5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学讲义 2025～2026学年上学期高一数学讲义 教材：人教A版高中数学必修第一册 章节：5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 part1 知识清单 知识点01：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点02：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点03：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 知识点04：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 知识点05：降幂公式 ① ② Part2 教材重点例题与习题 1.利用公式证明： ． 【答案】证明：． ．  2.已知，，，是第三象限角，求的值． 【答案】解：由，， 得． 又由，是第三象限角， 得． 所以 ． 3.已知，是第四象限角，求，，的值． 【答案】解：由，是第四象限角， 得， 所以． 所以： ．  4.利用和差角公式计算下列各式的值： ． 【答案】解：由公式，得． 由公式，得． 由公式及，得 ．  5.已知，，求，，的值． 【答案】解：由， 得在第二象限 又， 所以． 于是： ．  6.在中，，，求的值． 【答案】解： 解法在中，由， 得， 所以， ． 又， 所以． 于是． 解法在中，由， 得， 所以． 又， 所以， 所以．  7.利用公式证明：   ． 【答案】证明： ．  8.利用公式求的值． 【答案】解： ．  9.已知，，求的值． 【答案】解：，， ， ．  10.已知，，，，求的值． 【答案】解：由，， 得， 由，， 得， 所以 ．  11.已知，，求的值 已知，是第三象限角，求的值 已知，求的值． 【答案】解：，， ， ． 解：，是第三象限角， ， ． ， ．  12.求下列各式的值： ． 【答案】解：； ； ； ； ； ．  13.化简： 【答案】解：； ； ； ．  【解析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题． 一般根据辅助角公式和两角和与差的三角函数公式的对于，总可以写成，其中，可以找到适当的角，使得，然后逆用两角和差的三角函数公式可以化简为的形式即可 14.已知，是第三象限角，求的值． 【答案】解：因为 ， 所以， 又因为是第三象限角，所以， ．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的值为(    ) A. B. C. D. 2.已知，是第二象限角，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.化简的结果为(    ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，点，在单位圆上，且点在第一象限，横坐标是，将点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为(    ) A. B. C. D. 5.的值等于(    ) A. B. C. D. 6.定义运算，若，，，则等于(    ) A. B. C. D. 7.已知，则(    ) A. B. C. D. 8.已知，，，，则的值是(    ) A. B. C. D. 9.等于(    ) A. B. C. D. 10.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则(    ) A. B. C. D. 11.若，的值为(    ) A. B. C. D. 12.若，则(    ) A. B. C. D. 13.若点在角的终边上，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 14.若则的值是(    ) A. B. C. D. 15.下列说法正确的有(    ) A. ，使 B. ，有 C. ， D. ，有 16.已知，和是方程的两个根，则下列判断正确的是 (    ) A. B. C. D. 17.下列各项中，值等于的是(    ) A. B. C. D. 18.已知，是方程的两个实根，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题 19.          ． 20.          ． 21.已知，则          ；           22.          ． 23.已知，则          ，          ． 24.设，，，，则          ，          ． 25.已知为第二象限角，且，则          ，          ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 26. 利用公式证明：   ． 27.已知，，，是第三象限角，求的值． 28.已知，，，，求的值． 29.在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． 求的值； 求的值． 30.已知，，，求的值． 31.已知，是方程的两根，且，求：及的值． 32.已知，，，是第三象限角． 求的值 求的值． 33.在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题． 已知，，，____，求． 34.已知，为锐角，，． 求的值； 求的值． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  解： ． 故选C． 2.【答案】  解：因为，是第二象限角， 所以， ． 故选B． 3.【答案】  解：原式． 故选：． 4.【答案】  解：点，在单位圆上，且点在第一象限， 设射线对应的角为，横坐标是，故点的纵坐标为， 将点绕原点顺时针旋转到点， 则射线对应的终边对应的角为， 则点的横坐标为． 故选B． 5.【答案】  解：  ． 故选B． 6.【答案】  解：由， 得， 所以． 又， 所以， 所以 ， ， 所以 ， 所以， 故选D． 7.【答案】  解：，   故选C 8.【答案】  解：， ，， ， ． 故选C． 9.【答案】   解： 故选 10.【答案】  解：角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合， 终边上有两点，，且， ，解得， ，， ， 故选：． 11.【答案】  解：， ． 故选：． 12.【答案】  解： ． 故选C． 13.【答案】  解：点在角的终边上， 则，， ． 故选：． 14.【答案】  解：由已知得 又， 所以或． 故选：． 15.【答案】  解：取，A正确，D错误； 取，，C正确； ，B正确． 故选：． 16.【答案】  解：因为和是方程的两个根， 所以， 又 故，解得， 又，则， 故， 又因为和是方程的两个根， 则， 则， 故选ABD． 17.【答案】  解：由题设原式． B.原式． C.原式． D.原式． 故选BD． 18.【答案】  解：因为，是方程的两个实根， 所以得 ，  或 ， ， ． 故选BC． 19.【答案】  解：， 故答案为． 20.【答案】  解：由 ． 故答案为：． 21.【答案】  解：由题意得，， ， ， 故答案为；． 22.【答案】  解： ， 故答案为：． 23.【答案】  解： ， 由，即， 联立，得， 所以， 故答案为：． 24.【答案】  解：，， ，， ， 因为，， ， ， ． 故答案为：  ． 25.【答案】  解：为第二象限角，且， ． 又， ，， ， ． ． ， ， ． 故答案为：；． 26.【答案】证明： ．  27.【答案】解：由，， 得． 又由，是第三象限角， 得． 所以 ． 28.【答案】解：由，， ，， 则， ， 则有 ．  29.【答案】解：角，的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． 所以：，， 由于：，， 所以：， 则：． 由求出，， 由于：，， 所以：，， 所以： ．  30.【答案】解：， ， 即 ， ， ， 则， ，， 又，， 则， 则 ．  31.【答案】解： 、 为方程的两根， ，， ． ，，， ．  32.【答案】解：，，，是第三象限角， ，， ． ，， ．  33.【答案】解：选择条件，． 得， 因为，所以，可得； 所以； 由于，，所以， 所以； 所以 ． 选择条件：， ， 所以； 由于，，所以， 所以； 所以 ． 选择条件：因为，所以，； 由，可得，解得，； 由于，，所以， 所以． 所以 ．  34.【答案】解：因为，所以， 所以或， 又，所以                                 所以；                                 因为，，为锐角， 所以， 所以，                                      ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$