期末考试综合检测(一)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步单元达标检测卷（人教A版）

密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 高中同步达标检测卷 期末考试综合检测(一) 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数f(x)=f '(1)ln(2x+1)-x,则f '(1)的值为(　　) A.　　　B.　　　C.3　　　D.-3 2.已知等差数列{an}的前7项和为30,后7项和为110,前n项和为230,则项数n为(　　) A.21　　　B.22　　　C.23　　　D.24 3.已知数列{an}满足a1=,且对任意s,t∈N*,都有as+t=asat,记数列的前n项和为Sn,若Sm≥2 023,则m的最小值为(　　) A.9　　　B.10　　　C.11　　　D.12 4.已知函数f(x)=x3,若不等式f(ax+1)+f>0在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 5.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹,通过观察发现,该黏菌繁殖符合如下规律:①黏菌沿直线繁殖一段距离后,就会以该直线为对称轴分叉(分叉的角度约为60°),再沿直线繁殖,……;②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是,该组同学将整个繁殖过程抽象为如图所示的一个数学模型:黏菌从圆形培养皿的中心O开始,沿直线OA11繁殖到A11,然后分叉沿直线A11A21与直线A11A22继续繁殖,其中∠A21A11A22=60°,且直线A11A21与直线A11A22关于直线OA11对称,A11A21=A11A22=OA11,…….若OA11=4 cm,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁,则培养皿的半径r(r∈N*,单位:cm)至少为(　　) A.6　　　B.7　　　 C.8　　　D.9 6.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,xf '(x)<f(x),则不等式5f(2-x)+(x-2)f(5)<0的解集为(　　) A.(-∞,-3)∪(3,+∞)　　　B.(-3,0)∪(0,3) C.(-3,0)∪(0,7)　　　D.(-∞,-3)∪(2,7) 7.已知函数f(x)=若方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,e)　　　B.(-∞,-e)　　　C.(-∞,-2e)　　　D.(-∞,2e) 8.已知数列{an}满足a1=,an=1+ln an+1(n∈N*),记Tn为数列{an}的前n项积,则(　　) A.T9∈　　　B.T9∈ C.T9∈　　　D.T9∈ 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.若函数f(x)=x--aln x在(1,3)上单调递减,则实数a的值可能为(　　) A.-2　　　B.1　　　C.　　　D.4 10.已知正项数列{an}满足a1=1,an+2(an+1-an)=an(an+2-an+1)(n∈N*),记Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1,T10=,则(　　) A.是等差数列　　　B.a2 025= C.Tn<1　　　D.ai>3 11.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对于任意实数x,都有f(-x)=e2xf(x),且2f(x)+f'(x)=2x+1-e-2x,则下列说法正确的是　(　　) A.函数F(x)=exf(x)为偶函数 B.f(0)=0 C.不等式exf(x)+<e的解集为(1,+∞) D.若方程-(x-a)2=0有两个不相等的实数根x1,x2,则x1+x2<2a 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,以下命题正确的是　　　　　.(填序号)  ①-3是函数y=f(x)的极值点; ②-1是函数y=f(x)的最小值点; ③-1是函数y=f(x)的极小值点; ④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增; ⑤曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零. 13.已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=n,则数列{an}的前20项和S20=　　　　.  14.已知正数a,b满足ln b+≤ln a-a4+ln 2,则a+b=　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知数列{an}的前n项和Sn满足=+1(n≥2,n∈N*),且a1=1. (1)求证:数列{an}为等差数列; (2)记bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求使Tn≥成立的n的最小值. 