高二数学上学期第一次月考（人教A版2019选择性必修第一册第一章1.1～第二章2.3，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第1.1~2.3章（空间向量与立体几何+直线）。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，分别取，则， 且， 而 由， ， ， 设与的所成角为， 则. 故选：A. 2．已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且底面是以为斜边的等腰直角三角形， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系，    由题意可得，，，，， 所以，，，，， 所以，， ，， 所以， 故选：B 3．已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线， 点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系， ， 又是异面直线上的点， 所以的最小值为异面直线的距离， ， ， 设与直线都垂直的一个向量， 则，不妨取，， 所以异面直线的距离. 故选：C. 4．已知正方体的棱长为分别是棱和上的中点，点是正方体表面上一点且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以点为原点，以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以， 即，此方程表示以为球心，以为半径的球， 球心到每个面的距离都是1，每个平面与球的截面圆的半径为， 所以点的轨迹是以每一个正方形的中点为圆心的圆，所以轨迹长度为. 故选：D 5．直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【详解】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 6．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 7．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 8．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以，故．故D错误. 故选：ABC 10．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得异面直线与所成的角为 C．当点运动到中点时，平面的法向量可以为 D．三棱锥体积的取值范围为 【答案】BCD 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 对于A，假设存在点，使得， 因为，，所以， 解得，不合题意，故A错误； 对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，， 所以， 解得，不符合， 则不存在点，使得异面直线与所成的角为，故B正确； 对于C，当点运动到中点时，，又，， 所以，， 设是平面的法向量， 则，令，则，故C正确； 对于D，方法一   因为，， 所以， ，则， 设是平面的法向量，则， 令，则，设， 则， 则点到平面的距离， 则三棱锥的体积为， 因为，所以，故D正确． 方法二 设，则， 因为， ， 点到平面的距离， 所以，因为， 所以，故D正确． 故选：BCD. 11．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（    ） A． B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 【答案】CD 【详解】对于A，，A错误； 对于B，令直线a上任意点为， 则， 则当时，的最小值为1，B错误； 对于C，设，则， 当时，则；当时，则； 当时，则；当时，则； 则M点轨迹为上述四条线段围城的封闭曲线，如图示正方形： 则的轨迹围成图形的面积是，C正确； 对于D，，设，当M与直线b上的点连线垂直于b时曼哈顿距离最小，由此可得， 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 则M点轨迹如图示： 则的轨迹与直线围成的封闭图形面积为，D正确， 故选：CD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 【答案】/ 【详解】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,所以，解得， 所以，所以． 因为直线过点，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立的方程得解得的交点坐标为． 因为点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：． 13．已知向量，若共面，则 ． 【答案】7 【详解】因为共面， 所以， 即，解得： 故答案为：7 14．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，点为的重心，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 ． 【答案】 【详解】根据题意，记在底面内的摄影为，则平面， 又平面，故，； 利用正四棱锥性质可得，所以， 又因为，则， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 因为内切圆半径为, 所以点的轨迹是以为圆心的三段圆弧， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，在平面内过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 设， 易知， 又点为的重心，可得， 因此， 设直线与直线所成的角为， 则可得 当时，取得最大值. 因此直线与直线所成角的余弦值的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）依题意，． （2）取中点，则． 而，则，所以． 16．（15分） 如图，直三棱柱，底面中，，.，是的中点． (1)求证：； (2)为上动点（含端点），则是否存在使得面，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证为定值，并求该定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)证明见解析， 【详解】（1）以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， ，，， 则、、、、， 是的中点，则，， ，，即. （2）设，其中，，则，，， 若面，则，解得，， 故存在点，当时，面. （3）因为为的重心，则， 即，可得， 因为为上一点，且，则， 因为、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以, 又因为，且、、不共面， 由空间向量的基本定理可得， 因此，为定值. 17．（15分） 已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 18．（17分） 如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于两点，点为线段上一动点，且，交于点． (1)求线段的垂直平分线方程； (2)若的面积与四边形的面积满足，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； (3)判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点为线段的中点， (3)存在，或或 【详解】（1）因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 又直线过点， 所以直线的方程为， 即． 