第一章 直线与圆-【突破课堂】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步单元达标检测卷（北师大版）

高中同步达标检测卷

第一章　直线与圆

(全卷满分150分　考试用时120分钟)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.若经过A(m,2),B(1,2m-1)两点的直线的倾斜角为135°,则m=(　　)

A.-4 B.-2 C. D.2

2.已知a∈R,直线l1:ax+y-12=0的方向向量与直线l2:(a+3)x+4y+16=0的方向向量共线,则这两条直线之间的距离为(　　)

A.4 B.8 C.4 D.2

3.在同一平面直角坐标系中,直线y=k(x-1)+2和圆x2+y2-4x-2ay+4a-1=0的位置关系不可能是(　　)

A.①③ B.①④ C.②④ D.②③

4.从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆引两条切线,则两切线夹角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

5.已知直线l:xsin2α+y+cos2α=0(α∈R)与圆C:x2+y2=8相交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　)

A.2 B. C.2 D.2

6.在等腰直角△ABC中,AC=BC=2,M是△ABC所在平面内的一点,满足||=3,则|CM|的最小值为(　　)

A. B.2-1 C.1 D.

7.下列说法中正确的个数为(　　)

①若A(-2,12),B(1,3),C(4,m)三点在一条直线上,则m=2;

②过点(1,2),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为x-y+1=0;

③圆C:x2+y2-6x+5=0,P(x0,y0)为圆C上任意一点,O为坐标原点,则的最大值为5;

④圆C1:x2+y2-2ax+2y+a2=0与圆C2:(x+2)2+(y-3)2=16外切,则实数a的值为1.

A.0 B.1 C.2 D.3

8.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线C:x2+y2=|x|+|y|就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论:

①曲线C围成的图形的面积是2+π;

②曲线C上的任意两点间的距离不超过2;

③若P(m,n)是曲线C上任意一点,则|3m+4n-12|的最小值是.

其中正确结论的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)

9.下列说法正确的是(　　)

A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0垂直”的充要条件

B.三条直线y=-x+1,2x+3y-5=0,=1交于同一点

C.已知直线y=x,则该直线的倾斜角为60°

D.若直线l1:(3+a)x+4y=5-4a与l2:2x+(5+a)y=9平行,则a=-7

10.已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x-2)2+(y-3)2=1.现给出如下结论,其中正确的是(　　)

A.圆O与圆C有四条公切线

B.过C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y=5或x-y+1=0

C.过C且与圆O相切的直线方程为9x-16y+30=0

D.P,Q分别为圆O和圆C上的动点,则|PQ|的最大值为+3,最小值为-3

11.已知圆O:x2+y2=9,P为直线x-y+6=0上一动点,过P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点,则下列四个命题中正确的是(　　)

A.直线x-my+2m-1=0与圆O总有两个交点

B.不存在点P,使∠APB=

C.直线AB过定点

D.过Q(2,2)作互相垂直的两条直线分别交圆O于点E,F和点G,H,则四边形EGFH面积的最小值为6

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)

12.经过圆x2+y2+2x-2y=0的圆心且与直线x-2y=0垂直的直线方程是　　　　　　　　. 

13.写出与圆O:x2+y2=1和圆A:(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:　　　　. 

14.已知直线l:y=kx+3与圆C:x2+y2-2y=0无公共点,AB为圆C的直径,若在直线l上存在点P使得·=1,则直线l的斜率k的取值范围是　　　　　　. 

四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)已知△ABC的顶点B(-3,0),C(2,0),∠BAC的平分线AD交BC于点D,且AD所在直线方程为3x-y-1=0,记△ABD,△ACD的面积分别为S△ABD,S△ACD.

(1)求S△ABD∶S△ACD;

(2)求顶点A的坐标.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.(15分)在①经过点C(3,4),②圆心E在直线x+y-2=0上,③圆截y轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数,这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并求解.

已知圆E经过点A(-1,2),B(6,3)且　　　　. 

(1)求圆E的标准方程;

(2)已知直线l经过点(-2,2),直线l与圆E相交所得的弦长为8,求直线l的方程.

 

 

 

 

 

 

 

 

17.(15分)已知动点P与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比值为.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)过点B(-2,1)的直线l与曲线C交于M,N两点,求线段MN长度的最小值;

(3)已知圆Q的圆心为Q(t,t)(t>0),且圆Q与x轴相切,若圆Q与曲线C有公共点,求实数t的取值范围.

 

 

 

 

 

18.(17分)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,4),圆O:x2+y2=4与x轴的正半轴交于点Q,过点P的直线l与圆O交于不同的两点A,B.

(1)设直线QA,QB的斜率分别是k1,k2,求k1+k2的值;

(2)设AB的中点为M,点N,若|MN|=|OM|,求△QAB的面积.

 

 

 

 

19.(17分)定义:M是圆C上一动点,N是圆C外一点,记|MN|的最大值为m,最小值为n,若m=2n,则称N为圆C的“黄金点”;若G同时是圆E和圆F的“黄金点”,则称G为圆“E-F”的“钻石点”.已知圆A:(x+1)2+(y+1)2=,P为圆A的“黄金点”.

(1)求点P所在曲线的方程;

(2)已知圆B:(x-2)2+(y-2)2=1,P,Q均为圆“A-B”的“钻石点”.

(i)求直线PQ的方程;

(ii)若圆H是以线段PQ为直径的圆,直线l:y=kx+与圆H交于I,J两点,则对于任意的实数k,在y轴上是否存在一点W,使得y轴平分∠IWJ?若存在,求出点W的坐标;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

答案与解析

第一章　直线与圆

1.D　由题意得kAB==-1,解得m=2.

2.B　由题意可得l1∥l2,所以1×(a+3)=a×4,解得a=1,故两直线方程分别为x+y-12=0,x+y+4=0,故这两条直线之间的距离为.

3.D　由题意得直线过定点(1,2),圆的标准方程为(x-2)2+(y-a)2=(a-2)2+1,所以圆心为(2,a),半径r≥1.

将(1,2)代入圆的方程,可知点(1,2)在圆上,所以直线与圆至少有1个交点,所以题图③不符合;对于题图②,直线与圆相切,则切点为(1,2),但圆心为(2,a),圆心的横坐标大于切点的横坐标,所以题图②不符合.

4.B　由x2-2x+y2-2y+1=0得(x-1)2+(y-1)2=1,

所以圆的圆心为(1,1),记为A,半径为1,

设两切点分别为B,C,连接PA,则∠BPC为两切线的夹角,

因为|AP|=,

所以sin∠APB=,

由二倍角公式可得cos∠BPC=1-2sin2∠APB=1-2.

5.C　易知直线l恒过定点(1,-1),记为P,

因为12+(-1)2<8,所以点P在圆C内,

圆C的圆心C(0,0),半径r=2,

直线l的斜率k=-sin2α∈[-1,0].

设圆心C到直线l的距离为d,当直线l的斜率为0时,d取得最大值1,

此时|AB|取得最小值,为2.

6.A　以C为原点建立如图所示的平面直角坐标系,

则C(0,0),A(2),设M(x,y),

则=(-x,-y),

所以-3y),

故|=3,

即(2-3y)2=9,整理得=1,

所以点M的轨迹是以点(记为E)为圆心,1为半径的圆,

则|CM|≥|CE|-1=.

7.A　对于①,由题意得kAB=kBC,即,解得m=-6,故①错误.