第三章 空间向量与立体几何-【突破课堂】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步单元达标检测卷（北师大版）

高中同步达标检测卷

第三章　空间向量与立体几何

(全卷满分150分　考试用时120分钟)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.一束光线自点P(-1,1,1)发出,被yOz平面反射后到达点Q(-3,3,3),则光线所走过的路程是(　　)

A.2 B.6 C.2 D.4

2.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则(　　)

A.x=,y=1　 B.x=,y=-4　 C.x=2,y=-　 D.x=1,y=-1

3.中国元代数学家郭守敬主持建造的观星台(如图①)可近似看成一个正四棱台ABCD-A1B1C1D1(如图②),若AB=2A1B1,点M在BD1上,且BM=3D1M,则=(　　)

　　

A. B.

C. D.

4.如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,AA1⊥平面ABCD,AA1=A1B1=AB=1,∠ABC=,则点B到直线A1D的距离为(　　)

A.2 B.2 C. D.

5.如图,AB=BC=AC=DB=DC,且平面ABC与平面BCD垂直,E为BC的中点,EF􀱀AD,则平面ABD与平面ABF夹角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

6.在正三棱锥P-ABC中,PA=AB=3,点M满足,则AM的长的最小值为(　　)

A. B. C. D.2

7.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,SA⊥平面ABCD,P为底面ABCD内的一个动点,若·=1,则动点P在(　　)

A.圆上 B.双曲线上 C.抛物线上 D.椭圆上

8.在三棱锥D-ABC中,AB⊥BC,AB=,BC=1,若AD为三棱锥D-ABC的外接球的直径,且AC与BD夹角的余弦值为,则该外接球的表面积为(　　)

A.8π B.6π C.5π D.16π

二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)

9.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,O为底面A1B1C1D1的中心,则(　　)

A. B.)

C.||=2 D.<>=120°

10.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,则(　　)

A.|

B.异面直线AE与CF夹角的余弦值为

C.向量在向量方向上的投影向量为

D.直线AE与平面PCD夹角的正弦值为

11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,CC1=4,点E在棱AA1上,且AE=3EA1,点M为线段B1D1上的动点(包括端点),则下列结论正确的是　(　　)

A.当点M为B1D1的中点时,C1M⊥平面BB1D1D

B.过E点作与直线BD1垂直的平面α,则直线AD与平面α夹角的正切值为

C.三棱锥E-BDM的体积是定值

D.点M到直线BC1的距离的最小值为

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)

12.如图,在平行四边形ABCD中,AC=BC=1,AC⊥BC,将△ACD沿AC折起到△PAC的位置,使得二面角P-AC-B的大小为,则PB=　　　. 

⇒

13.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体,该几何体是上、下两个底面平行,且均为矩形的六面体.现有一“刍童”ABCD-A1B1C1D1(如图所示),AB=AA1=4,A1B1=AD=2,A1D1=1,AB∥A1B1,∠BAA1+∠DAA1=,A1C1与B1D1的交点为O,则·的最大值为　　　　. 

14.在四面体ABCD中,M,N分别为△BCD,△ABC的重心,过M作一条直线分别与棱BD,CD交于点E,F,若,则λ+μ=　　　　;若四面体ABCD的体积为3,则四棱锥N-BCFE的体积的最大值为　　　　. 

四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)已知A(0,2,1),B(2,0,3),C(4,1,1),设向量a=,b=.

(1)设向量c=(2,m,n),c∥,求|c|;

(2)若(ka+b)⊥(a-2b),求k的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=3,AC=BC=2,E是棱BC的中点.

(1)求证:A1B∥平面AC1E;

(2)求点A1到平面AC1E的距离.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.(15分)一个半圆柱如图所示,E为半圆弧上一点,CD=.

(1)若AD=2,求四棱锥E-ABCD的体积的最大值;

(2)有三个条件:①4··;②直线AD与BE夹角的正弦值为.请你从中选择两个作为条件,求直线AD与平面EAB夹角的余弦值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.(17分)如图,在四边形PDCB中,PD∥BC,BA⊥PD,PA=AB=BC=1,AD=.沿BA将△PAB翻折到△SAB的位置,使得SD=.

(1)作出平面SCD与平面SBA的交线l,并证明l⊥平面CSB;

(2)Q是棱SC上异于S,C的一点,连接QD,当二面角Q-BD-C的平面角的余弦值为时,求三棱锥Q-BDC的体积.