第六章 概率-【突破课堂】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步单元达标检测卷（北师大版）

密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 高中同步达标检测卷 第六章　概率 (全卷满分150分　考试用时120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.若随机变量X的分布列如下表所示,则a的值为(　　) X 1 2 3 P 0.2 a 3a A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P=(　　) A. B. C. D. 3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2<X≤4)≈0.682 6,则P(X>4)≈(　　) A.0.158 8 B.0.158 7 C.0.158 6 D.0.158 5 4.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=(　　) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 5.在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球,其中白球7个,黑球3个.现从中不放回地依次随机摸出两个球,已知第二次摸出的是黑球,则第一次摸出的是白球的概率为(　　) A. B. C. D. 6.现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子来决定去参加篮球或乒乓球的体育活动,掷出点数为1或2的人去参加篮球活动,掷出点数大于2的人去参加乒乓球活动.用X,Y分别表示这4个人中去参加篮球和乒乓球活动的人数,记ξ=|X-Y|,则随机变量ξ的数学期望Eξ为(　　) A. B. C. D. 7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,采用三局两胜的比赛制度,规定每局比赛都没有平局(必须分出胜负),若每一局甲赢的概率都是p,且0<p<,记随机变量X表示最终的比赛局数,则(　　) A.EX= B.EX> C.DX> D.DX< 8.随着经济的不断发展,城市的交通问题越来越严重,为倡导绿色出行,某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2,0.3,0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91,骑共享单车上班不迟到的概率为0.92,乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93,则某天小明上班迟到的概率是(　　) A.0.24 B.0.14 C.0.067 D.0.077 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.在某市举行的一次期末质量检测中,经抽样分析,该市某学校的数学成绩X近似服从正态分布N(86,σ2),且P(82<X≤86)=0.3.已知该校有1 000人参加此次考试,则(　　) A.P(X≥90)>P(X≤82) B.P(82<X<90)=0.6 C.估计成绩不低于90分的有200人 D.估计成绩不低于86分的有300人 10.已知随机事件A,B相互独立,且P(A)=,则(　　) A.P(B)= B.P(AB)= C.P( D.P(A+ 11.一个不透明的箱子中装有5个小球,其中白球3个,黑球2个,小球除颜色不同外,材质大小全部相同,现投掷一枚质地均匀的硬币,若硬币正面朝上,则从箱子里抽出一个小球且不再放回;若硬币反面朝上,则不抽取小球;重复该试验,直至小球被全部取出,假设试验开始时,试验者手中没有任何小球,则下列说法正确的有(　　) A.经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球、1个黑球的概率为 B.若第一次试验抽到一个黑球,则第二次试验后,试验者手中有黑、白球各1个的概率为 C.经过7次试验后试验停止的概率为 D.经过7次试验后试验停止的概率最大 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.某工厂有四条流水线生产同一种产品,已知这四条流水线的产量依次为30 000只、40 000只、60 000只和70 000只,这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97和0.98,则从该厂生产的产品中任取一件,抽到不合格品的概率是　　　　.(结果用小数表示)  13.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球,且均各自标号为1,2,3,分别从两个盒子中随机取一个球,用X表示两球上的数字之积,则D(2X-1)=　　　　.  14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的,其内容是:对于任一随机变量X,若其数学期望EX和方差DX均存在,则对任意正实数ε,有P(|X-EX|<ε)≥1-.根据该不等式可以对事件|X-EX|<ε的概率做出估计.