第三章 圆 单元测试2024-2025学年北师大版九年级数学下册

北师大版九年级下册 第三章 圆 单元测试 一、选择题 1.在直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P的半径为2，下列说法正确的是（　　） A.⊙P与x轴、y轴都有两个公共点 B.⊙P与x轴、y轴都没有公共点 C.⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 D.⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 2.如图，∠1是正九边形两条对角线的夹角，则∠1的度数是（　　） A.45° B.54° C.60° D.72° 3.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，D为优弧BC上任意一点，若∠A＝28°，则∠D＝（　　） A.62° B.59° C.56° D.45° 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　） A.60° B.55° C.50° D.45° 5.如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点P，连接BC，AD．若∠C＝30°，则∠ADP的大小为（　　） A.30° B.43° C.53° D.77° 6.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A.80° B.40° C.50° D.70° 7.如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠ADC＝25°，则∠CAB的度数是（　　） A.140° B.130° C.120° D.110° 8.如图，以O为圆心AB为直径的圆过点C，C为弧AB的中点，若AB＝4，则阴影部分面积是（　　） A.π B.2+2π C.2π D.2+π 9.如图，在平面直角坐标系中直线y＝与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为（　　） A.2 B.2 C.3 D. 10.如图，△ABC内接于⊙O，EF为⊙O直径，点F是BC弧的中点，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠AFE的度数（　　） A.10° B.20° C.30° D.40° 11.如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，E，F分别是AB，AC上两点，以EF为直径作圆与BC相切于点D，且DE⊥AB，DF⊥AC．若BD＝4，BE＝3，则AB的长度为（　　） A. B. C.5 D. 12.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为2，则点O到BE的距离OM＝（　　） A. B. C.1 D. 二、填空题 13.已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是 　      　． 14.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在⊙D内，则x的取值范围是________． 15.如图，⊙O与正五边形OABCD的边OA，OD分别交于点E，F，则劣弧所对的圆周角∠EPF的大小为 　  　   ． 16.如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是　    　°． 17.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，连接OD，OE．若AC＝4，则△DOE的面积为 　          　． 三、解答题 18.如图，一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升了10 cm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了多少度？（结果精确到1°） 19.如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E． （1）求证：AB＝AC； （2）求证：DE为⊙O的切线． 20.如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA＝PD，⊙O是△PAD的外接圆．求证：AB是⊙O的切线． 21.如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别是边BC，CD上的点，且CM＝DN，AM与BN交于点Q． （1）求证：△ABM≌△BCN； （2）求∠AQB的度数． 22.如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，E为上一点，且，连接EC交AB于点F，连接AC． （1）求证：∠BAC＝∠ECA； （2）若OM＝3，OC＝5，求FM的长． 北师大版九年级下册 第三章 圆 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.在直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P的半径为2，下列说法正确的是（　　） A.⊙P与x轴、y轴都有两个公共点 B.⊙P与x轴、y轴都没有公共点 C.⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 D.⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 【答案】D 【解析】∵P（2，），圆P的半径为2， ∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切， ∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个． 故选：D． 2.如图，∠1是正九边形两条对角线的夹角，则∠1的度数是（　　） A.45° B.54° C.60° D.72° 【答案】C 【解析】如图，设这个正九边形的外接圆为⊙O， 则∠AOB＝＝40°，∠COD＝2∠AOB＝80°， ∴∠ADB＝∠AOB＝20°，∠CBD＝∠COD＝40°， ∴∠1＝∠ADB+∠CBD＝20°+40°＝60°， 故选：C． 3.