15.3.1.2 等腰三角形的判定 课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

15.3.1.2 等腰三角形的判定 1 1.掌握等腰三角形的判定方法. 2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算. 学习目标 思考：如果有一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反之，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等. 你能证明这个结论吗？ 新知探究 C A D 1 2 B 如图，在△ABC中， ∠B=∠C.求证：AB=AC. 证明：如图，作△ABC的角平分线AD交BC于点D， 在△ABD和△ACD中， ∠1=∠2， ∠B=∠C， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴ AB=AC. 你能得到什么结论呢？ 新知探究 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. A B C 符号语言： ∵∠B=∠C， ∴AB=AC. 新知探究 知识点一：等腰三角形的判定 1. (1)定义：有两个角相等的三角形是等腰三角形； (2)如果一个三角形有_________相等，那么这两个角所对的边也________．(简写成“等角对______”) 两个角 相等 等边 能力提升 2. 下列能断定△ABC为等腰三角形的是( ) A．∠A＝30°，∠B＝60° B．AB＝AC＝2，BC＝4 C．∠A＝50°，∠B＝80° D．AB＝3，BC＝7，周长为13 C 知识点二：等腰三角形判定的运用 3. (1)等腰三角形的判定和性质互逆； (2)判定定理在同一个三角形中才能适用； (3)常与角平分线、三角形全等综合运用． 4. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.求证：△BED是等腰三角形． 证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠DBC. ∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC， ∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB， ∴△BED是等腰三角形 知识点三：用尺规作等腰三角形 5. 如图，是尺规作等腰三角形的三种常用作法． 6. 已知底边长为a及一腰长为b，求作等腰三角形． 解：①作射线OP，在射线OP上截取OA等于a； ②分别以O，A为圆心，以线段b的长为半径画弧，交于点B， 连接OB，AB，则△OBA即为所求作的等腰三角形 【典例导引】 7. 【例1】如图，∠C＝36°，∠B＝72°，∠BAD＝36°，则图中等腰三角形有( )　　　　　　　　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 【变式训练】 8. 如图，线段AC，BD互相垂直平分，则图中共有等腰三角形( ) A．2个 　　　B．3个 C．4个 　　　D．5个 C 9. 【例2】 如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形． 证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE. ∵DC平分∠ACE，∴∠ACD＝∠DCE， ∴∠B＝∠A，∴AC＝BC， ∴△ABC为等腰三角形 10. 如图，点C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D.求证：△DOC是等腰三角形． 证明：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC. ∵CD∥OB，∴∠DCO＝∠BOC， ∴∠AOC＝∠DCO，∴OD＝CD， ∴△DOC是等腰三角形 11. 【例3】在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF. 求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∵BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形 12. 如图，在△ABC中，D是BC边上的点，E在边AC上，已知BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C.求证：△ADE是等腰三角形． 证明：由题意可得∠ADB＝180°－∠ADE－∠CDE， ∠DEC＝180°－∠CDE－∠C. 又∵∠ADE＝∠C， ∴∠ADB＝∠DEC， ∴△ADB≌△DEC(AAS)， ∴AD＝DE，∴△ADE是等腰三角形 13. 【例4】尺规作图．已知：线段c，∠β，求作等腰三角形ABC，使其底边长为c，底角为∠β.(不写作图过程，保留作图痕迹) 解：如图，△ABC即为所求 14. 已知线段a，请用尺规作一个等腰三角形，使它的底边长为a，高为2a.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图所示： 课堂小结 在△ADB和△DEC中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BAD＝∠CDE，,∠ADB＝∠DEC，,BD＝CE，)) $$