16.(15分)已知函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-. (1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)若方程f(x)=k有3个不同的实根,求实数k的取值范围. 17.(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设是首项为1,公比为3的等比数列. ①求数列{bn}的前n项和Tn; ②若不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立,求实数λ的最大值. 18.(17分)已知函数f(x)的定义域为I,设xn∈I,曲线f(x)在点(x0, f(x0))处的切线交x轴于点(x1,0),……,曲线f(x)在点(xn, f(xn))处的切线交x轴于点(xn+1,0),称数列{xn}为函数f(x)关于x0的“N数列”,已知f(x)=2x-ln(x+1). (1)求证:f(x)的图象与x轴有两个交点; (2)若g(x)=f '(x),{an}是函数y=g(x)关于a0=-的“N数列”,记bn=log2|2an+1|. ①证明数列{bn}(n∈N*)为等比数列,并求其通项公式; ②记cn=(n∈N*),证明:c1+c2+…+cn<2. 19.(17分)已知函数f(x)=ax+(a-1)ln x+,a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若关于x的方程f(x)=xex-ln x+有两个不相等的实数根x1,x2. ①求实数a的取值范围; ②求证:+>. 答案与解析 1.D　由f(x)=f '(1)ln(2x+1)-x,得f '(x)=f '(1)·-1, 所以f '(1)=f '(1)×-1,解得f '(1)=-3. 2.C　设等差数列{an}的前n项和为Sn.由题意得 两式相加得7(a1+an)=140,即a1+an=20, 又Sn==230,所以n=23. 3.B　令s=n,t=1,则an+1=ana1,又a1=,∴an+1=an, ∴数列{an}是以为首项,为公比的等比数列, ∴an=×=,故=2n=2×2n-1, ∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列, ∴Sn==2n+1-2. 由Sm≥2 023得2m+1-2≥2 023,即2m+1≥2 025, ∵210=1 024,211=2 048,∴m+1≥11,即m≥10, ∴m的最小值为10. 4.A　易知函数f(x)=x3是R上的增函数,且f(x)=-f(-x). 因为f(ax+1)+f>0在(0,+∞)上恒成立, 所以f(ax+1)>-f(-ln x)=f(ln x)在(0,+∞)上恒成立, 所以ax+1>ln x在(0,+∞)上恒成立,即a>在(0,+∞)上恒成立,所以a>. 令g(x)=,则g'(x)=, 令g'(x)>0,得0<x<e2,令g'(x)<0,得x>e2, 所以g(x)在(0,e2)上单调递增,在(e2,+∞)上单调递减, 所以g(x)≤g(e2)=,因此a>. 5.C　由题意可知,只要计算出黏菌一直繁殖下去,在直线OA11方向上繁殖的距离的范围,就可确定培养皿的半径的范围. 由黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在直线OA11方向上前进的距离(单位:cm)依次为:4,2×,1,×,,×,…, 若黏菌无限繁殖下去,则它每次繁殖在直线OA11方向上前进的距离(单位:cm)的和为+×≈+×=, 因为7<<8,所以培养皿的半径r(r∈N*,单位:cm)至少为8. 6.D　令g(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则g'(x)=, ∵当x∈(0,+∞)时,xf '(x)<f(x),∴当x∈(0,+∞)时,g'(x)=<0, ∴g(x)在(0,+∞)上单调递减. ∵f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,∴f(x)=-f(-x), ∴g(-x)====g(x), ∴g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数, ∴g(x)在(-∞,0)上单调递增. 由5f(2-x)+(x-2)f(5)<0得5f(2-x)<(2-x)f(5), 当2-x>0,即x<2时,不等式可化为 < ,即g(2-x)<g(5), 由g(x)在(0,+∞)上单调递减得2-x>5,解得x<-3,故x<-3; 当2-x<0,即x>2时,不等式可化为 >,即g(2-x)>g(5)=g(-5),由g(x)在(-∞,0)上单调递增得2-x>-5,解得x<7,故2<x<7. 综上所述,不等式5f(2-x)+(x-2)f(5)<0的解集为(-∞,-3)∪(2,7). 7.C　设g(x)=f(x)+ex.