在数字通信中,信号是由数字“0”和“1”组成的序列,现连续发射信号n次,每次发射信号“0”和“1”都是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X,为了至少有98%的把握使发射信号“1”的概率在区间(0.4,0.6)内,估计信号发射次数n的最小值为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)某自助餐厅为了鼓励消费,设置了一个抽奖箱,箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张,每张奖券的形状都相同,每位顾客可以从中任取2张奖券,最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算. (1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣不相同的概率; (2)若自助餐的原价为100元/位,记一位顾客最终结算时的价格为X元,求X的分布列及数学期望EX. 16.(15分)某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的影响力,对运动员进行数据分析.统计以往多场比赛,运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置时,其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示. 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.3 0.2 0.2 0.3 比赛获胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 (1)当甲出场比赛时,求该运动队获胜的概率; (2)当甲出场比赛时,在该运动队获胜的条件下,求甲跑第一棒的概率; (3)如果某场比赛该运动队获胜,求在该场比赛中甲最可能是第几棒. 17.(15分)为了解某中学高一年级学生身体素质情况,对高一年级(1)班~(8)班学生的身体素质情况进行了抽测,采取如下方式抽样:每班各随机抽10名学生进行身体素质监测.经统计,各班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数的散点图如下(x轴表示对应的班号,y轴表示对应的优秀人数). (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况,从高一年级学生中任意抽测1人,试估计该学生身体素质监测成绩达到优秀的概率; (2)若从高一(2)班抽测的10人中随机抽取2人,从高一(4)班抽测的10人中随机抽取1人,设X表示这3人中身体素质监测成绩达到优秀的人数,求X=2时的概率; (3)假设每个班学生身体素质监测成绩优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质监测成绩优秀率相等.现在从每班分别随机抽取1名同学,用“ξk=1”表示第k班抽到的这名同学身体素质监测成绩优秀,“ξk=0”表示第k班抽到的这名同学身体素质监测成绩不是优秀(k=1,2,…,8).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4的大小关系(不必写出证明过程). 18.(17分)某校总务处的主任要购买学校教学用的粉笔,并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”还是“非优质产品”的方法.某品牌的粉笔整箱出售,每箱共有20盒,根据以往的经验,其中会有某些盒的粉笔为非优质产品,其余的都为优质产品.并且每箱含有0,1,2盒非优质产品的概率依次为0.7,0.2,0.1.为了购买该品牌的粉笔,校总务处主任设计了一种购买的方案:欲买一箱粉笔,随机查看该箱中的4盒粉笔,如果没有非优质产品,则购买,否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A,“箱中有i(i=0,1,2)盒粉笔为非优质产品”为事件Bi. (1)求P(A|B0),P(A|B1),P(A|B2); (2)随机查看某一箱该品牌粉笔中的4盒,设X为其中非优质产品的盒数,求X的分布列及数学期望; (3)假设购买100箱该品牌粉笔,若按照主任所设计的方案进行购买,箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10,则所设计的方案有效.讨论该方案是否有效. 19.(17分)某市为提升中学生的环境保护意识,举办了一次“环境保护知识竞赛”,分预赛和复赛两个环节,预赛成绩排名前300名的学生参加复赛.已知共有12 000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩(单位:分)作为样本,得到如下频率分布直方图: (1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至少有1人预赛成绩优良的概率,并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望; (2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛的学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),且σ2=362,已知小明的预赛成绩高于91分,利用该正态分布,估计小明是否有资格参加复赛; (3)复赛规则如下:①每人的复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n,每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格,规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2,…,n);③每答对一题加2分,答错既不加分也不减分;④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩,已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8,且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复赛成绩,则他的答题数量n应为多少? 