第七章 统计案例-【突破课堂】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步单元达标检测卷（北师大版）

密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 高中同步达标检测卷 第七章　统计案例 (全卷满分150分　考试用时120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.对两个变量x,y的三组数据进行统计,得到以下散点图,关于两个变量相关系数的比较,正确的是(　　) A.r1>r2>r3 B.r2>r3>r 1 C.r1>r3>r2 D.r3>r2>r1 2.某村庄对该村内的50名老年人和年轻人每年是否体检的情况进行了调查,统计数据如表所示: 每年体检 不是每年都体检 总计 老年人 a 7 c 年轻人 6 b d 总计 e f 50 已知抽取的老年人、年轻人各25名,则对列联表数据的分析错误的是(　　) A.a=18 B.b=19 C.c+d=50 D.f-e=-2 3.已知变量x和y的统计数据如下表: x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 根据上表可得线性回归方程,据此可以预测当x=15时,=(　　) A.7.8 B.6.5 C.9.6 D.8.2 4.假设有两个分类变量X与Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表为 X Y y1 y2 合计 x1 10 18 28 x2 m 26 m+26 合计 10+m 44 m+54 则当整数m取　　　时,X与Y的关系最弱(　　)  A.8 B.9 C.14 D.19 5.为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理与性别的关系,随机调查了100名高一学生,得到2×2列联表如下: 选择物理 不选择物理 总计 男 35 20 55 女 15 30 45 总计 50 50 100 由此得出的正确结论是(　　) A.有99%的把握认为“是否选择物理与性别有关” B.有99%的把握认为“是否选择物理与性别无关” C.有99.9%的把握认为“是否选择物理与性别有关” D.有99.9%的把握认为“是否选择物理与性别无关” 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 6.某手机商城统计了1~5月某品牌手机的实际销售量,如下表所示: 时间x/月 1 2 3 4 5 销售量y/万部 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若y与x线性相关,且线性回归方程为,则下列说法不正确的是(　　) A.样本点的中心为(3,1.0) B.由表中数据可知,变量y与x正相关 C.=0.28 D.预测x=7时该品牌手机的销售量为1.86万部 7.在对具有线性相关关系的两个变量x和y进行统计分析时,得到如表所示的数据: x 4 m 8 10 12 y 1 2 3 5 6 由表中数据求得y关于x的回归方程为=0.65x-1.8,则(4,1),(m,2),(8,3)这三个样本点中,距离回归直线最近的点是(　　) A.(4,1) B.(m,2) C.(8,3) D.(4,1)或(m,2) 8.在某活动现场,为了解不同时段的入口游客人流量,从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量,以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据(i,yi),其中i=1,2,3,4,5,yi为第i次入口人流量数据(单位:百人),由此得到y关于i的回归方程为log2(i+1)+5.已知=9,根据回归方程,预测下午4点时入口游客的人流量数据(单位:百人)为(参考数据:log23≈1.6,log25≈2.3)(　　) A.9.6 B.11.0 C.11.3 D.12.0 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.某厂近几年陆续购买了几台A型机床,该型机床已投入生产的时间x(单位:年)与当年所需要支出的维修费用y(单位:万元)有如下统计数据: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得y关于x的线性回归方程为,则(　　) A.y与x的样本相关系数r>0 B.=0.08 C.表中维修费用的第60百分位数为6 D.该型机床已投入生产的时间为10年时,当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 10.某中学为了研究高三年级学生的身高和性别的相关性问题,从高三年级800名学生中随机抽取200名学生测量身高,测量数据的列联表如下: 性别 身高 低于170 cm 不低于170 cm 总计 女 80 16 96 男 20 84 104 总计 100 100 200 下列说法正确的有(　　) A.该样本是由分层随机抽样而得 B.该中学高三年级学生身高最高的是男生 C.有99.9%的把握认为该中学高三年级学生的身高与性别有关 D.若该样本中男生身高h(单位:cm)服从正态分布N(175,25),则该样本中身高在区间(175,180]内的男生超过30人 附:① χ2=,其中n=a+b+c+d. ②若X~N(μ,σ2),则随机变量X的取值落在区间(μ-σ,μ+σ]上的概率约为68.3%. 临界值表: P(χ2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 11.