因为方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根,所以函数g(x)=f(x)+ex有三个零点, 当x∈(-∞,0)时,g(x)=f(x)+ex=e-x+ex,则g'(x)=-e-x+e, 所以当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,当x∈(-1,0)时,g'(x)>0, 所以g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增, 则g(x)≥g(-1)=0,且当x→0-时,g(x)→1;当x→-∞时,g(x)→+∞. 当x∈(0,+∞)时,g(x)=f(x)+ex=a++ex, 则g'(x)=-+e=, 所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 则g(x)≥g(1)=a+2e,且当x→0+时,g(x)→+∞;当x→+∞时,g(x)→+∞. 综上所述,g(x)的大致图象如图所示, 由图可知,当a+2e<0,即a<-2e时,函数g(x)=f(x)+ex有三个零点, 即方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根. 8.C　因为an=1+ln an+1,所以an+1=. 下面用数学归纳法证明:当n∈N*时,0<an<1. 当n=1时,a1=,结论成立; 假设n=k(k∈N*)时,结论成立,即0<ak<1, 当n=k+1时,ak+1=, 因为0<ak<1,所以-1<ak-1<0,所以ak+1=∈, 所以当n=k+1时,结论也成立. 综上所述,0<an<1对任意的n∈N*均成立. 记函数f(x)=ln x-(x-1)(0<x<1),则f '(x)=-1=. 因为0<x<1,所以f '(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增, 所以f(x)<f(1)=0,即ln x<x-1在(0,1)上恒成立,所以an=1+ln an+1<1+an+1-1=an+1,即an<an+1,所以数列{an}为递增数列,所以≤an<1. 记g(x)=ln x-(0<x<1), 则g'(x)=-=>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递增,所以g(x)<g(1)=0, 即ln x<在(0,1)上恒成立, 所以an-1=ln an+1<,所以<, 所以->1,则->1,->1,……,->1,由累加法得->(n-1)×1(n≥2), 将a1=代入,得>n+3,n≥2,所以an>1-=,n≥2, 所以T9=a1×a2×…×a9>×××…×=×=,即T9>. 记h(x)=ln x-+(0<x<1),则h'(x)=--==-<0,所以h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)>h(1)=0,即ln x>-在(0,1)上恒成立. 所以an-1=ln an+1>-=,所以1-an<, 所以an+1<, 所以T9=a1×a2×…×a9<××…×==2(1-a9)2, 因为an>,n≥2,所以<a9<1,所以T9<2(1-a9)2<2×=,即T9<. 综上所述,<T9<. 9.CD　由题意得f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1+-=, 若f(x)在(1,3)上单调递减,则f '(x)≤0在(1,3)上恒成立,即x2-ax+1≤0在(1,3)上恒成立,所以a≥x+在(1,3)上恒成立,易知y=x+在(1,3)上单调递增,所以2<x+<,所以a≥, 结合选项可知,实数a的值可能为,4. 10.ACD　因为an+2(an+1-an)=an(an+2-an+1),所以-1=1-,即+=2,即+=,所以数列为等差数列,故A正确; 设等差数列的公差为d,又a1=1,所以=1+(n-1)d,则an=, 若d=0,则an=1,所以T10=10=10,不符合题意,所以d≠0, 所以anan+1==, 所以Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1 = =,则T10==,解得d=1, 所以an=,Tn=1-<1,所以a2 025=,故B错误,C正确; 设f(x)=x-ln(x+1),x>0,则f '(x)=1-=>0, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)=x-ln(x+1)>f(0)=0,所以当x>0时,x>ln(x+1), 故>ln,x>0,所以ai=>ln=ln, 又ln=ln+ln+ln+…+ln =ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+…+ln 51-ln 50 =ln 51-ln 1=ln 51>ln e3=3,所以ai>3,故D正确. 11.AB　对于A,易知F(x)的定义域为R,因为f(-x)=e2xf(x),所以e-x·f(-x)=exf(x),即F(-x)=F(x),所以F(x)为偶函数,故A正确; 