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，D为优弧BC上任意一点，若∠A＝28°，则∠D＝（　　） A.62° B.59° C.56° D.45° 【答案】B 【解析】连接OB， ∵AB与⊙O相切于点B， ∴AB⊥OB， ∴∠ABO＝90°， ∵∠A＝28°， ∴∠BOC＝∠A+∠ABO＝28°+90°＝118°， ∴∠D＝∠BOC＝×118°＝59°， 故选：B． 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　） A.60° B.55° C.50° D.45° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°． ∵＝，∠BAC＝25°， ∴∠DCE＝∠BAC＝25°， ∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°． 故选：C． 5.如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点P，连接BC，AD．若∠C＝30°，则∠ADP的大小为（　　） A.30° B.43° C.53° D.77° 【答案】A 【解析】∵∠C＝30°，∠C、∠ADP所对弧都是， ∴∠ADP＝∠C＝30°． 故选：A． 6.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A.80° B.40° C.50° D.70° 【答案】C 【解析】连接OA，OB， ∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠P＝80°， ∴∠AOB＝100°， ∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°， 故选：C． 7.如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠ADC＝25°，则∠CAB的度数是（　　） A.140° B.130° C.120° D.110° 【答案】B 【解析】如图，连接DB， ∵OA⊥BC， ∴＝， ∴∠ADB＝∠ADC＝25°， 则∠CDB＝50°， ∵四边形ACDB为⊙O的内接四边形， ∴∠CDB+∠CAB＝180°， ∴∠CAB＝180°3﹣50°＝130°， 故选：B． 8.如图，以O为圆心AB为直径的圆过点C，C为弧AB的中点，若AB＝4，则阴影部分面积是（　　） A.π B.2+2π C.2π D.2+π 【答案】A 【解析】∵AB是⊙O的直径，C为的中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵AB＝4， ∴OA＝OC＝OB＝2， ∴S△AOC＝S△BOC＝＝2， ∴阴影部分的面积S＝S△COB+S扇形AOC﹣S△AOC＝S扇形AOC＝＝π， 故选：A． 9.如图，在平面直角坐标系中直线y＝与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为（　　） A.2 B.2 C.3 D. 【答案】B 【解析】过O作OM⊥直线AB与M，直线AB交y轴于C， y＝x+， 当x＝0时，y＝， 当y＝0时，x+＝0，解得：x＝﹣， 所以OC＝，OA＝， ∵tan∠CAO＝＝， ∴∠CAO＝30°， ∵OM⊥AC， ∴∠OMA＝90°， ∴OM＝OA＝， 由勾股定理得：AM＝＝＝1， ∵OM⊥AB，OM过圆心O， ∴AM＝BM＝1， ∴AB＝AM+BM＝2． 10.如图，△ABC内接于⊙O，EF为⊙O直径，点F是BC弧的中点，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠AFE的度数（　　） A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】A 【解析】连接AE， ∵EF为⊙O直径， ∴∠EAF＝90°， ∵点F是BC弧的中点， ∴＝， ∵∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝80°， ∴∠BAF＝∠CAF＝40°， ∴∠E＝∠B+∠FAC＝80°， ∴∠AFE＝90°﹣80°＝10°， 故选：A． 11.如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，E，F分别是AB，AC上两点，以EF为直径作圆与BC相切于点D，且DE⊥AB，DF⊥AC．若BD＝4，BE＝3，则AB的长度为（　　） A. B. C.5 D. 【答案】A 【解析】连接AD， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠DEB＝90°， ∴AD为⊙O的直径， ∵BC与⊙O相切于点D， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠DEB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△ADB∽△DEB， ∴， ∵BD＝4，BE＝3， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 12.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为2，则点O到BE的距离OM＝（　　） A. B. C.1 D. 【答案】A 【解析】连接OD，OA，OB， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠AOD＝×360°＝90°， 在△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝4， ∴CD＝AD＝BC＝4， ∵E是CD中点， ∴DE＝CE＝2， 在△BCE中由勾股定理得：BE＝， 由相交弦定理得：CE×DE＝BE×EF， 即2×2＝2EF， ∴EF＝， ∴BF＝+＝， ∵OM⊥BF，OM过圆心O， ∴BM＝FM＝BF＝， 在△BOM中，由勾股定理得：OB2＝OM2+BM2，＝OM2+， 解得：OM＝， 故选：A． 二、填空题 13.已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是 　      　． 【答案】相离 【解析】∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x+1）（x﹣3）＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3， ∴⊙O的半径为r＝3， ∵圆心O到直线l的距离d＝4， ∴d＞r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离； 故答案为：相离． 