设合适的函数解析式.先用待定系数法求出函数函数解析式,求出当时的自变量的值,即可求出答案. 解:由题意可得,抛物线经过,, 故, 解得:, 故抛物线解析式为: 由题意可得:当时, , 解得: ∴米. 故答案为: 11. 本题考查了实际问题与二次函数,熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键,根据二次函数的图象可得当水位上升时,此时,进而可求得此时的的值,进而可求解. 解:依题意得: 当,, 当水位上升 时,则此时, 则:, 解得:或, ∴水面宽为:, 故答案为:. 12. 本题主要考查了二次函数的应用,解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.依据题意,由,可令h=25,则,求出后即可判断得解. 解:由题意,∵, ∴令,则. ∴或. ∴小球高于地面的时长为 故答案为:. 13. 本题主要考查了二次函数的应用,将原抛物线解析式化为顶点式,结合二次函数的图象与性质即可求解,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键. 解:由抛物线得, ∵, ∴当时,烟花可以达到的最大高度是米, 故答案为:. 14. 本题主要考查二次函数的实际应用,熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.先建立直角坐标系,求出函数解析式,根据二次函数的图像和性质即可得到答案. 解:先以所在直线为轴建立直角坐标系,二次函数的图像过,设抛物线的解析式为, , , 抛物线解析式为:, 当时,, 当时,, 桶高米,设可以摆放个桶 , 解得, 故至少要摆个桶, 故答案为:. 15. 本题考查了二次函数在实际问题中的应用,将代入,得出,结合题意,即可求解. 解:将代入, , 解得:(舍去) 又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为, ∴该运动员投掷标枪的水平距离为米 故答案为:. 16.(1) (2)2米或4米 本题考查了求二次函数的表达式,和二次函数的实际应用,利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键. (1)根据题意,假设出来抛物线的顶点解析式,然后利用待定系数法即可求解; (2)利用函数值,求自变量的值即可. (1)解:由题意设抛物线的解析式为, 将点代入中,得, 该抛物线的解析式是. (2)解:将代入, 解得,, 小明站在距甲2米或4米时,绳子刚好过他的头顶上方. 17.(1) (2) (1)先根据已知条件确定抛物线的顶点坐标和抛物线上一点的坐标,然后设出抛物线的顶点式解析式,将点的坐标代入求出解析式中的系数. (2)先根据抛物线的对称性得到另一段抛物线的解析式,再将的值代入解析式求出的值,最后结合条件确定的长. 本题主要考查了二次函数的应用,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. (1)解:如图,以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系, ∵, ∴. 又,缆索段的最低点到的距离, ∴抛物线的顶点的坐标为. 故可设抛物线解析式为. 将代入抛物线解析式, 得. ∴. ∴缆索段所在抛物线的解析式为. (2)解:∵缆索段所在抛物线与缆索段所在抛物线关于所在直线对称, 又缆索段所在抛物线的解析式为, ∴缆索段所在抛物线的解析式为. ∵, ∴可令, ∴. 解得或. 又, ∴. ∴的长为. 18.(1) (2)5根景观灯的铺设成本为元 本题考查二次函数的实际应用: (1)根据题意设出二次函数顶点式,利用待定系数法求解; (2)先求出相邻景观灯之间的距离,再利用(1)中结论及二次函数图象的对称性求出5根杆状景观灯的长度,即可求解. (1)解:根据题意可知,顶点,, 设主桥拱所在抛物线的表达式为, 将代入, 得, 解得. ∴主桥拱所在抛物线的表达式为; (2). 当时,; 当时,; 当时,; 由对称性得,当时,;当时,. ∴5根杆状景观灯的总长度为. (元). 答:5根景观灯的铺设成本为元. 19.(1) (2)球不能射进球门 (3)1 本题考查的是二次函数的应用, (1)用待定系数法求出表达式即可; (2)计算当时,y的值与比较即可得出答案; (3)由题意得出移动后的抛物线为,把点代入求出结论即可. (1)解:∵, ∴抛物线的顶点坐标为, 设抛物线表示的二次函数的表达式为, 把点代入,得, 解得, ∴抛物线的表达式为; (2)当时,, ∴球不能射进球门; (3)由题意,移动后的抛物线为, 把点代入,得, 解得(舍去),, ∴n的值为1. 20.(1); (2)不能得到满分,见解析; (3). 本题考查了二次函数的应用,熟练掌握待定系数法求抛物线解析式是关键. (1)待定系数法求出抛物线解析式即可; (2)令代入解析式求出值与比较即可得到结论; (3)设调整后抛物线解析式为,当时,,令,求出的取值范围即可. (1)解:设抛物线解析式为,由表中数据可得: , 解得, 抛物线解析式为; (2)解:当时, 解得舍去,, , 小刚在此次训练中不能得到满分; (3)解:设调整后抛物线解析式为, 当时,, 令, 解得, 的取值范围为:. 21.(1)①;②米 (2) 本题考查二次函数的实际应用,正确的求出函数解析式,是解题的关键: (1)①根据题意,得到点坐标和抛物线的顶点坐标,利用待定系数法求出函数解析式即可;②求出时,的值,进而求出运动员落水点与点的距离即可; (2)设抛物线的解析式为:,将代入得到,再把点,两点分别代入求出的值,即可得出结论. (1)解:①由题意得,抛物线顶点坐标为,, 设抛物线解析式为, ∴, 解得, ∴抛物线解析式为; ②当时,, 解得:(舍去); ∴, ∵, ∴米; ∴运动员落水点G与点A的距离为米; (2)解:设抛物线的解析式为:,把,代入,得: , ∴, ∴, 当抛物线过点时,,解得:; 当抛物线过点时,,解得:; ∴. 学科网(北京)股份有限公司 $$