24.3 正多边形和圆 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

问题2，日常生活中,我们经常能看到正多边形的物体,利用正多边形,我们也可以得到许多美丽的图案,你还能举出一些这样的例子吗? 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 24.3 正多边形和圆 第二十四章 圆 1.了解正多边形和圆的有关概念. 2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. (重点) 3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点） 学习目标 你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆. ⌒ ⌒ B 4 ⌒ ⌒ 1 2 3 A C D E ⌒ 5 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA ∴AB=BC=CD=DE=EA ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠5 又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE. 5 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. O · 中心角 半径R 边心距r 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距. 三、典例剖析 A B C D E F O H 正六边形 中心角∠DOE= 外角∠FEH= 内角度数= 正n边形外角等于中心角 内角与中心角互补 四、探究规律 A B C D E F O H 正六边形 中心角∠DOE= 外角∠FEH= 内角度数= 正n边形外角等于中心角 内角与中心角互补 练习巩固 例1 如图，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心，OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线交⊙ O 于点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形. 分析：紧扣正多边形的定义，结合同圆中弦、弧、圆心角的关系证明. 典 例 精 析 证明：∵三角形AOB 是正三角形， ∴ ∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60 °，OB=OA. ∴点B 在⊙ O 上.∵ FC∥AB， ∴∠FOA=∠OAB=60°，∠COB=∠OBA=60°. ∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF= ∠ FOA=60° .∴AB = BC = CD = DE = EF = FA . ∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形. ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 典 例 精 析 证明一个多边形是圆内接正多边形 1.利用正多边形的定义，证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边相等； 2. 证明圆内接多边形各边所对的弧相等，即证明这个多边形的各顶点等分这个圆. 方 法 归 纳 典 例 精 析 解:如图,连接OB,OC. 因为六边形ABCDEF是正六边形, 所以它的中心角等于=60°, △OBC是等边三角形,从而正六边形的 边长等于它的半径. 因此,亭子地基的周长l=6×4=24(m). 作OP⊥BC,垂足为P. 在Rt△OPC中,OC=4 m,PC==2(m), 利用勾股定理,可得边心距r==2(m). 亭子地基的面积S=lr=×24×2≈41.6(m2). 活动3　画圆内接正多边形 例2 (教材补充例题)根据正多边形和圆的关系,请在下列各圆中作正多边形. (1)在图24-3-3①中作圆内接正六边形; (2)在图②中作圆内接正方形. 解:画法不唯一,略. 图24-3-3 巩固练习 正n边形的一个内角的度数是_____________________; 中心角是___________; 正多边形的中心角与外角的大小关系是______________. 相等 16 巩固练习 课本P108习题24.3复习巩固第1题 正多边形 边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60° 1 4 1 6 A A A A 17 巩固练习 【例】有一个亭子它的地基是半径为4 m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1m2). F A D E . . O B C r R P 18 4.要用圆形铁片截出边长为4cm 的正方形铁片，则选 用的圆形铁片的直径最小要4√2 cm. 也就是要找这个正方形 外接圆的直径 4 看作为正七边形，则一个内角为_ 128 7一 (不取近似值) 3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似 度 . 5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形， 若正方形的面积等于4,求⊙O的面积. 解：∵正方形的面积等于4, ∴正方形的边长AB=2. 则半径为 ABgin45°= √2. ∴⊙O的面积为π(√2)²=2π . 6.如图，正六边形ABCDEF的边长为2 √ 3,点P为六边形内 任一点.则点P到各边距离之和是多少? 解：过P作AB的垂线，分别交AB 、DE 于H、K, 连接BD, 作CG⊥BD 于G. ∵六边形ABCDEF是正六边形 oAB //DE,AF//CD,BC//EF, Q 0 . .P 到AF与CD的距离之和，及P到EF 、BC的距离之和均为 HK 的长. ∵BC=CD,∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°, ∴∠CBD=∠BDC=30°,BD//HK, 且 BD=HK. ∵CG⊥BD,∴BD= 2BG=2×BC×cos∠CBD=6. ∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18. $$