14.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在⊙D内，则x的取值范围是________． 【答案】3＜x≤5 【解析】连接DB，如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝90°， ∴BD＝＝5， ∵点A和点B有且只有一个点在⊙D内， ∴点A在圆⊙D内，点D在圆⊙D上或圆⊙D外， ∴3＜x≤5． 故答案为3＜x≤5． 15.如图，⊙O与正五边形OABCD的边OA，OD分别交于点E，F，则劣弧所对的圆周角∠EPF的大小为 　  　   ． 【答案】54 【解析】∵五边形OABCD是正五边形， ∴， 即∠EOF＝108°， ∴． 故答案为：54． 16.如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是　    　°． 【答案】70 【解析】如图所示：连接圆心与各切点， 在Rt△DEO和Rt△DFO中 ∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL）， ∴∠1＝∠2， 同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO， ∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8， ∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°， ∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°， ∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°． 17.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，连接OD，OE．若AC＝4，则△DOE的面积为 　          　． 【答案】 【解析】连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即BD⊥AC． ∵AB＝BC， ∴CD＝． 又∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠C＝30°， 又∵DE⊥BC， ∴DE＝． 在Rt△BCD中， cos30°＝， 则BC＝． ∵点D是AC中点，点O是AB中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC，OD＝， ∴∠ODE+∠DEB＝180°． ∴∠ODE＝90°． 则． 故答案为：． 三、解答题 18.如图，一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升了10 cm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了多少度？（结果精确到1°） 【答案】解：∵半径为5 cm,重物上升了10 cm,根据l=,10=, 解得n≈115°, 答：滑轮上某一点P旋转了115度. 【解析】 19.如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E． （1）求证：AB＝AC； （2）求证：DE为⊙O的切线． 【答案】证明：（1）如图1，连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵BD＝DC， ∴AB＝AC； （2）如图2，连接OD， ∵BO＝OA，BD＝DC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE为⊙O的切线． 【解析】 20.如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA＝PD，⊙O是△PAD的外接圆．求证：AB是⊙O的切线． 【答案】证明：连接OP、OA，OP交AD于E，如图， ∵PA＝PD， ∴， ∴OP⊥AD，AE＝DE， ∴∠DAP+∠OPA＝90°， ∵OP＝OA， ∴∠OAP＝∠OPA， ∴∠DAP+∠OAP＝90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠DAP＝∠BAC， ∴∠BAC+∠OAP＝90°， ∴OA⊥AB， ∵OA是半径， ∴直线AB与⊙O相切． 【解析】 21.如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别是边BC，CD上的点，且CM＝DN，AM与BN交于点Q． （1）求证：△ABM≌△BCN； （2）求∠AQB的度数． 【答案】（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠ABC＝∠BCN＝120°，AB＝BC＝CD． ∵CM＝DN， ∴BC﹣CM＝CD﹣DN，即BM＝CN． 在△ABM和△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）； （2）解：由（1）知△ABM≌△BCN， ∴∠BMA＝∠CNB，∠CBN＝∠BAM， 根据多边形内角和公式，得， ∴∠BQM＝180°﹣（∠BMA+∠CBN）＝180°﹣（∠CNB+∠CBN）＝∠BCN＝120°， ∴∠AQB＝180°﹣∠BQM＝60°． 【解析】 22.如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，E为上一点，且，连接EC交AB于点F，连接AC． （1）求证：∠BAC＝∠ECA； （2）若OM＝3，OC＝5，求FM的长． 【答案】（1）证明：∵直径DC⊥AB， ∴＝， ∵， ∴＝， ∴∠BAC＝∠ECA； （2）解：连接AD， ∵CD是圆的直径， ∴∠DAC＝90°， ∵AM⊥CD， ∴∠CAM+∠DAM＝∠D+∠DAM＝90°， ∴∠D＝∠CAM， ∵∠AMC＝∠AND＝90°， ∴△ACM∽△DAM， ∴AM：DM＝CM：AM， ∵OM＝3，OC＝5， ∴MC＝5﹣3＝2， ∵OD＝OC＝5， ∴DM＝OD+OM＝5+3＝8， ∴AM：8＝2：AM， ∴AM＝4（舍去负值）， 令FM＝x，则AF＝4﹣x， 由（1）知：∠BAC＝∠ECA， ∴FC＝AF＝4﹣x， ∵FC2＝FM2+MC2， ∴（4﹣x）2＝x2+22， ∴x＝1.5， ∴FM＝1.5． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$