某农科所针对耕种深度x(单位:cm)与水稻每公顷产量y(单位:t)的关系进行研究,所得部分数据如下表: 耕种深度x/cm 8 10 12 14 16 18 每公顷产量y/t 6 8 m n 11 12 已知m<n,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为)2=24,数据在样本(12,m),(14,n)处的残差分别为ε1,ε2(残差=观测值-预测值).则(　　) 参考数据:两个变量x,y之间的相关系数r=; 参考公式:. A.m+n=17 B. C. D.ε1+ε2=-1 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.某市大力发展科技创新,其科技创新投入资金x(单位:百万元)与回报资金y(单位:百万元)满足一元线性回归模型+e,已知投入200万元时,回报450万元,且每多投入100万元,回报资金多130万元.若2025年该市计划科技创新投入350万元,则预估回报资金为　　　　万元.  13.某单位为了调查对工作的满意程度与性别是否具有相关性,随机抽取了若干名员工,所得数据统计如表所示,其中x∈N+,且x<16,若有90%的把握可以认为对工作的满意程度与性别具有相关性,则x的值是　　　　.  对工作满意 对工作不满意 男性 5x 5x 女性 4x 6x 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 14.某网购公司统计了近5年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据:(其中“x=1”表示2020年,“x=2”表示2021年,且x为整数,依次类推;y表示人数) x 1 2 3 4 5 y/万人 20 50 100 150 180 根据表中的数据,可以求出=42,若预测该公司的网购人数能超过300万,则x的最小值为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)某学校对高三(1)班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩进行统计,得到如下数据:数学成绩的方差为=10,化学成绩的方差为=500 500,其中xi,yi(i∈N且1≤i≤50)分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩,y关于x的线性回归方程为. (1)求x与y的样本相关系数r; (2)从概率统计规律来看,本次考试高三(1)班学生的数学成绩η服从正态分布N(μ,σ2),用样本平均数作为μ的估计值,用样本方差作为σ2的估计值.试估计该校800名高三学生中,数学成绩位于区间(96.84,106.32]的人数. 附:①线性回归方程x中,; ②样本相关系数r=; ③若η~N(μ,σ2),则P(μ-σ<η≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ<η≤μ+2σ)≈0.95; ④≈3.16. 16.(15分)2024年6月25日14时07分,嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域,工作正常,标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功,实现世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况,随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查,调查结果如下表: 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 (1)完成上述列联表,依据该统计数据判断,能否有99%的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关; (2)为了激发同学们对探月工程的关注,该校举办了一次探月知识闯关比赛,比赛有两个答题方案可供选择: 方案一:回答4个问题,至少答对3个问题才能晋级; 方案二:在4个问题中随机选择2个问题作答,都答对才能晋级. 已知振华同学答对这4个问题的概率分别为,他回答这4个问题正确与否相互独立,则振华选择哪种方案晋级的可能性更大? 附: χ2=. P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17.(15分)电机与变压器中绕组常用的绝缘材料的耐热等级根据绝缘耐温(绝缘材料的极限允许工作温度)分为如下7个级别: 耐热等级 Y A E B F H C 绝缘耐温/℃ [90, 105) [105, 120) [120, 130) [130, 155) [155, 180) [180, 200) [200, 230) 某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响,分别从采用两种工艺生产的产品中各随机抽取50件,测量各件产品的绝缘耐温(单位:℃),其频率分布直方图如下: 甲 乙 (1)若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件,估计其中耐热等级达到C级的产品数; (2)若规定产品耐热等级达到C级为合格,除此之外均为不合格.完成以下表格,并判断是否有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关. 合格 不合格 甲 乙 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥k) 0.25 0.15 0.10 0.05 k 1.323 2.072 2.706 3.841 18.