2026年高考数学—轮复习检测卷（北京卷01）2026年高考数学—轮复习讲练测

2026年高考一轮复习检测卷（北京卷01） 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ， 所以. 故选：C 2．已知i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 故选：C． 3．已知椭圆上一点和焦点.轴，若双曲线的一条渐近线经过点，那么双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据椭圆方程可知，焦点坐标为，不妨设焦点F为右焦点， 因为轴，A在椭圆上，假设A点在第一象限，所以A点坐标为. 由题可知，双曲线的渐近线方程为， 又因为双曲线的一条渐近线经过点A，所以代入可知， 所以双曲线的离心率为 故选：C. 4．已知数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项，为的前项和，则（    ） A． B． C．0 D．15 【答案】D 【详解】解：由题意可得，公差， 代入数据可得， 解得， ． 故选：． 【点睛】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属于基础题． 5．下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由，所以函数为奇函数， 因为函数为上的增函数，函数为上的减函数， 所以函数为上的增函数， 对于A，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，， 因为，所以函数不是奇函数，A错误； 对于B，设，则， 故函数不是其定义域上的增函数，B错误； 对于C，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数，C错误； 对于D，设，则的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以函数为奇函数， 又函数为上的增函数，D正确； 故选：D. 6．已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，到的距离为， 故，解得， 满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立， 经过定点， 若，，若，此时直线， 直线与相切，另一条切线斜率不存在， 故满足存在唯一k使得直线l与相切”， 当在上，满足存在唯一k使得直线l与相切， 故， 又，解得，必要性不成立， 故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件. 故选：A 7．已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由指数函数的单调性可知在上单调递增， 又，所以，故正确； 因为，， 所以， 又，所以上式取不到等号，所以，故正确； ，， ，，，故错误； ，，故正确. 故选：C. 8．已知的最大值是2，则在中的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：根据辅助角公式可得 ，其中. 由的最大值为2可得,解得. ∴ . ∵，∴. ∴当，即时，取得最大值. 故 . 故选:C. 9．噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ） 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60-90 混合动力汽车 10 50-60 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，所以， ，所以， ，故C错误； 则有， 因为， 可得，故A错误； 因为，，则， 所以，故B错误; ， 所以，故D正确. 故选：D. 10．在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为圆心，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于所以， 由于点在，不妨设 ，, ，其中， , 所以， 可看作是上的点到点的距离， 由于点在线段上运动， 故当点运动到点时，此时距离最大，为, 当点运动到点时，此时距离最小为0， 综上可知：， 故选：A    第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11．已知点，过抛物线．上一点P作的垂线，垂足为B，若，则 ． 【答案】7 【详解】 设，， 可得， ， 由，带入可得：， 所以， 故答案为：7. 12．若，则 ， ；（用数字作答） 【答案】 【详解】由， 令得， 令得. ，所以. 故答案为：； 13．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则 ， ． 【答案】 【详解】∵角与角的终边关于轴对称， ∴， ∴， 又，且， ∴ ． 故答案为：；. 14．如图，正方体，则下列四个结论中: ①点在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变; ②点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变; ③点在直线上运动时，二面角的大小不变; ④点在直线上运动时，三棱锥的体积不变. 所有正确结论的序号是 . 【答案】③④ 【详解】如图，以为原点，建立如图空间直角坐标系.不妨设. 则,，，，，. 所以，， 因点在直线上运动，那么，则. 则 对①：因为 不是定值，故①错误； 对②：易知为平面的法向量， 不是定值，故②错误； 对③：设平面的法向量为：. 则 ，令，则. 又平面的法向量为，所以二面角的大小不随点在上的运动而改变，故③正确； 对④：因为，因为的面积为定值， 又，平面，平面，所以平面. 所以当点在直线上运动时，点到平面的距离，即三棱锥的高不变，所以三棱锥的体积不变，故④正确. 故答案为：③④ 【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量分析角、距离，应该是最容易想到的方法. 15．设函数给出下列四个结论：     ①当时，函数在上单调递减； ②若函数有且仅有两个零点，则； ③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为； ④已知点，函数的图象上存在两点，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】当时，时，，故在上不是单调递减，①错误； 对于②，当显然不成立，故， 当时，令，即，得，，要使有且仅有两个零点，则，故，②正确， 对于③, 当时,,此时在单调递减，在单调递增，如图：    若，由，故，所以的取值范围为；③正确 对于④,由①③可知：时，显然不成立,故， 要使，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上， 则只需要的图象与有两个不同的交点，如图：    故， ， 由对称可得， 化简可得，故， ，化简得 所以 由于均大于0，所以，， 因此 由于，为单调递增函数，且， 此时，因此，④正确， 故答案为：②③④ 【点睛】方法点睛：函数零点问题常用的方法和思路 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程. 16．（13分）在中，. (1)求； (2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）方法一：在中，因为， 所以由正弦定理可得. 因为，所以. 所以. 在中，， 所以，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理 得， 整理得 所以，所以. （2）选条件②：由（1）知 因为在中，，所以 又，所以 所以 设边上高线的长为h，则 . 选条件③： 因为 所以， 由余弦定理得 所以. 设边上高线的长为h，则 17．（13分）如图，已知菱形的边长为，，.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥. （Ⅰ）若点是棱的中点，求证:平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论. 【答案】（Ⅰ）见试题解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在. 【详解】试题分析：（Ⅰ）要证平面，可先证；（Ⅱ）由两两垂直，可建立空间坐标系，求出平面的法向量为 ，平面的法向量为，再利用求得二面角的余弦值为；（Ⅲ）设，由及，可求得. 试题解析：（Ⅰ）证明：因为点是菱形的对角线的交点， 所以是的中点.又点是棱的中点， 所以是的中位线，. 因为平面，平面， 所以平面. （Ⅱ）解：由题意，， 因为， 所以，. 又因为菱形，所以，. 建立空间直角坐标系，如图所示. . 所以 设平面的法向量为 ， 则有，即 ： 令，则，所以 . 因为，所以平面. 平面平面的法向量与平行， 所以平面的法向量为. ， 因为二面角是锐角， 所以二面角的余弦值为. （Ⅲ）解：因为是线段上一个动点，设，， ， 所以 由得，即 ， 解得或， 所以点的坐标为（0，1，2）或. 考点：1.空间中线面位置关系；2.二面角. 18．（14分）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 (1)估计软件能正确解答数学问题的概率； (2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，几何1道；使用软件解答2道函数试题，使用软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示3道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望； (3)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为．