附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.997 4;≈19. 答案与解析 第六章　概率 1.B　由分布列的性质得0.2+a+3a=1,所以a=0.2. 2.A　由题意得=1,解得a=, 所以P. 3.B　随机变量X服从正态分布N(3,1),其图象的对称轴为直线x=3, 所以P(3<X≤4)≈×0.682 6=0.341 3, 所以P(X>4)≈0.5-P(3<X≤4)≈0.5-0.341 3=0.158 7. 4.B　由题意得X~B(10,p).因为DX=2.4,所以10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4.因为P(X=4)<P(X=6),所以p6(1-p)4,即1-2p<0,解得p>0.5,所以p=0.6. 5.B　设第一次摸出白球为事件A,第二次摸出黑球为事件B,则第一次摸出黑球为事件. ∵P(B)=P(AB)+P(, ∴P(A|B)=. 6.D　依题意,这4个人中,每个人去参加篮球活动的概率均为,去参加乒乓球活动的概率均为, 设“这4个人中恰有i人去参加篮球活动”为事件Ai(i=0,1,2,3,4), 则P(Ai)=(i=0,1,2,3,4). ξ的所有可能取值为0,2,4, 则P(ξ=0)=P(A2)=, P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=, 所以ξ的分布列为 ξ 0 2 4 P 所以Eξ=0×. 7.D　随机变量X的可能取值为2,3, P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1, P(X=3)=p(1-p)(1-p)=2p-2p2, 故EX=2(2p2-2p+1)+3(2p-2p2)=-2p2+2p+2=-2,因为0<p<,所以2<EX<,而,故A,B错误. DX=E(X2)-(EX)2=4(2p2-2p+1)+9(2p-2p2)-(-2p2+2p+2)2, 令t=2p-2p2=-2,因为0<p<,所以0<t<,此时DX=4(1-t)+9t-(t+2)2=-t2+t∈,故C错误,D正确. 8.D　记小明步行上班为事件A,骑共享单车上班为事件B,乘坐地铁上班为事件C,小明上班迟到为事件H, 则P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.5, P(H|A)=1-P(|C)=0.07, 所以P(H)=P(AH)+P(BH)+P(CH)=P(A)·P(H|A)+P(B)·P(H|B)+P(C)·P(H|C)=0.2×0.09+0.3×0.08+0.5×0.07=0.077, 所以某天小明上班迟到的概率是0.077. 9.BC　由题意知数学成绩X的正态分布密度曲线关于直线x=86对称, 因为P(82<X≤86)=0.3, 所以P(86≤X<90)=0.3, 所以P(X≥90)=P(X≤82)==0.2,故A错误; P(82<X<90)=0.3×2=0.6,故B正确; 估计成绩不低于90分的有0.2×1 000=200人,故C正确; P(X≥86)=0.5,则估计成绩不低于86分的有0.5×1 000=500人,故D错误. 10.BCD　对于B,P(B|A)=,所以P(AB)=,故B正确; 对于A,由A,B相互独立,得P(AB)=P(A)P(B),则,解得P(B)=,故A错误; 对于C,由A,B相互独立可知与B相互独立,则P(,所以P(,故C正确; 对于D,P(A+,故D正确. 11.AB　记事件E=“一次试验硬币正面朝上”,则=“一次试验硬币反面朝上”,则P(E)=P(, 从箱子中不放回地抽球,记Ai=“第i次抽到白球”,Bi=“第i次抽到黑球”,Ci=“第i次硬币正面朝上且抽到白球”,Di=“第i次硬币正面朝上且抽到黑球”. 对于A,P(C1)=P(A1E)=P(E)P(A1|E)=, 经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球、1个黑球的概率为P(C1D2+D1C2)=P(C1D2)+P(D1C2)=P(C1)P(D2|C1)+P(D1)P(C2|D1) =,A正确; 对于B,第一次抽到黑球后,第二次抽到白球的概率为P(C2|D1)=,B正确; 对于C,试验7次结束,则前6次有4次硬币正面朝上,且第7次硬币正面朝上,则其概率为,C错误; 对于D,设n次试验后试验停止的概率为Pn,n≥5,则Pn=·, 不妨设Pn最大,则则解得8≤n≤9,又n∈N+,n≥5,所以n=8或n=9, 所以经过8次或9次试验后试验停止的概率最大,D错误. 12.