第二章 二次函数 单元测试2024-2025学年北师大版九年级数学下册

北师大版九年级下册 第二章 二次函数 单元测试 一、选择题 1.二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： 下列说法正确的是（　　） A.抛物线的开口向下 B.当x＞-3时，y随x的增大而增大 C.二次函数的最小值是-2 D.抛物线的对称轴是x=- 2.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的关系式为h=30t-5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是（　　） A.6 s B.4 s C.3 s D.2 s 3.把二次函数y=x2+2x-3改写成顶点式为（　　） A.y=(x+1)2-2 B.y=(x+1)2+2 C.y=(x+1)2+4 D.y=(x+1)2-4 4.函数y=a(x-1)2，y=ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（　　） A. B. C. D. 5.关于抛物线y=x2-2x+1，下列说法错误的是（　　） A.开口向上 B.与x轴有两个重合的交点 C.对称轴是直线x=1 D.当x＞1时，y随x的增大而减小 6.已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　） A.y=-6x2+3x+4 B.y=-2x2+3x-4 C.y=x2+2x-4 D.y=2x2+3x-4 7.某同学在利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，先取自变量x的一些值计算出相应的函数值y，如下表所示：： 接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（    ） A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x2+bx-c关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（　　） A.y=x2+bx-c B.y=x2-bx+c C.y=-x2+bx+c D.y=-x2+bx-c 9.用max{a，b}表示a，b两数中较大数，如max{3，1}=3，若函数y=max{|x|+1，1-x2}，则y与x之间的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 10.如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD分别表示两个不同位置的水面宽度，O为拱桥顶部，水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD位置时，水面宽为（　　）米． A.5 B.2 C.4 D.8 11.如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（　　） A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2 12.用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数y=min{x2+1，1-x2}，则y的图象为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 13.已知二次函数y=2x2-1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是_______. 14.若二次函数y=2x2-4x-1的图象与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，则的值为____________． 15.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B(m+2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是_____________． 16.已知二次函数y=(x-2a)2+(a-1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a=-1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是____________． 17.如图，一段抛物线：y=-x(x-2)(0≤x≤2)记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…，如此进行下去，直至得到C6，若点P(11，m)在第6段抛物线C6上，则m=_______． 三、解答题 18.已知二次函数y=ax2经过点A（-2，-8）． （1）求二次函数的关系式； （2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上． 19.二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表： （1）求此二次函数的解析式； （2）写出抛物线顶点坐标和对称轴． 20.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0，-6)，与x轴的一个交点坐标是A(-2，0)． （1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y＜0时，求x的取值范围． 21.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点D(0，4)． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的顶点C的坐标； （3）求四边形ACBD的面积. 22.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣2（b是常数）经过点（2，4）．点A的坐标为（m，0），点B在该抛物线上，横坐标为﹣m﹣2．其中m＞0． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当AB⊥y轴时，求点B的坐标； （3）以AB为对角线作矩形AMBN，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随着x的增大而增大时，若此抛物线在矩形内（包括抛物线与矩形各边的交点）的最高点与最低点的纵坐标的差为3时，求m的值； （4）过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC、BO．若四边形AOBC的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点D、点E，线段BO上有一点F使．当以点C、E、O、F（或以点C、D、O、F）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的时，直接写出所有满足条件的m的值． 北师大版九年级下册 第二章 二次函数 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： 下列说法正确的是（　　） A.抛物线的开口向下 B.当x＞-3时，y随x的增大而增大 C.二次函数的最小值是-2 D.抛物线的对称轴是x=- 【答案】D 【解析】将点(-4，0)、(-1，0)、(0，4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中， 得，解得，∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4． A．a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确； B．