3.7 二元一次方程组的应用 第2课时 用二元一次方程组解决较复杂的实际问题 导学案 2025-2026学年湘教版（2024）数学七年级上册

3.7 二元一次方程组的应用 第2课时 二元一次方程组的应用（2） 一、课标摘录 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解的意义，经历估计方程解的过程. 二、教学目标 1.进一步掌握基本的等量关系及分析等量关系的方法； 2. 掌握列二元一次方程组解较复杂的实际问题的步骤； 3. 掌握行程问题、收费问题等实际问题的解法； 4. 提高应用二元一次方程组模型解决实际问题的能力。 三、教学重难点 重点：根据实际问题列二元一次方程组； 难点：找等量关系列二元一次方程组． 四、教学策略 学生学会从两个不同方面或角度分析等量关系列出方程组，解答实际问题。通过练习及指导，培养学生列二元一次方程组解决实际问题的能力。进一步体会二元一次方程组与现实生活的联系，感受数学的在生活中的应用价值，增强学生克服困难的勇气和信心，提高学习数学的自信心。在前一节学习二元一次方程组的简单应用之后，学生明确列方程组解应用题的方式方法，对于学生存在的问题教师及时给与指导，进一步提高分析问题、解决问题的能力. 五、教学过程 （一）情境导入 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？ （二）新知初探 探究一：列二元一次方程组解实际问题 问题 小华家到学校的路程分为两段：平路和坡路.去学校时，他走平路和下坡路；回家时，他走平路和上坡路.涉及的等量关系是什么？ 答：（1）走平路的时间+走下坡路的时间=去学校时间10min （2）走上坡路的时间+走平路的时间=回家时间15min 问题2 设小华家到学校的平路长为xm，坡路长ym， 根据等量关系，得 解这个方程组，得 因此，平路长300 m，下坡路长400 m，小华家离学校700 m. 任务一意图说明 本题是与路程有关的问题，主要数量关系是时间=路程÷速度.所涉及的等量关系应从上学时间、回家时间两个方面进行分析，让学生在自己交流、探究、合作的基础上得出二元一次方程组并求解，激发学生的学习积极性,使学生主动参与学习的全过程,列出方程组并求解. 探究二 ：例题讲解 例3某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 甲种货车数/辆 2 5 乙种货车数/辆 3 6 累计运货量/t 26 56 该果园第三次打算继续租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果，如果每吨运费为30元，果园三次总共应付运费多少元？ 分析 等量关系为： 2辆甲种货车运货量十3辆乙种货车运货量=26t, 5辆中种货车运货量+6辆乙种货车运货量=56 t. 解 设甲、乙两种货车每辆次分别可运水果xt，yt. 根据题意，得 解得 于是，第三次运输了3×4+5×6=42（t） 因而合汁运输了26+56+42=124（t） 因此，三次总共应付运费124×30=3720（元) 答：该果园三次共应付运费3720元. 例4 对于多项式kx+b(其中k,b为常数），若分别用1，一1代入时，kx十b的值分别为一1，3，求k和b的值. 分析 k，b是待确定的系数，把x分别用两个数代入，得出kx+b的两个值，这样可得到一个关于k，b的二元一次方程组. 解 根据题意，得 解得 故所求k和b的值分别为一2和1. 任务二意图说明 通过解决两个例题使学生对列二元一次方程组解决实际问题得到巩固和深化,进一步熟悉列二元一次方程解决问题的方法与过程,在解决问题的过程中学生参与全过程，从而提高分析和解决问题的能力. （三）当堂达标（要求：限时5分钟，独立完成.） 1．甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．设甲、乙两人每小时分别走x千米、y千米，则可列出方程组是（　C　） A． B． C． D． 2.苹果和梨各有若干，如果5个苹果和3个梨装一袋，苹果还多4个，梨刚好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，苹果刚好装完，梨还多12个，那么苹果和梨一共有 　132　个． 3．某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度，平路速度，下坡速度，那么他从家到学校需要26min，从学校回家需要20min．则该同学家到学校全程是 　1500　m． 4.对于多项式kx+b(其中k,b为常数），若分别用2，6代入时，kx十b的值分别为30，10，求k和b的值. 解 根据题意，得 解得 故所求k和b的值分别为-5和40. 5.星期日，小军与小明所在年级分别有同学去颐和园和 圆明园参观，其参观人数和门票花费如下表： 问：颐和园和圆明园的门票各多少元？ 颐和园参观人数 圆明园参观人数 门票花费总计 小军所在年级 30 30 750元 小明所在年级 30 20 650元 解 设颐和园的门票为x元，圆明园门票为y元. 根据题意，得 解这个方程组，得 答：颐和园的门票为15元，圆明园门票为10元. （4） 课堂小结： 列二元一次方程组解实际问题的解题思路： （五）板书设计 （六）教学反思 本节课主要学习了简单方程组的应用之后再进行学习，本节实际问题比较复杂，得到的方程组系数不好处理，学生通过学习知道列方程组解应用题的关键是找出等量关系，挖掘题目中的隐含条件，做题过程中要认真审题，课堂上通过小组合作，每个学生都积极参与，由于解方程的变形也相对复杂，学生从中体会到，列方程组解决实际问题的关键是找等量关系，设值合适的未知数，如果直接设不好列式的话，也可以间接设未知数，在学习过程中，他们的分析问题和解决问题的能力得到了提高，从整节课来看，学生分析问题中的等量关系觉得比较困难，需要加大训练,在后边的教学中，也注意学生这方面的训练，使学到得到更好的发展. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$