(17分)抽球试验规则如下:盒子中初始装有1个白球和2个红球,每次有放回地任取1个,连续取两次,将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的2个球都是白球,则记该轮为成功,否则记为失败.在抽取过程中,如果某一轮成功,则停止;否则,在盒子中再放入一个红球,然后接着进行下一轮抽球,如此继续下去,直至成功. (1)某人进行该抽球试验时,最多进行三轮,即使第三轮不成功,也停止抽球,记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望; (2)为验证抽球试验成功的概率不超过,有1 500名数学爱好者独立进行该抽球试验,记t表示成功时抽球试验的轮次数,y表示对应的人数,部分统计数据如表所示: t 1 2 3 4 5 y 256 100 66 48 30 求y关于t的回归方程,并预测成功的总人数(精确到1). 参考公式:在线性回归方程中,. 参考数据:≈1.46,≈0.46,≈0.212其中xi=xi. 19.(17分)某大型企业对F产品进行研发与创新,根据市场调研与模拟,得到研发投入x(单位:亿元)与研发创新的直接收益y(单位:亿元)的数据统计如下: x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66 当0<x≤17时,建立了y与x的两个回归模型:模型①=4.1x+11.8;模型②-14.4.当x>17时,确定y与x满足的线性回归方程为. (1)根据下列表格中的数据,比较当0<x≤17时,模型①和②的决定系数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测该企业对产品研发的投入为17亿元时的直接收益; 回归模型 模型① 模型② 回归方程 =4.1x+11.8 -14.4 )2 182.4 79.2 (2)为鼓励科技创新,当研发的投入不少于20亿元时,国家给予该企业补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较研发投入17亿元与20亿元时该企业实际收益的大小; (3)研发改造后,该企业F产品的效率X大幅提高,已知X服从正态分布N(0.52,0.012),该企业对研发团队的奖励方案如下:若F产品的效率不超过50%,不予奖励;若F产品的效率超过50%但不超过53%,每件F产品奖励2万元;若F产品的效率超过53%,每件F产品奖励5万元.求每件F产品获得奖励的数学期望(保留两位小数). 附:①决定系数R2=1-,R2越大,说明拟合效果越好;②中,;③若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4;④≈4.1. 答案与解析 第七章　统计案例 1.C　由散点图可知图1表示的是正相关,故r1>0;图2和图3表示的是负相关,且图2中的点比图3中的点分布更为集中,因此r2<0,r3<0,且|r2|>|r3|,所以r2<r3<0. 综上,r1>r3>r2. 2.D　由已知得a+7=c=25,6+b=d=25,a+6=e,7+b=f,e+f=50,c+d=50, 所以a=18,b=19,e=24,f=26,f-e=2. 3.D　根据题表中的数据得=4, ∴=0.7x-2.3, 当x=15时,=0.7×15-2.3=8.2. 4.C　在两个分类变量的列联表中,当|ad-bc|的值越小时,认为两个分类变量有关的可能性越小.令|ad-bc|=0,得10×26=18m,解得m≈14.4,又m为整数,所以当m=14时,X与Y的关系最弱. 5.A　因为χ2=≈9.09>6.635,所以有99%的把握认为“是否选择物理与性别有关”. 6.D　由题表中的数据得,=1.0,则样本点的中心为(3,1.0),故A中说法正确; 由题表中的数据可得,y随着x的增大而增大,所以变量y与x正相关,故B中说法正确; 将(3,1.0)代入,得=0.28,故C中说法正确; 由选项C可知线性回归方程为=0.24x+0.28, 将x=7代入=0.24x+0.28,得=0.24×7+0.28=1.96,故D中说法不正确. 7.B　由题表中的数据,可得×(1+2+3+5+6)=3.4, 将代入=0.65x-1.8,得3.4=0.65×-1.8,解得m=6. 当x=4时,=0.65×4-1.8=0.8,1-0.8=0.2; 当x=6时,=0.65×6-1.8=2.1,2.1-2=0.1; 当x=8时,=0.65×8-1.8=3.4,3.4-3=0.4. 因为0.1<0.2<0.4,所以(4,1),(6,2),(8,3)这三个样本点中距离回归直线最近的点是(6,2),即(m,2). 8.C　设x=log2(i+1),i=1,2,3,4,5,则x+5, ≈=1.9,又=9,所以9=×1.9+5,得, 所以log2(i+1)+5, 下午4点对应的i=7,预测此时入口游客的人流量数据(单位:百人)为×log28+5≈11.3. 9.ABC　根据题表中的数据可得=5, 所以样本中心点为(4,5). 对于A,由题表中的数据可得y随着x的增大而增大,所以y与x正相关,所以样本相关系数r>0,故A正确; 对于B,将(4,5)代入方程,得=0.08,故B正确; 对于C,维修费用从小到大依次为2.2,3.8,5.5,6.5,7,则第60百分位数为=6,故C正确; 对于D,由B知=1.23x+0.08,当x=10时,=12.3+0.08=12.38,故所需要支出的维修费用大概是12.38万元,故D错误. 10.CD　对于A,由已知信息不能确定样本是不是由分层随机抽样而得,故A错误;对于B,没有给出具体的身高数据,所以不能推出该中学高三年级学生身高最高的是男生,故B错误;对于C, χ2=≈82.05>10.828,所以有99.9%的把握认为该中学高三年级学生的身高与性别有关,故C正确;对于D,因为σ2=25,所以σ=5,所以P(175<h≤180)=P(170<h≤180)≈×68.3%=34.15%,104×34.15%=35.516≈36(人),即该样本中身高在区间(175,180]内的男生超过30人,故D正确. 11.ABD　∵=24, ∴=9,∴m+n=17,因此A正确; 由题表数据得=13, ∴r=)=40, ∴, ∴, 则ε1+ε2=m-=m+n-18=17-18=-1,因此B,D正确,C错误. 12.