-=-，当x≥-时，y随x的增大而增大，B不正确； C．y=x2+5x+4=(x+)2-，二次函数的最小值是-，C不正确； D．-=-，抛物线的对称轴是x=-，D正确． 故选：D. 2.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的关系式为h=30t-5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是（　　） A.6 s B.4 s C.3 s D.2 s 【答案】A 【解析】水流从抛出至回落到地面时高度h为0， 把h=0代入h=30t-5t2得5t2-30t=0，解得t1=0(舍去)，t2=6． 故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s． 故选：A. 3.把二次函数y=x2+2x-3改写成顶点式为（　　） A.y=(x+1)2-2 B.y=(x+1)2+2 C.y=(x+1)2+4 D.y=(x+1)2-4 【答案】D 【解析】y=x2+2x-3=(x2+2x+1)-3-1=(x+1)2-4. 故选：D． 4.函数y=a(x-1)2，y=ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当a＞0时，二次函数的开口向上，对称轴为x=1，一次函数在第一，二，三象限，所以B选项正确． 故选：B. 5.关于抛物线y=x2-2x+1，下列说法错误的是（　　） A.开口向上 B.与x轴有两个重合的交点 C.对称轴是直线x=1 D.当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】画出抛物线y=x2-2x+1的图象，如图所示． A．∵a=1，∴抛物线开口向上，A正确； B．∵令x2-2x+1=0，Δ=(-2)2-4×1×1=0，∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确； C．∵-=1，∴该抛物线对称轴是直线x=1，C正确； D．∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确． 故选：D. 6.已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　） A.y=-6x2+3x+4 B.y=-2x2+3x-4 C.y=x2+2x-4 D.y=2x2+3x-4 【答案】D 【解析】设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入， 得，解得． 故所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4． 故选：D. 7.某同学在利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，先取自变量x的一些值计算出相应的函数值y，如下表所示：： 接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是（2，-1）. 故选：B． 8.在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x2+bx-c关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（　　） A.y=x2+bx-c B.y=x2-bx+c C.y=-x2+bx+c D.y=-x2+bx-c 【答案】C 【解析】先将抛物线y=x2+bx-c关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为y=-x2-bx+c； 再将所得的抛物线y=-x2-bx+c关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为y=-x2+bx+c． 故选：C. 9.用max{a，b}表示a，b两数中较大数，如max{3，1}=3，若函数y=max{|x|+1，1-x2}，则y与x之间的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵|x|+1≥1，1-x2≤1，∴|x|+1≥1-x2，∴y=max{|x|+1，1-x2}=|x|+1， 当x≥0时，y=|x|+1即为y=x+1，图象是端点为（0，1）的一条射线； 当x＜0时，y=-x+1即为y=-x+1，图象是一条射线除去它的端点（0，1）； 而二次函数y=1-x2的图象是一条抛物线，纵观四个选项，只有A符合题意． 故选：A. 10.如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD分别表示两个不同位置的水面宽度，O为拱桥顶部，水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD位置时，水面宽为（　　）米． A.5 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系， ∵水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，∴B(5，-12.5)， 设抛物线的解析式为y=ax2， 把B(5，-12.5)代入y=ax2得-12.5=25a，∴a=-， ∴抛物线的解析式为y=-x2， ∵水面上升2.5米到达警戒水位CD位置， 设D(x，-10)，代入y=-x2得-10=-x2，∴x=±2， ∴CD=4，∴水面宽为4米． 故选：C. 11.如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（　　） A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2 【答案】C 【解析】如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC． ∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK． ∵折叠后是一个三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK， 四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°． 连接AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK(HL)． ∴∠OAD=∠OAK=30°． 设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，∴DE=6-2x， ∴纸盒侧面积=3x(6-2x)=-6x2+18x=-6(x-)2+， ∴当x=时，纸盒侧面积最大为． 故选：C. 12.用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数y=min{x2+1，1-x2}，则y的图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，min{x2+1，1-x2}表示x2+1与1-x2中的最小数，不论x取何值，都有x2+1≥1-x2，所以y=1-x2； 可知当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1； 则函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）． 故选：C. 二、填空题 13.已知二次函数y=2x2-1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是_______. 