24.1.2 垂直于弦的直径 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 （同步练习） 一、选择题 1．下列命题中假命题是(　　) A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．垂直于弦的直径平分这条弦 C．垂直平分弦的直线必经过圆心 D．平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦 2．如图，的弦垂直于，E为垂足，，，且，则圆心O到的距离是（　　） A．2 B． C． D． 3．清康熙《新昌县志》载“光霁桥，在县治东北”，今其遗址位于新昌岙桥里，光霁桥为单孔圆弧石拱桥，如图1，已知桥净跨度约6米；矢高约2.5米，如图2，则光霁桥桥拱圆弧的半径为（　　） A．米 B．3米 C．米 D．米 4．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 5．要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦的垂直平分线交于点C，交圆弧于点D，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，则轮子的半径为（　　） A． B． C． D． 6．如图，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别为和的中点，0M，ON分别交AB，AC于点E，F，则∠MON的度数为(　　) A．110° B．120 C．130° D．100° 二、填空题 7．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为　 　． 8．某大门是轴对称图形，由矩形与哥特式尖拱组成（如图1），图 2 是其设计图，尖拱部分是两条等弧，圆心均落在直线 上，圆弧的半径为 米， 米．过拱尖 作 分别交 于点 ．若 ，则高 等于　 　。 9．如图，摩天轮的最高处A到地面l的距离是62米，最低处B到地面l的距离是2米．若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是47米时至少需　 　分钟． 10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰三角形ACM，等腰三角形BCN，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=15，则AO的长是　 　. 11． 如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 　 　；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 　 　． 12．已知等腰△ABC内接于半径为10的⊙O中，且圆心O到BC的距离为6，则这个等腰△ABC底边上的高是　 　． 三、解答题 13．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，M，N分别为，的中点，MN分别交AB，AC于点E，F．判断△AEF的形状并给予证明． 14．已知：如图，在⊙O中，．求证：弦AB∥CD． 15．如图，在直角坐标系中，⊙E的半径为5，点E（1，-4）. （1）求弦AB与弦CD的长； （2）求点A，B坐标. 16．给定圆和直线，过圆上一点作直线于点，直线与圆的另一个交点记为，将称为点关于直线的特征值．特别地，当点与点或重合时，点关于直线的特征值为；当点和重合时，点关于直线的特征值为． 在平面直角坐标系中， （1）圆是以点为圆心，为半径的圆， 若点的坐标是，则它关于轴的特征值是：_______； 点是圆上一动点，将点关于轴的特征值记为，则的取值范围是__________； （2）已知圆的半径为，直线，若圆上存在关于直线的特征值是的点，直接写出的取值范围． 17．已知：如图，∠PAC=30o，在射线AC上顺次截取AD=3 cm，DB=10 cm，以DB为直径作⊙O，交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长． 18． 测算石拱桥拱圈的半径 素材1 在日常生活中，如果没有带测量工具，那么我们可以用身体的“尺子”来测量，比如前臂长(包括手掌、手指)称为1肘(如图1)，现利用该方法测得一块矩形花岗岩的长和高(如图2)． 素材2 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径(如图3)，石拱桥由以上矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连结(花岗岩的各个顶点落在上、下花岗各边的中点，如图3所示). 素材3 通过观察发现A，B两个点都在拱圈上.A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩连结顶点处，B是花岗岩的顶点(如图4). 问题解决 任务1 获取数据 通过观察、计算A，B两点之间的水平距离及铅垂距离(高度差). 任务2 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径. 注：测量、计算时，都以“肘”为单位. 参考答案 1．A 2．A 3．C 4．B 5．B 6．C 7． 8．8米 9．5 10． 11．； 12．4或16或 13．解：△AEF是等腰三角形． 证明：如图，连结OM，ON，分别交AB，AC于点P，Q． ∵M，N分别为，的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠MPE=∠NQF=90°， ∴∠PEM=90°-∠M，∠QFN=90°-∠N． ∵OM=ON，∴∠M=∠N， ∴∠PEM=∠QFN． 又∵∠AEF=∠PEM，∠AFE=∠QFN， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形． 14．证明：过点O作OE⊥AB，交⊙O于点E， ∴ ∵． ∴， ∴OE⊥CD， ∴AB∥CD． 15．（1）如图所示，过E作EF⊥AB于F，作EG⊥CD于G， 则BF＝ AB，CG＝ CD， ∵⊙E的半径为5，E（1，−4）， ∴BE＝5，EF＝4，GE＝1， ∴Rt△BEF中，BF＝ ＝3， Rt△CEG中，CG＝ ＝2 ， ∴AB＝2BF＝6，CD＝2CG＝4 ； （2）如图所示，∵E（1，−4），EF⊥AB， ∴F（1，0）， 又∵AF＝BF＝3， ∴OB＝1＋3＝4，AO＝3−1＝2， ∴A（−2，0），B（4，0）. 16．（1）；； （2）或． 17．解：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF，解直角三角形OAG可得OG，AG的值，然后再利用垂径定理求EF的值． 18．解：任务1：由素材1得：一块花岗岩的长为2肘，宽为1肘， 由素材2和3得：A、B两点间的水平距离为5.5块花岗岩的长，即 A、B两点间的高度差为7块花岗岩的宽，即 ∴水平距离11肘，铅锤距离7肘， 任务2：过点B作水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为D，作PQ⊥AD于Q，则圆心在AD所在的直线上，记圆心为O，连接PO、BO，如下图： ∴ 设OD为m，则OQ为4+m， 在中， ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∴半径为：肘. 学科网（北京）股份有限公司 $$