对于B,由2f(x)+f'(x)=2x+1-e-2x,得2e2xf(x)+e2xf'(x)=(2x+1)e2x-1,即[e2xf(x)]'=(2x+1)e2x-1,所以[f(-x)]'=(2x+1)e2x-1, 则-f'(-x)=(2x+1)e2x-1,故-f'(x)=(1-2x)e-2x-1, 所以2f(x)=2x+1-e-2x-f'(x)=2x(1-e-2x), 则f(x)=x(1-e-2x),所以f(0)=0,故B正确; 对于C,exf(x)+=xex(1-e-2x)+=xex-+=xex, 令g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex,当x∈(1,+∞)时,g '(x)>0,函数g(x)单调递增,所以当x∈(1,+∞)时,g(x)>g(1)=e,即exf(x)+>e,故C错误; 对于D,方程-(x-a)2=0即e-2x=1-(x-a)2,方程有两个不相等的实数根等价于函数y=e-2x与y=1-(x-a)2的图象有两个交点,易知函数y=e-2x单调递减,函数y=1-(x-a)2的图象是开口向下的抛物线,对称轴为直线x=a,当x>a时,函数y=1-(x-a)2单调递减, 若方程-(x-a)2=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨令x1<x2,则x1<a<x2,>,所以1-(x1-a)2>1-(x2-a)2, 设x3>a且x1+x3=2a,则有1-(x1-a)2=1-(x3-a)2, 所以1-(x3-a)2>1-(x2-a)2,所以x3<x2,所以x1+x2>2a,故D错误. 12.答案　①④⑤ 解析　根据题中导函数的图象可知,当x∈(-∞,-3)时, f '(x)<0,当x∈(-3,1)时, f '(x)≥0,且仅在x=-1处取“=”, ∴函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,故-3是函数y=f(x)的极值点,故①④正确. -1既不是函数y=f(x)的极小值点,也不是最小值点,故②③错误. 对于⑤,由题中导函数的图象可得f '(0)>0,故曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零,故⑤正确. 13.答案　110 解析　当n为奇数时,可得 所以an+1+an-1=2n-1,n≥3; 当n为偶数时,可得 所以an+1+an-1=1,n≥2, 所以S20=(a1+a3+a5+a7+…+a17+a19)+(a2+a4+a6+a8+…+a18+a20) =1×5+(5+13+21+29+37)=110. 14.答案　 解析　由ln b+≤ln a-a4+ln 2,得ln a-a4+ln-+ln 2≥0. 令f(x)=ln x-x4,则f '(x)=-4x3=,易知f '(x)在(0,+∞)上单调递减,且f '=0, 故当x∈时, f '(x)>0, f(x)单调递增; 当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减. 又f=ln-=-ln 2-, 所以f(x)≤-ln 2-,即f(x)+ln 2+≤0, 故f(a)+ln 2++f+ln 2+=f(a)+f+ln 2≤0,当且仅当a==时,等号成立. 由题可知, f(a)+f+ln 2≥0,故f(a)+f+ln 2=0, 故a==,即a=,b=,故a+b=. 15.解析　(1)证明:由=+1(n≥2,n∈N*)得{}为等差数列,且公差为1,又==1, 所以=1+(n-1)=n,即Sn=n2,(2分) 当n≥2时,Sn-1=(n-1)2,则an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 当n=1时,a1=1也符合上式,所以an=2n-1,(5分) 当n≥2时,an-an-1=2n-1-(2n-3)=2, 故{an}是公差为2的等差数列.(6分) (2)由(1)得bn===,(8分) 所以Tn= ==,(10分) 由Tn≥可得≥,整理得2n2-3n-1≥0,(11分) 由二次函数的性质可知y=2n2-3n-1(n∈N*)随n的增大而增大,当n=1时,y=2-3-1<0,n=2时,y=8-6-1>0, 故使Tn≥成立的n的最小值为2.(13分) 16.解析　(1)由已知得f '(x)=3ax2-b, 由题意得解得(2分) 所以f(x)=x3-4x+4, f '(x)=x2-4,(4分) 令f '(x)=0,解得x=-2或x=2, 当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表, x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f '(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 单调递减 - 单调递增 因此当x=2时, f(x)有极小值-,满足题意. (7分) 易得f(1)=, f '(1)=-3, 所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),即9x+3y-10=0. (9分) (2)由(1)可得函数f(x)=x3-4x+4的大致图象如图, 若f(x)=k有3个不同的实根,则直线y=k与函数f(x)的图象有3个交点,所以-<k<,即实数k的取值范围是.