答案　645 解析　由题意得,当x=2时,=4.5,故4.5=2+e. 又每多投入100万元,回报资金多130万元,故=1.3,则+e=1.9, 所以=1.3x+1.9,当x=3.5时,=1.3×3.5+1.9=6.45,故预估回报资金为645万元. 13.答案　14或15 解析　根据题表中数据可得χ2=,由已知得≥2.706,解得x≥13.394 7, 因为x∈N+,且x<16,所以x=14或x=15. 14.答案　8 解析　由已知得,=100, 将(3,100)代入线性回归方程,得100=42×3+,解得=-26,则=42x-26, 令42x-26>300,可得x>≈7.76, 因为x为整数,所以x的最小值为8. 15.解析　(1)因为=8, 所以=400,(3分) 又=0.4, 所以)=200,(5分) 所以r=.(7分) (2)因为=500 500, 所以500 500-50=500,解得=100,即μ=100, 因为σ2=10,所以σ≈3.16,(10分) 所以数学成绩η服从正态分布N(100,10), 则P(96.84<η≤106.32)=P(μ-σ<η≤μ+2σ) =P(μ-σ<η≤μ+σ)+P(μ-2σ<η≤μ+2σ) ≈×0.95=0.815,(12分) 所以该校高三学生中数学成绩位于区间(96.84,106.32]的大约有800×0.815=652人.(13分) 16.解析　(1)列联表如下: 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 故χ2==9>6.635,(5分) 所以能有99%的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关.(7分) (2)记这4个问题分别为a,b,c,d,振华答对a,b,c,d的事件分别为A,B,C,D,按方案一、二晋级的概率分别为P1,P2,(8分) 则P1=P(ABCBCD)+P(ABCD) =,(11分) P2=P(CD) =,(14分) 因为,所以振华选择方案一晋级的可能性更大.(15分) 17.解析　(1)由题中的频率分布直方图知,采用甲工艺生产的产品中,耐热等级达到C级的频率为(0.06+0.02)×10=0.8,(3分) ∴估计10月份采用甲工艺生产的产品中,耐热等级达到C级的产品为65×0.8=52(万件).(6分) (2)由题中的频率分布直方图知,采用甲工艺生产的产品中,耐热等级达到C级的为50×0.8=40(件),则未达到C级的为10件;(9分) 采用乙工艺生产的产品中,耐热等级达到C级的为50×(0.02+0.04)×10=30(件),则未达到C级的为20件.(12分) 由此可得表格如下: 合格 不合格 甲 40 10 乙 30 20 ∴χ2=≈4.762>3.841,(14分) ∴有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关.(15分) 18.解析　(1)记事件A1表示“第一轮成功”,事件A2表示“第一轮失败”, 则P(A1)=; 记事件B1表示“第二轮成功”,事件B2表示“第二轮失败”, 则P(B1)=; 记事件C1表示“第三轮成功”,事件C2表示“第三轮失败”, 则P(C1)=,(3分) 由题意可知X的可能取值为1,2,3, 则P(X=1)=P(A1)=, P(X=3)=P(A2)P(B2)=,(6分) 所以X的分布列为 X 1 2 3 P EX=1×.(8分) (2)xi=(i=1,2,3,4,5),由题知,=100, ×30=346, 则≈=290, ≈100-290×0.46=-33.4,(11分) 所以=290x-33.4,则-33.4. 当t=6时,-33.4≈15;当t=7时,-33.4≈8; 当t=8时,-33.4≈3;当t=9时,-33.4≈-1<0, 根据反比例函数的单调性,易知当t≥9时,<0,(15分) 而256+100+66+48+30+15+8+3=526, 故预测成功的总人数为526.(17分) 19.解析　(1)由题表得182.4>79.2,即,所以模型①的决定系数小于模型②的决定系数,说明模型②的拟合精度更高、更可靠.(3分) 当x=17时,-14.4≈21.3×4.1-14.4=72.93, 所以预测该企业对产品研发的投入为17亿元时的直接收益为72.93亿元.(5分) (2)当x>17时,由已知得=7.2,所以=67.2, 所以=67.2+0.7×23=83.3,(8分) 所以当x>17时,y与x满足的线性回归方程为=-0.7x+83.3. 当x=20时,=-0.7×20+83.3=69.3. 所以当x=20时,实际收益的预测值为69.3+10=79.3(亿元), 因为79.3>72.93, 所以研发投入20亿元时该企业的实际收益更大.(12分) (3)因为P(0.52-0.02<X≤0.52+0.02)≈0.954 4, 所以P(X>0.50)≈0.5+=0.977 2,所以P(X≤0.50)=1-P(X>0.50)=0.022 8, 因为P(0.52-0.01<X≤0.52+0.01)≈0.682 6, 所以P(X>0.53)≈0.5-=0.158 7, 所以P(0.50<X≤0.53)=0.977 2-0.158 7=0.818 5.(15分) 设每件F产品获得的奖励为Y万元,则Y的分布列为 Y 0 2 5 P 0.022 8 0.818 5 0.158 7 所以EY=0×0.022 8+2×0.818 5+5×0.158 7≈2.43(万元).(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$