江苏省连云港市灌南县第二中学2024-2025学年高一上学期数学期中模拟试题

灌南县第二中学高一上学期数学期中模拟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 2．若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是（    ） A． B． C．10 D．20 3．下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．“”是“关于的不等式恒成立”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知是定义域为的偶函数，且当时，是增函数.若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值是6 B．正数，满足，则的最大值是64 C．函数的最小值是 D．若，则函数取到最小值时 二、多选题 9．如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    10．关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 11．已知定义在上的函数满足，当时，，，则下面有关结论正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．当时， 三、填空题 12．已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， ． 13．若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ． 14．已知函数，令，则不等式的解集是 四、解答题 15．计算： (1) (2)． 16．（1）设为实数，若函数有且只有唯一零点，求的值． （2）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．设，已知集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 18．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元. (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ (2)现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量. 19．设a，b为实数，定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点. (1)求的解析式； (2)用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B A B D D BD ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据元素与集合的关系可得出或，再结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： （1）若，则，此时，， 此时集合中的元素不满足互异性，舍去； （2）若，即，解得或（舍）， 当时，，合乎题意. 综上所述，. 故选：B. 2．D 【解析】先设直角边a，b，利用面积得，再利用基本不等式可得两条直角边的和的最小值. 【详解】设直角三角形的两条直角边边长为a，b，则，直角三角形的面积为，故，则两条直角边的和，当且仅当时等号成立，故两条直角边的和的最小值是20. 故选：D. 3．A 【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项，利用特殊值法可判断BCD选项. 【详解】因为，，所以，即，所以A正确； 若，，则，所以B错误； 取，，则，所以C错误； 取，，，，则，所以D错误. 故选：A. 4．B 【分析】利用对数的换底公式和对数的运算性质进行运算求解即可． 【详解】， 故选：B． 5．A 【分析】 先由恒成立求出的取值范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，恒成立， 当时，由恒成立，得 ，解得， 所以当时，关于的不等式恒成立， 所以当时，不等式恒成立， 而当不等式恒成立时，有可能， 所以“”是“关于的不等式恒成立”的充分不必条件， 故选：A. 6．B 【分析】根据偶函数的性质，结合函数的单调性，把函数不等式转化成代数不等式求解. 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且当时，是增函数.则当时，是减函数. 所以由. 故选：B 7．D 【分析】设，确定函数为奇函数，代入计算得到答案. 【详解】设，函数定义域为， ，函数为奇函数， ，故， . 故选：D. 8．D 【分析】根据基本不等式的应用，结合选项依次计算即可判断. 【详解】A：， 当且仅当，即时取等号，故A错误； B：正数，满足， 当且仅当，即，时取等号，所以，故B错误； C：当时，， 当且仅当，即时取等号，故C错误； D：当时，， 当且仅当，即时取等号，故D正确． 故选：D． 9．BD 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】根据图中阴影可知：阴影中的元素属于集合但不属于集合，故符合要求， 故选：BD 10．ACD 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得，进而可判断ABC，根据二次函数零点分布即可求解D. 【详解】不等式的解集为或， 故和是方程的两个根， 所以，解得，故A正确， 对于B，可变为，解得或，故B错误， 对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，C正确， 对于D，的不等式可变为， 记由于，故0是的一个整数解， 由于对称轴，要使不等式解集中仅有两个整数，则，故，故D正确， 故选：ACD 11．ABD 【分析】A选项，令，由，可求；B选项，令，得，令得，可得为奇函数；C选项，令，，且，得出即可；D选项，，由，得. 【详解】A选项，中，令得，， 又，故，故A正确； B选项，中，令，得，解得， 中，令得， 即，故为奇函数，B正确； C选项，中，令，，且， 故，即， 当时，，故，即， 故在上单调递增，C错误； D选项，，， 当时，，，故， 又在上单调递增，，所以，D正确. 故选：ABD． 12． 【分析】由奇函数性质先求出，然后结合奇函数定义可求时的函数解析式． 【详解】因为是定义域为的奇函数，当时，， 所以，即，此时， 则当时，，， 所以． 故答案为：． 13． 【分析】根据均值不等式得到，解不等式得到答案. 【详解】，当，即时等号成立. 故，解得. 故答案为：. 14．或 【分析】根据题意求出的解析式，利用分段函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题知，当时， 即，解得：， 此时，； 当，即， 解得：或，此时，； . 由，得： 或或， 解得：或. 故答案为：或. 15．(1) (2)-7 【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则求解即可，解答过程注意避免符号错误； （2）直接利用对数的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误. 【详解】（1） （2） 16．（1） ；（2） ． 【分析】（1）结合二次方程根的存在条件即可求解； （2）先分别求出，对应的范围，然后结合必要不充分条件的定义即可求解． 【详解】（1）若函数有且只有唯一零点，则， 所以； （2）当时，由可得， 由可得或， 若是的必要不充分条件，则，推不出， 则， 故的范围为． 17．(1) (2) 【分析】（1）求出集合，由并集的定义即可得出答案. （2）由“”是“”的必要条件可得，则，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由可得，即，则， 时，. （2）由“”是“”的必要条件可得， 则，则，实数的取值范围是. 18．(1)300 (2)120 【分析】（1）由总成本，得到平均成本，再利用基本不等式求解； （2）引进300台机器人后，求得分段函数的最大值，再除以1200求解. 【详解】（1）每台机器人的平均成本, 当且仅当，即时，等号成立， 所以若使每台机器人的平均成本最低，问应买300台； （2）当时，， ， 当m=30时，300台机器人每日的平均分拣量的最大值为144000件； 当时，300台机器人每日的平均分拣量为件， 所以300台机器人每日的平均分拣量为件， 若传统人工分拣量达到最大值时，则需人数为人. 19．(1) (2)证明见解析，值域为 【分析】（1）根据，函数的图象经过点可求出可得的解析式； （2）用定义证明为R上的增函数即可；并根据的单调性可得获胜在上的值域. 【详解】（1）因为为R上的奇函数， 所以，即，① 又因为函数的图象经过点， 所以,即，② 由①②，可得，，故， ，， 故为奇函数， 所以； （2）任取，，且， 则 ， 因为，所以，又， 所以，所以，故为R上的增函数. 当时，，即， 所以在上的值域为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$