15.3.2.1 等边三角形的性质与判定 课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

15.3.2.1 等边三角形的性质与判定 1 1.知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系. 2.掌握等边三角形的性质和判定方法. 3.熟练地运用等边三角形的性质和判定方法解决问题. 学习目标 思考：满足什么条件的三角形是等边三角形？ 三条边都相等的三角形是等边三角形． A B C 定义： 新知探究 探究1 等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？   已知：如图，AB=AC=BC. ∵AB=AC ∴∠B=∠C 同理∠A=∠C ∴∠A=∠B=∠C ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60° A B C 新知探究 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. A B C 符号语言：∵AB=BC=AC， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 新知探究 探究2 等边三角形是轴对称图形吗？若是，它有几条对称轴？ 性质：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. A B C 新知探究 探究3 等边三角形每边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一吗？为什么？ 性质：等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. A B C D F E 新知探究 等边三角形的性质： 1.等边三角形的三边相等. 2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°. 3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. A B C 总结归纳 判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 符号语言：∵∠A=∠B=∠C, ∴△ABC是等边三角形. A B C 新知探究 知识点一：等边三角形的性质 1. (1)等边三角形是____对称图形，且有_______对称轴； (2)等边三角形的三条边都_______，三个角都_______，且都为________； (3)等边三角形具有等腰三角形的一切性质． 轴 三条 相等 相等 60° 能力提升 2. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为( ) A.25° B．60° C．85° D．95° D 知识点二：等边三角形的判定 3. 等边三角形的判定方法： (1)三个角都_______的三角形是等边三角形； (2)有一个角是60°的____________是等边三角形； (3)三边都_______的三角形是等边三角形． 相等 等腰三角形 相等 4. 下列条件不能得到等边三角形的是( ) A．有两个内角是60°的三角形 B．三个外角都相等的三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．有一个角是60°的等腰三角形 C 知识点三：等边三角形的性质和判定的综合 5. (1)等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质； (2)等边三角形三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等； (3)等边三角形的中线、高和角平分线都相交于一点． 6. (1)已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是( )　 　　　　 　　　　 A．12 B．15 C．18 D．20 (2)如图，△ABC是等边三角形，点E，F分别在AB，AC边上，且EF∥BC，若AB＝6，BE＝4，则EF的长为____． C 2 【典例导引】 7. 【例1】如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( ) A．100° B．80° C．60° D．40° A 【变式训练】 8. 如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是( )　　　　　　　　　　 A．45° B．39° C．29° D．21° B 9. 【例2】如图，下列哪个条件能推出△ABC是等边三角形( ) A.∠B＝∠C B．AD⊥BC，BD＝CD C．AD⊥BC，BD＝CD，∠BAD＝30° D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD C 10. 如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°.当OP＝____时，△AOP为等边三角形． 5 11. 【例3】如图，AC与BD相交于点O，若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD.求证：△OCD是等边三角形． 证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝60°， 又∵AB∥DC，∴∠A＝∠C＝60°， ∠B＝∠D＝60°， ∴△OCD是等边三角形 12. 如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E，∠BCE＝60°.求证：△BCE是等边三角形． 证明：∵CE∥DA，∴∠A＝∠CEB， ∵∠A＝∠B，∴∠CEB＝∠B， ∴CB＝CE. 又∵∠BCE＝60°， ∴△BCE是等边三角形 13. 【例4】(2025·广州增城区期末)如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE. (1)若BE＝6，求AB的长； (2)求证：△CDE是等边三角形． 解：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∵AE⊥BC， ∴AB＝2BE＝2×6＝12 (2)∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠C＝60°， ∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴CE＝BC，CD＝AC，∴CE＝CD， 即∠CED＝∠CDE＝∠C， ∴△CDE是等边三角形 14. 如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC 于点N. (1)求证：△PMN是等边三角形； (2)若AB＝12 cm，BP＝4 cm，求BM的长． 解：(1)∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C， ∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC， ∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°， ∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP， ∴△PMN是等边三角形　 (2)根据题意可得△PBM≌△MCN≌△NAP， ∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN， ∵PB＝4 cm，∴MC＝4 cm. ∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝12 cm， ∴BM＝BC－MC＝8 cm 课堂小结 ∴BE＝ eq \f(1,2)BC＝ eq \f(1,2)AB， ∴CE＝ eq \f(1,2)BC，CD＝ eq \f(1,2)AC，∴CE＝CD， ∴∠CED＝∠CDE＝ eq \f(1,2)(180°－60°)＝60°， $$