答案　0.031 5 解析　由题意知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05、0.04、0.03和0.02, 设A=“取出的产品为不合格品”, Bk=“产品由第k条流水线生产”,k=1,2,3,4, 由题意得P(B1)==0.15, P(B2)==0.2, P(B3)==0.3, P(B4)==0.35, P(A|B1)=0.05,P(A|B2)=0.04,P(A|B3)=0.03,P(A|B4)=0.02, 根据全概率公式可得P(A)=P(Bk)P(A|Bk)=0.15×0.05+0.2×0.04+0.3×0.03+0.35×0.02=0.031 5. 13.答案　 解析　X的可能取值为1,2,3,4,6,9, P(X=1)=, 所以EX=1×=4, 所以DX=(1-4)2×, 所以D(2X-1)=4DX=4×. 14.答案　1 250 解析　由题意知X~B(n,0.5),所以EX=0.5n,DX=0.25n, 若0.4<<0.6,则0.4n<X<0.6n, 则-0.1n<X-0.5n<0.1n,即|X-0.5n|<0.1n, 由切比雪夫不等式知P(|X-0.5n|<0.1n)≥1-, 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的概率在区间(0.4,0.6)内, 则1-≥0.98,所以n≥1 250且n∈N+, 所以估计信号发射次数n的最小值为1 250. 15.解析　(1)从6张奖券中任取2张奖券,共有=15种情况, 抽到的两张奖券的折扣相同的情况有3种,(3分) 所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣不相同的概率为.(5分) (2)X的所有可能取值为80,85,90, P(X=80)=,(7分) P(X=85)=,(9分) P(X=90)=,(11分) ∴X的分布列为 X 80 85 90 P ∴EX=80×.(13分) 16.解析　(1)记“甲跑第一棒”为事件A1,“甲跑第二棒”为事件A2,“甲跑第三棒”为事件A3,“甲跑第四棒”为事件A4,“该运动队获胜”为事件B, 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)·P(B|A4)=0.3×0.6+0.2×0.8+0.2×0.7+0.3×0.7=0.69, 所以当甲出场比赛时,该运动队获胜的概率为0.69.(4分) (2)P(A1|B)=, 所以当甲出场比赛时,在该运动队获胜的条件下,甲跑第一棒的概率为.(8分) (3)P(A2|B)=,(10分) P(A3|B)=,(12分) P(A4|B)=,(14分) 所以P(A4|B)>P(A1|B)>P(A2|B)>P(A3|B), 所以甲最可能是第四棒.(15分) 17.解析　(1)由题意知从高一年级(1)班~(8)班共抽测了80人, 其中身体素质监测成绩达到优秀的共有8+6+9+4+7+5+9+8=56人,(2分) 故估计该学生身体素质监测成绩达到优秀的概率为.(4分) (2)由题图可知高一(2)班抽测的10人中身体素质监测成绩达到优秀的有6人,高一(4)班抽测的10人中身体素质监测成绩达到优秀的有4人,(6分) X=2表示抽测的3人中身体素质监测成绩达到优秀的有2人, 则P(X=2)=··.(9分) (3)由题意得P(ξ1=1)=, 由题意可知ξk服从两点分布,则Dξ1=,(11分) P(ξ2=1)=,则Dξ2=, P(ξ3=1)=,则Dξ3=, P(ξ4=1)=,则Dξ4=, 故Dξ2=Dξ4>Dξ1>Dξ3.(15分) 18.解析　(1)由已知得P(A|B0)=1,P(A|B1)=.(3分) (2)由题意可知X的可能取值为0,1,2, P(X=0)=0.7+0.2×, P(X=1)=0.2×, P(X=2)=0.1×.(10分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 P EX=0×.(12分) (3)由题意知P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.7×1+0.2×,(14分) 按照主任所设计的方案购买的一箱粉笔中,箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为P(B0|A)=, 因为100×-100×0.7≈6<10,所以该方案无效.(17分) 19.解析　(1)预赛成绩在[60,80)内的为0.012 5×20×100=25(人),预赛成绩在[80,100]内的为0.007 5×20×100=15(人), 则P(X≥1)=,(3分) X的可能取值为0,1,2, P(X=0)=, P(X=2)=,(6分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 P EX=0×.(8分) (2)根据题意,得μ=(10×0.005+30×0.01+50×0.015+70×0.012 5+90×0.007 5)×20=53, 又因为σ2=362,所以Z~N(53,362),(10分) 所以P(Z>91)=P(Z>μ+2σ)=×[1-P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)]≈×(1-0.954 4)=0.022 8, 故全市参加预赛的学生中,成绩高于91分的有12 000×0.022 8≈274(人), 因为274<300,所以估计小明有资格参加复赛.(12分) (3)设学生甲答对的题数为ξ,复赛成绩为Y分, 则ξ~B(n,0.8),故Eξ=0.8n, Y=100-0.2(1+2+3+…+n)+2ξ,(14分) 故EY=100-0.2(1+2+3+…+n)+2Eξ=-,(16分) 因为n∈N+, 所以当答题数量n为7或8时,学生甲可获得最佳的复赛成绩.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$