【答案】x≥0 【解析】∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0，∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y轴， ∴当x≥0时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大． 14.若二次函数y=2x2-4x-1的图象与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，则的值为____________． 【答案】-4 【解析】设y=0，则2x2-4x-1=0，∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2， ∴x1+x2=2，x1•x2=-，∴==-4， 15.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B(m+2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是_____________． 【答案】(-2，0) 【解析】由C(0，c)，D(m，c)，得函数图象的对称轴是x=， 设A点坐标为(x，0)，由A、B关于对称轴对称，对称轴x=，得=，解得x=-2， 即A点坐标为(-2，0). 16.已知二次函数y=(x-2a)2+(a-1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a=-1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是____________． 【答案】y=x-1 【解析】由已知得抛物线顶点坐标为(2a，a-1)， 设x=2a①，y=a-1②， ①-②×2，消去a得x-2y=2，即y=x-1． 17.如图，一段抛物线：y=-x(x-2)(0≤x≤2)记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…，如此进行下去，直至得到C6，若点P(11，m)在第6段抛物线C6上，则m=_______． 【答案】-1 【解析】∵y=-x(x-2)(0≤x≤2)，∴配方可得y=-(x-1)2+1(0≤x≤2)， ∴顶点坐标为(1，1)，∴A1坐标为(2，0)， ∵C2由C1旋转得到，∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为(3，-1)，A2(4，0)； 照此类推可得，C3顶点坐标为(5，1)，A3(6，0)； C4顶点坐标为(7，-1)，A4(8，0)； C5顶点坐标为(9，1)，A5(10，0)； C6顶点坐标为(11，-1)，A6(12，0)； ∴m=-1． 三、解答题 18.已知二次函数y=ax2经过点A（-2，-8）． （1）求二次函数的关系式； （2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上． 【答案】解：（1）把（-2，-8）代入二次函数解析式得-8=4a，即a=-2， 则二次函数解析式为y=-2x2． （2）不在，理由为： 把x=-1代入解析式得y=-2，-2≠-4，则点（-1，-4）不在此抛物线上． 【解析】 19.二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表： （1）求此二次函数的解析式； （2）写出抛物线顶点坐标和对称轴． 【答案】解：（1）把（-2，0），（-1，-5），（0，-8）代入y=ax2+bx+c得， 解得， ∴二次函数的解析式为y=x2-2x-8. （2）∵y=x2-2x-8=（x-1）2-9， ∴抛物线顶点坐标为（1，-9），对称轴为直线x=1． 【解析】 20.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0，-6)，与x轴的一个交点坐标是A(-2，0)． （1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y＜0时，求x的取值范围． 【答案】解：（1）∵把C(0，-6)代入抛物线的解析式得c=-6， 把A(-2，0)代入y=x2+bx-6得b=-1，∴抛物线的解析式为y=x2-x-6． ∴y=(x-)2-． ∴抛物线的顶点坐标D(，-)． （2）二次函数的图形沿x轴向左平移个单位长度得y=(x+2)2-． 令y=0得(x+2)2-=0，解得x1=，x2=-． ∵a＞0，∴当y＜0时，x的取值范围是-＜x＜． 【解析】 21.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点D(0，4)． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的顶点C的坐标； （3）求四边形ACBD的面积. 【答案】解：（1）设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-6)， 把D(0，4)代入得a×(-2)×(-6)=4，解得a=， 所以二次函数的解析式为y=(x-2)(x-6)=x2-x+4. （2）y=(x-2)(x-6)=(x2-8x)+4=(x-4)2-， 所以该抛物线的顶点C的坐标为(4，-). （3）S四边形ACBD=S△ADB+S△ACB=×4×4+×4×=． 【解析】 22.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣2（b是常数）经过点（2，4）．点A的坐标为（m，0），点B在该抛物线上，横坐标为﹣m﹣2．其中m＞0． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当AB⊥y轴时，求点B的坐标； （3）以AB为对角线作矩形AMBN，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随着x的增大而增大时，若此抛物线在矩形内（包括抛物线与矩形各边的交点）的最高点与最低点的纵坐标的差为3时，求m的值； （4）过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC、BO．若四边形AOBC的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点D、点E，线段BO上有一点F使．当以点C、E、O、F（或以点C、D、O、F）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的时，直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】解：（1）抛物线（b是常数）经过点（2，4），∴2+2b﹣2＝4， ∴b＝2，∴抛物线对应的函数表达式为y＝. （2）∵点A的坐标为（m，0），点B在抛物线上，且AB⊥y轴，∴点B在x轴上， ∵点B在该抛物线上，横坐标为﹣m﹣2，∴（﹣m﹣2）2+2（﹣m﹣2）﹣2＝0， ∴m2﹣8＝0，∴m＝±2， ∵m＞0，∴m＝2，∴点B的坐标为. （3）点A和B关于直线x＝﹣1对称，当+2x﹣2＝0时，x1＝，x2＝， 当0＜m≤﹣2+2时，如图1所示， 可得+2m﹣2﹣（﹣4）＝3，解得m＝； 当﹣2+2＜m≤2时，如图2所示， 可得0﹣（＝3，解得m＝， 当时，如图3所示，不符合题意， ∴m＝或m＝. （4）当m＞2时，且＝，如图4所示， ∵＝，∴＝，∴＝， ∵S四边形AOBC＝S△BOC+S△OCA，∴S四边形CFOD＝S△COF+S△OCD，＝， ∴＝，∴＝，∴＝，∴m＝﹣5+5； 当＝时，如图5， 得＝， 设E（a，b），得a＝，b＝，∴×＝×+m﹣2， 解得m＝或m＝ （不合题意，舍去）； 当﹣2+2＜m≤2时，如图6所示， 设E（a，b）， ∵B，E关于x＝﹣2对称，得a＝m﹣2，∴EC＝2﹣m，∴＝， ∴△ECF底边EC边上的高为，∴＝，∴EC×CO＝×OA•OC， ∴（2﹣m）×＝×m，∴m＝1.2， ∴m＝1.2或m＝或m＝﹣5+5． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$