18.5.1第1课时　分式方程及其解法课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

第1课时　分式方程及其解法 知识点1 分式方程的概念 分母中含未知数的方程叫作分式方程. 这些方程有什么共同特征？ *我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. （1）是方程——含有未知数的等式； （2）是分式——分母中含有未知数. 归 纳 分式方程必须满足的条件： 下列式子中，属于分式方程的是________，属于整式方程的是________(填序号). ②⑤⑦ ①④ 练习 知识点2 分式方程的解法 如何解方程 ？ 思考： （1）如何把它转化为整式方程？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ 整式方程 转化 各个分母的最简公分母 等式的性质2 去分母 方程两边同乘各分母的最简公分母：(30 + v)(30 – v) 得 解得 v = 6 检验：将 v = 6 代入原方程中，左边 = 2.5 = 右边，因此 v=6 是原方程的解. 90(30 – v) = 60(30 + v) 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法. 归 纳 解下列方程： 最简公分母：x(x – 2) 解：去分母，得 解得 x = – 5 检验：将 x = – 5 代入原方程中，左边 = – 1 = 右边，因此 x = – 5 是原方程的解. 5(x – 2) = 7x 最简公分母：(x + 3)(x – 1) 解：去分母，得 解得 x = 5 检验：将 x = 5 代入原方程中，左边 = 0.25 = 右边，因此 x = 5 是原方程的解. 2(x – 1) = x + 3 练习 解：在方程两边乘最简公分母_____________， 去分母，得 x + 5 = 10 解得 x = 5 (x – 5)(x + 5) x = 5是①的解吗？ 检验：将 x = 5 代入①，分母 x – 5 和 x2 – 25 的值都为 0，相应的分式无意义. 因此 x = 5 虽然是整式方程②的解，但不是分式方程①的解. 此分式方程无解. 运用“去分母化为整式方程”的方法解方程 探究 ① ② 比较解上面两个分式方程的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 思考： 最简公分母 解 结论 (x – 5)(x + 5) (30 + v)(30 – v) x = 5 v = 6 所得整式方程的解不是②的解 所得整式方程的解与①的解相同 回代结果≠0 回代结果= 0 x = 5 是分式方程的增根 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验: 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 归 纳 解：方程两边乘 x(x – 3)，得 2x = 3x – 9 解得 x = 9 检验： 当 x = 9时， x(x – 3) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = 9. 例1 解方程 例2 解方程 解：方程两边乘 (x – 1)(x + 2)，得 x(x + 2) – (x – 1)(x + 2) = 3 解得 x = 1 检验： 当x = 1时，(x – 1)(x + 2) = 0 所以，原分式方程无解. 因此， x = 1不是原分式方程的解. 分式方程 去分母 整式方程 解整式方程 x = m 检验 x = m 是分式方程的解 x = m 不是分式方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 目标 解分式方程的一般过程： 归 纳 课堂小结 1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程. 2. 分式方程的解法： 分式方程 去分母 整式方程 求解 x = m x = m 是分式方程的解 目标 最简公分母不为0 检验 1. 下列方程是关于x的分式方程的为 (　　) A. +=1 B. +2x=3 C. =2 D. = C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 小明解分式方程=-1的过程如下: 解:去分母,得3=2x-(3x+3)①. 去括号,得3=2x-3x+3②. 移项、合并同类项,得-x=6③. 系数化为1,得x=-6④. 以上步骤中,开始出错的一步是 (　　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. (2024·广东)方程=的解是 (　　) A. x=-3 B. x=-9 C. x=3 D. x=9 4. (2023·淄博)已知x=1是方程-=3的解,则实数m的值为 (　　) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 5. 当x=　　　　时,分式的值等于. 6. (2024·北京)方程+=0的解为　　　　.　  7. 若分式与的和为4,则x的值为　　　　. D B x=-1 3 8.解方程: (1) =; (2) -1=. (1) x=　 (2) 原方程无解 9. 小明解分式方程1-=时,出现了错误,他的解答过程如下: 解:去分母,得2x+2-(x-3)=3x.…第一步 解得x=-. ……………………第二步 ∴ 原分式方程的解为x=-. …第三步 (1) 小明的解答过程是从第　　　　步开始出错的,这一步正确的解答结果为　　　　　　　　,根据是　　　 　　　.  一 2x+2-(x-3)=6x 等式的性质2 (2) 小明的解答过程缺少什么必要步骤? (3) 请写出此题正确的解答过程. (2) 小明的解答过程缺少检验　 (3) 去分母,得2x+2-(x-3)=6x,解得x=1.检验:当x=1时,2x+2≠0,∴ 原分式方程的解为x=1　 [易错分析]在解分式方程时忽略各步骤的注意事项而算错. 10. 若关于x的分式方程=+2有增根,则m的值为 (　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 定义a⊗2a+,例如1⊗2=2×1+,则方程3⊗x=4⊗2的解为 (　　) A. x= B. x= C. x= D. x= D B 12. 如果关于x的分式方程=1的解是负数,那么实数m的取值范围是　　　 　　.  m<-1且m≠-2 13. 解方程: (1) (2024·西宁)=-1; (2) =-. (1) x=　 (2) x=6 14. 已知y=-.当x为何值时,y的值为? 化简原式,得y=-.由题意,得-=,解得x=-4.经检验,x=-4是原分式方程的解.∴ 当x=-4时,y的值为 15. 已知关于x的分式方程+3=无解,求实数m的值. 原方程可化为(m-3)x=4.当整式方程无解时,m-3=0,则m=3.当整式方程的解为分式方程的增根时,x=1.∴ m-3=4.∴ m=7.综上所述,实数m的值为3或7 $$