令，得，即； 令，得，即． 则线段的中点坐标为， 又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线方程为， 即； （2）由（1）知直线的方程为，， 因为， 所以， 又， 则与相似， 于是有， 即，得， 此时点为线段的中点， 所以时，点为线段的中点，且； （3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形， 由（1）知直线的方程为， 如图1，当时，而点在轴上，点在轴的正半轴上，则点必与原点O重合， 设，因为， 所以， 于是有， 解得，此时满足题意； 如图2，当时， 由，， 知四边形为正方形， 设， 则，， 于是有， 解得，此时满足题意； 如图3，当时， 由，, 得，即， 设， 则，， 显然直线QM斜率为，则直线PM斜率必为1， 即， 解得，此时满足题意． 综上，y轴上存在点或或，使为等腰直角三角形． 19．（17分） 如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）取中点为，连接，， ，，，， 又，、平面，平面，又平面，． （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，易知，，两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得，， 设直线与平面所成角为，则，又， 直线与平面所成角的余弦值为. （3）以为原点，以为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 为等腰三角形，， ，则，，， 设，则，则，， 故， 或（舍），又， ． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D B A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC BCD CD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．/ 13．7 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）依题意，．（6分） （2）取中点，则． 而，则，所以．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， ，，， 则、、、、， 是的中点，则，， ，，即.（4分） （2）设，其中，，则，，， 若面，则，解得，， 故存在点，当时，面.（8分） （3）因为为的重心，则， 即，可得， 因为为上一点，且，则， 因为、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以,（12分） 又因为，且、、不共面， 由空间向量的基本定理可得， 因此，为定值.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为．（7分） （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 又直线过点， 所以直线的方程为， 即． 令，得，即； 令，得，即． 则线段的中点坐标为， 又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线方程为， 即；（4分） （2）由（1）知直线的方程为，， 因为， 所以， 又， 则与相似， 于是有， 即，得， 此时点为线段的中点， 所以时，点为线段的中点，且；（8分） （3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形， 由（1）知直线的方程为， 如图1，当时，而点在轴上，点在轴的正半轴上，则点必与原点O重合， 设，因为， 所以， 于是有， 解得，此时满足题意； 如图2，当时，（11分） 由，， 知四边形为正方形， 设， 则，， 于是有， 解得，此时满足题意；（14分） 如图3，当时， 由，, 得，即， 设， 则，， 显然直线QM斜率为，则直线PM斜率必为1， 即， 解得，此时满足题意． 综上，y轴上存在点或或，使为等腰直角三角形．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）取中点为，连接，， ，， ，， 又，、平面， 平面，又平面， ．（4分） （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，易知，，两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， ， 设直线与平面所成角为，则，又， 直线与平面所成角的余弦值为.（10分） （3）以为原点，以为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 为等腰三角形，， ，则，，， 设，则，则，， 故， 或（舍），又， ． （17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第1.1~2.3章（空间向量与立体几何+直线）。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 3．已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为分别是棱和上的中点，点是正方体表面上一点且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 5．直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 6．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 7．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得异面直线与所成的角为 C．当点运动到中点时，平面的法向量可以为 D．三棱锥体积的取值范围为 11．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（    ） A． B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 13．已知向量，若共面，则 ． 14．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，点为的重心，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 16．（15分） 如图，直三棱柱，底面中，，.，是的中点． (1)求证：； (2)为上动点（含端点），则是否存在使得面，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证为定值，并求该定值． 17．（15分） 已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 18．（17分） 如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于两点，点为线段上一动点，且，交于点． (1)求线段的垂直平分线方程； (2)若的面积与四边形的面积满足，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； (3)判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$