假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3)答案见解析 【详解】（1）记软件能正确解答数学问题为事件， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得． （2）解法一：使用软件解答函数试题正确的概率为， 使用软件解答几何试题正确的概率为； 的可能取值为0、1、2、3， ， ， ， ， 则其分布列为： 0 1 2 3 其期望为：； 解法二：函数试题用软件解答，几何试题用软件解答． 用、分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数， 因为，， 0 1 2 0 1 的可能取值为0、1、2、3， ，， ，， 则其分布列为： 0 1 2 3 由二项分布的期望公式可得， 因为，相互独立，则 ． （3）小明应该使用软件来解决这道试题． 记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件． 则，，， ，，， 由全概率公式可得 ． ． 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小明应该使用软件来解决这道试题． 19．（15分）已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）由题意知，，则①， 又因点在上， 所以②，联立①、②式可得， 解之可得，，所以椭圆方程为. （2）(i)由题意知，直线的斜率一定存在， 设其方程为，根据题意可知，如图所示， 令，则，即点坐标为， 设点到直线的距离为， 又因是的中点，所以点到直线为， 又因与的面积之比为1∶2， 所以，所以， 即点是的中点，所以可得点坐标为， 又因点在椭圆上，所以， 解之可得，所以点坐标为； (ii)设，，直线的方程为， 其中，则， 联立，可得， 根据韦达定理可知，因为， 所以，所以， ， 设直线的方程为，其中， 同理可得， 所以 ， 所以为定值. 20．（15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的极值； (3)当时，判断零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)，无极小值 (3)当时有一个零点，当时无零点 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，且， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减， 又， 所以当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. （3）令，即， 因为，所以， 令， 所以判断的零点个数，即判断的零点个数， 又，， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 令，， 则，因为，所以， 所以在上单调递减， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当时有一个零点，即有一个零点， 当时无零点，即无零点， 综上可得当时有一个零点，当时无零点. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为，利用导数求出，再构造函数，. 21．（15分）已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数. (1)当，时，写出的所有可能值； (2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项； (3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）由，， 若，则，即，此时， 当，则，即； 当，则，即； 若，则，即，此时， 当，则，即； 当，则，即（舍）； 综上，的所有可能值为. （2）由（1）知：，则， 数列中的项存在最大值，故存在使，， 由， 所以，故存在使， 所以0为数列中的项； （3）不存在正实数，使得对任意的正整数，都有.理由如下. 因为，所以 . 设集合. ①若，则. 对任意，取(其中表示不超过的最大整数)， 则当时， . ②若，且为有限集， 设，则. 对任意，取(其中[x]表示不超过的最大整数)， 则当时， ③若，且为无限集， 设. 若，则.又，矛盾. 所以. 记. 当时， . 因为，所以 当时， . 因为，所以 所以. 因为， 所以 所以，且. 对任意， 取(其中[x]表示不超过的最大整数)，则当时， 综上，不存在正实数，使得对任意的正整数，都有. 【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定 ，并构造集合，讨论、研究存在性. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考一轮复习检测卷（北京卷01） 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．已知椭圆上一点和焦点.轴，若双曲线的一条渐近线经过点，那么双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项，为的前项和，则（    ） A． B． C．0 D．15 5．下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（    ）． A． B． C． D． 6．已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．已知的最大值是2，则在中的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 9．噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ） 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60-90 混合动力汽车 10 50-60 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 10．在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11．已知点，过抛物线．上一点P作的垂线，垂足为B，若，则 ． 12．若，则 ， ；（用数字作答） 13．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则 ， ． 14．如图，正方体，则下列四个结论中: ①点在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变; ②点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变; ③点在直线上运动时，二面角的大小不变; ④点在直线上运动时，三棱锥的体积不变. 所有正确结论的序号是 . 15．设函数给出下列四个结论：     ①当时，函数在上单调递减； ②若函数有且仅有两个零点，则； ③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为； ④已知点，函数的图象上存在两点，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程. 16．（13分）在中，. (1)求； (2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17．（13分）如图，已知菱形的边长为，，.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥. （Ⅰ）若点是棱的中点，求证:平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论. 18．（14分）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 (1)估计软件能正确解答数学问题的概率； (2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，几何1道；使用软件解答2道函数试题，使用软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示3道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望； (3)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为．假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 19．（15分）已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 20．（15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的极值； (3)当时，判断零点个数，并说明理由． 21．（15分）已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数. (1)当，时，写出的所有可能值； (2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项； (3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$