21.1　一元二次方程 课件 — 2025--2026学年人教版九年级数学上册

21.1　一元二次方程 第二十一章　一元二次方程 栏目导航 要点概览 探究新知 1.等号两边都是　 　,只含有　 　个未知数(　 　元),并且未知数的最高次数是　 　(　 　次)的方程,叫做一元二次方程.  2.一元二次方程的一般形式是　 　,其中　 　是二次项,　 　是二次项系数;　 　是一次项,　 　是一次项系数; 　 　是常数项.  3.使方程左右两边　 　的未知数的值就是这个一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.  整式 要点概览 一 一 2 二 ax2+bx+c=0(a≠0) ax2 a bx b c 相等 探究新知 探究点一　一元二次方程的概念 【例1】 若(k2-4)x2+(k+2)x-4=0是关于x的一元二次方程,求k的取值范围. 解:根据题意,得k2-4≠0,解得k≠±2. 4 【新知巩固】 1.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( ) A.x(x-2)=0 B.x2-1-y=0 C.x2+1=x2-2x D.ax2+c=0 A 2.关于x的方程(m+1)x2-(m-1)x+1=0是一元二次方程,那么m的范围是 ( ) A.m≠1 B.m≠-1 C.m≠1且m≠-1 D.m≠0 3.[易错题]已知(m-1)x|m+1|+3x-5=0是一元二次方程,则m=　 　.  B -3 探究点二　一元二次方程的一般形式 【例2】 将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数项. (1)x(x-2)=4x2-3x; 解:(1)一元二次方程的一般形式是3x2-x=0,二次项系数是3,一次项系数是-1,常数项是0. (3)关于x的方程mx2-nx+mx+nx2=q-p(m+n≠0). 解:(3)一元二次方程的一般形式是(m+n)x2+(m-n)x+p-q=0,二次项系数是(m+n),一次项系数是(m-n),常数项是(p-q). 一元二次方程必须同时满足四个条件 (1)是整式方程; (2)只含有一个未知数; (3)未知数的最高次数是2; (4)二次项系数不为0. 【新知巩固】 4.方程5x2=21-9x化成一般形式后,若二次项的系数为5,则它的一次项系数是( ) A.9 B.-9 C.9x D.-9x 5.若一元二次方程2x2-(k-8)x-(2k+3)=0的一次项系数为5,则k=　　. 6.把一元二次方程 x(3x+2)=x-2化成一般形式是　 　.  7.(2022成都)若关于x的一元二次方程(a-2)x2+4x+a2-4=0的常数项为0,则a的值为　 　.  A 3 3x2+x+2=0 -2 探究点三　一元二次方程的解 【例3】 完成下列各题: (1)当x=5时,x2-x=　 　,则x=5　 　(选填“是”或“不是”)方程x2-x=56的解;  (2)当x=8时,x2-x=　 　,则x=8　 　(选填“是”或“不是”)方程x2-x=56的解.  20 不是 56 是 判断一个数是不是一元二次方程的根的方法 将这个数代入一元二次方程的左右两边,看左右两边的数值是否相等,若相等,则该数是这个方程的根;若不相等,则该数不是这个方程的根. 【新知巩固】 8.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的一个解是x=1,则 2 023-a-b的值是( ) A.2 018 B.2 022 C.2 027 D.2 028 9.若关于x的方程x2-(k-2)x-12=0的一个根为3,则k的值为　 　.  10.(2023成都模拟)若关于x的一元二次方程mx2+nx-1=0(m≠0)的一个解是x=-1,则m-n=　 　.  D 1 1 探究点四　列一元二次方程 【例4】 根据下列问题列出一元二次方程,并将其化为一般形式. (1)两个连续奇数的平方和为130,求这两个奇数; 解:(1)设较小的奇数为x,则根据题意得:x2+(x+2)2=130, 即x2+x2+4x+4=130. 化为一般形式,得2x2+4x-126=0或x2+2x-63=0. (2)菱形的两条对角线之差是4 cm,菱形的周长是40 cm,求菱形的两条对角线长. 【新知巩固】 11.某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了2 070张照片.如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为　 　,化成一般形式为　 　. 12.[数学文化]我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题:直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是:矩形面积864平方步,宽比长少12步,问宽和长各几步.若设长为x步,则可列方程为　 　.  x(x-1)=2 070 x2-x-2 070=0 x(x-12)=864 13.阅读下面的问题,列出方程. (1)将一个面积为100 cm2的大正方形分成四个完全相同的小正方形,求小正方形的边长x; (2)一个长方形的长比宽多5 cm,面积是36 cm2.求长方形的宽x. 解:(1)依题意,得4x2=100,即4x2-100=0. (2)∵长方形的宽为x cm, 则长为(x+5) cm, 列方程,得x(x+5)=36, 即x2+5x-36=0. 谢谢观赏！ 18 (2)一元二次方程的一般形式是=0,二次项系数是,一次项系数是0,常数项是0. (2)-=; 解:(2)∵菱形的周长是40 cm, ∴菱形的边长是10 cm. 设菱形较短的对角线长为x cm,则另一条对角线长为(4+x) cm, 依题意,得()2+()2=102, 化为一般形式为x2+4x-192=0. $$