3.2.2函数的奇偶性（第2课时）（培优教学课件）数学人教A版2019必修第一册

3.2.2 函数的奇偶性 第2课时 第三章 函数的概念与性质 人教A版2019必修第一册·高一 前情回顾 奇偶性 奇函数 偶函数 定义域关于原点对称 图像关于轴对称 定义域关于原点对称 图像关于原点对称 若，则 判断方法 判断函数的奇偶性 形 数 图象对称 f(x)与f(-x) 章节导读 3.1 函数的概念 3.2 函数的性质 3.3幂函数 函数的概念 定义域 值域 解析式 幂函数的定义 幂函数的性质及其应用 函数的表示方法 函数的单调性 函数的最值问题 函数的奇偶性 学 习 目 标 1 2 3 理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小等问题. 掌握结合函数的奇偶性求分段函数解析式的方法. 能运算函数的奇偶性解决含参数(范围)问题. 学习过程 01 03 02 目录 1 单调性与奇偶函数 3 题型训练 2 由奇偶性求函数解析式 新知探究1 探究1 函数图像，分别写出函数的单调区间？ 思考：结合奇偶性，你有什么发现？ ； 增区间。 ； 减区间。 ； 无减区间。 无增区间。 新知探究1 奇函数：奇函数在对称区间的单调性是完全相同的 如果奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-b,-a]上就是单调增函数； 偶函数：偶函数在对称区间的单调性是完全相反的 如果偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-b,-a]上就是单调减函数。 新知1 单调性与奇偶函数 1.单调性与奇偶函数： 奇函数：奇函数在对称区间的单调性是完全相同的。 偶函数：偶函数在对称区间的单调性是完全相反的。 偶 偶 偶 偶 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 偶 偶 奇 一般：不考虑 典例分析 例1 已知函数的局部图像如图，按要求补全函数的图象，并求函数的单调区间？ (1)为偶函数 (2)为奇函数 增区间：[-1,0]，[1,+∞) 减区间：[0,1]，(-∞,-1] 增区间：(-∞,-1]，[1,+∞) 减区间：[-1,0]，[0,1] 典例分析 解：∵函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在R上单调递增，∴f(－1)<f(－0.5)<f(0). 例2 已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)， f(－1)，f(0)的大小关系是（ ） A.f(－0.5)<f(0)<f(－1) B.f(－1)<f(－0.5)<f(0) C.f(0)<f(－0.5)<f(－1) D.f(－1)<f(0)<f(－0.5) B 典例分析 解：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)，f(x)单调递增， 则x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，其图象的几何特征是自变量的 绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π， ∴f(π)>f(－3)>f(－2). 例3 函数f(x)的定义域为R，对任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时， f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是（ ） A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3) C.f(π)<f(－3)<f(－2) D.f(π)<f(－2)<f(－3) A 学习过程 01 03 02 目录 1 单调性与奇偶函数 3 题型训练 2 由奇偶性求函数解析式 新知探究2 探究2 已知是定义在R上的奇函数，当时，， 求的解析式？ 解：∵当时，则 ∵为上的奇函数，∴0； ∴当时， ∴ 新知探究2 探究2 已知函数为上的偶函数，且当时，， 则当时，求此时的解析式？ 解：∵当时，,则 ∵为上的偶函数 ∴当时，. 思考：由这两个例题，总结利用奇偶性求解析式的方法和注意事项？ 都是已知函数在定义域的一半区间上的解析式 新知2 由奇偶性求函数解析式 2.由奇偶性求函数解析式： 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. (2)要利用(相反数)在已知区间的解析式进行代入. (3)结合f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f (x). 注意： (1)定义域也没有0；(2)求部分区间解析式还是整个定义域的解析式。 典例分析 例1 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3， 求f(x)的解析式？ 解：当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0. 典例分析 例2 若f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3， 求当x<0时，f(x)的解析式？ 解：当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3. 即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3. 典例分析 例3 已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1， 当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式？ 解：设x<0，则－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1， 又f(x)在R上为偶函数， ∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1. 学习过程 01 03 02 目录 1 单调性与奇偶函数 3 题型训练 2 由奇偶性求函数解析式 奇偶性和单调性的应用 题型1 题型探究 例1 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减， 若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围？ 解: 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，所以f(x)在[－2,2]上单调递减. 奇偶性和单调性的应用 题型1 题型探究 例2 已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)， 则实数a的取值范围是________. 解: 由偶函数在对称区间单调性相反，且f(x)在(－∞，0] 上单调递增得：离y轴越远函数值越小，则： 由题意可知|a|<3，解得－3<a<3. (－3，3) 奇偶性和单调性的应用 题型1 题型探究 例3 如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5， 那么函数f(x)在区间[1,3]上( ) A.单调递增且最小值为－5 B.单调递增且最大值为－5 C.单调递减且最小值为－5 D.单调递减且最大值为－5 解: ∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1] 上一致且f(1)为最小值， 又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，∴f(1)＝－5. A 奇偶性和单调性的应用 题型1 题型探究 例4 若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2) 从小到大的排列是 _______________ . 解: ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立， 即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立， ∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2. ∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减， ∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0). f(－2)<f(1)<f(0) 函数奇偶性求参问题 题型2 题型探究 解：当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x). 即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1.故a＋b＝0. 例5 已知函数f(x)＝　　　　　　　为奇函数，则a＋b等于（ ） A.－1 B.1 C.0 D.2 c 函数奇偶性求参问题 题型2 题型探究 解：g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6. 例6 设函数f(x)＝ 且f(x)为偶函数，则g(－2)等于（ ） A.6 　　 B.－6 　　 C.2 　　 D.－2 c 函数奇偶性求参问题 题型2 题型探究 解：因为f(－x)＋f(x)＝－ax3－bx＋1＋ax3＋bx＋1＝2， 所以f(－2 022)＋f(2 022)＝2. 又因为f(2 022)＝k，所以f(－2 022)＝2－k. 例7 函数f(x)＝ax3＋bx＋1，若f(2 022)＝k，则f(－2 022)等于（ ） A.k B.－k C.1－k D.2－k D 课堂小结 1.单调性与奇偶函数： 奇函数：奇函数在对称区间的单调性是完全相同的。 偶函数：偶函数在对称区间的单调性是完全相反的。 2.由奇偶性求函数解析式： 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. (2)要利用(相反数)在已知区间的解析式进行代入. (3)结合f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f (x). 感谢聆听! 故f(x)＝ 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于 解得－1≤m<. 所以实数m的取值范围为[－1，) $$