(15分) 17.解析　(1)由已知得即(2分) 整理得又d≠0,所以d=2,a1=3,(4分) 所以数列{an}的通项公式是an=2n+1.(5分) (2)①因为是首项为1,公比为3的等比数列,所以=1×3n-1=3n-1,由(1)可得an=2n+1,所以bn=(2n+1)·3n-1,(7分) 所以Tn=3×30+5×31+7×32+…+(2n+1)·3n-1, 3Tn=3×31+5×32+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n, 则-2Tn=3+2×(31+32+…+3n-1)-(2n+1)·3n =3+2×-(2n+1)·3n=-2n·3n,(9分) 所以Tn=n·3n.(10分) ②由(1)得Sn==n2+2n,(11分) 所以不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立即λn·3n+n2-2n≤0对一切n∈N*恒成立,所以λ≤对一切n∈N*恒成立. 令f(n)=(n∈N*),则f(n)min≥λ,(12分) 易得f(n+1)-f(n)=-=, 当1≤n≤2时, f(n+1)-f(n)<0,当n≥3时, f(n+1)-f(n)>0, 所以f(1)>f(2)>f(3), f(3)<f(4)<f(5)<…,(14分) 所以f(n)min=f(3)=-,故λ≤-,即实数λ的最大值是-.(15分) 18.解析　(1)证明:由题意得f(x)的定义域为(-1,+∞), f '(x)=2-=,(1分) 当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减;当x∈时, f '(x)>0, f(x)单调递增,(3分) 所以f(x)min=f=-1+ln 2<0, 因为f=2×-ln=>0,f(e-1)=2×(e-1)-ln e=2e-3>0,(5分) 所以f(x)在和上各有一个零点,即f(x)的图象与x轴有两个交点.(6分) (2)①由(1)得g(x)=f '(x)=,则g'(x)=,(7分) 则曲线g(x)在(an,g(an))处的切线斜率为g'(an)=, 所以曲线g(x)在(an,g(an))处的切线方程为y-=(x-an),由已知得该切线过点(an+1,0),则-=(an+1-an),即an+1=an-(2an+1)(an+1)=-2-2an-1,(9分) 所以-(2an+1+1)=(2an+1)2,因此bn+1=log2|2an+1+1|=2log2|2an+1|=2bn, 则b1=2log2|2a0+1|=2log2=-2, 所以{bn}(n∈N*)是首项为-2,公比为2的等比数列,所以bn=-2n.(12分) ②证明:由①得bn=-2n,则cn=<=<=2(-),(15分) 则c1+c2+…+cn<2(-0+-+…+-)=2.(17分) 19.解析　(1)因为f(x)=ax+(a-1)ln x+, 所以f '(x)=a+-==,x>0.(2分) 当a≤0时, f '(x)<0,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间; 当a>0时,由f '(x)>0得x>,由f '(x)<0得0<x<, 所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. 综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(5分) (2)①方程f(x)=xex-ln x+可化为xex=ax+aln x,即ex+ln x=a(x+ln x). 令t=x+ln x,易知该函数在(0,+∞)上单调递增,且值域为R, 结合题意,可知关于t的方程et=at(*)有两个不相等的实数根t1,t2. 因为t=0不是方程(*)的实数根,所以方程(*)可化为=a.(7分) 令g(t)=,t≠0,则g'(t)=. 由g'(t)<0得t<0或0<t<1,由g'(t)>0得t>1, 所以函数g(t)在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数g(t)的极小值为g(1)=e, 当t<0时,g(t)=<0;当t>0时,g(t)=>0.(9分) 在同一平面直角坐标系内作出函数y=g(t)的图象和直线y=a,如图所示, 由图可知,当a>e时,函数y=g(t)的图象和直线y=a有两个交点, 所以实数a的取值范围是(e,+∞).(11分) ②证明:易知x1>0,x2>0,要证+>,只需证x1+x2>2a,即证a(x1+ln x1)+a(x2+ln x2)>2a,即证at1+at2>2a,即证t1+t2>2.(12分) 结合①,不妨设0<t1<1<t2. 因为et=at,所以t=ln a+ln t,即作差可得t2-t1=ln. 所以只需证>,即证>. 令p=,则p>1,只需证ln p>.(15分) 令h(p)=ln p-,p>1,则h'(p)=-=>0, 所以h(p)在(1,+∞)上单调递增,故h(p)>h(1)=0,即h(p)>0在(1,+∞)上恒成立,所以原不等式得证.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$