17.2.3第3课时　综合运用提公因式法与公式法分解因式课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

第3课时　综合运用提公因式法与公式法分解因式 2. 分解因式： (1) 2x4y3 – x3y4 = _____________； (2) 25a2 – 1 = ________________； (3) m2n2 + 8mn + 16 = _________. x3y3(2x – y) (5a + 1)(5a – 1) (mn + 4)2 1. 我们目前学习了哪些因式分解的方法？ 提公因式法 ，公式法 ：平方差公式、完全平方公式 例5　分解因式：　 (1) x4 – y4； 解：(1) x4 – y4 = (x2)2 – (y2)2 分析：可以用___________分解因式 = (x2 + y2)(x2 – y2) 平方差公式 其中 a = ____，b = ____ x2 y2 结束了吗？ 还能用平方差公式再分解 = (x2 + y2)(x + y)(x – y) 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (2) a3b – ab. 解：(2) a3b – ab = ab(a2 – 1) = ab(a + 1)(a – 1) 还能用____________再分解 分析：可以用___________分解因式 提公因式法 平方差公式 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法. 将下列各式因式分解： （1）p4 – 1； （2）x4 – 81y4； (2) x4 – 81y4 解：(1) p4 – 1 = (p2 + 1)(p2 – 1) = (p2 + 1)(p – 1)(p + 1) = (x2)2 – (9y2)2 = (x2 + 9y2)(x2 – 9y2) = (x2 + 9y2)[x2 – (3y)2] = (x2 + 9y2)(x + 3y)(x – 3y) 练习 （3）a3 – 9a； （4）4x4 – 36x2y2. (4) 4x4 – 36x2y2 (3) a3 – 9a = a(a2 – 9) = a(a + 3)(a – 3) = 4x2(x2 – 9y2) = 4x2(x + 3y)(x – 3y) 例6　分解因式：　 (1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) – ax2 + 2a2x – a3 . 解：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2 = 3a(x2 + 2xy + y2) 先提出公因式，再用公式法进一步分解因式 (2) – ax2 + 2a2x – a3 = –a(x2 – 2ax + a2) = –a(x – a)2 = 3a(x + y)2 把下列各式分解因式： （1）12a2b – 12ab + 3b； （2）x4 – 8x2 + 16； 解：(1) 原式 = 3b(4a2 – 4a + 1) = 3b(2a – 1)2 (2) 原式 = (x2 – 4)2 = [(x + 2)(x – 2)]2 = (x + 2)2(x – 2)2 （3）(x2 – 2x)2 + 2(x2 – 2x) + 1. (3) 原式 = (x2 – 2x + 1)2 = [(x – 1)2]2 = (x – 1)4 练习 探 究 你会把 x2 + 3x + 2 分解因式吗？ 完全平方公式 1 + 1 提公因式 方法一：x2 + 3x + 2 = (x2 + 2x + 1) + x + 1 = (x + 1)2 + (x + 1) = (x + 1)(x + 1 + 1) = (x + 1)(x + 2) 2x + x 方法二：x2 + 3x + 2 = x2 + 2x + x + 2 = x(x + 2) + (x + 2) = (x + 1)(x + 2) 提公因式 提公因式 还有其他方法吗？ x2 + (p + q)x + pq 型式子的因式分解 多项式乘法法则： (x + p)(x + q) = x2 + (p + q)x + pq 由等式性质可得： x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 方法三：x2 + 3x + 2 = x2 + (1 + 2)x + 1×2 = (x + 1)(x + 2) 竖分二次项系数和常数项 交叉相乘 x2 + (p + q)x + pq 1 1 p q × 1·q x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 1·p + = p + q 积相加 把下列各式分解因式： （1）x2 + 7x + 10； （2）x2 – 2x – 8； 1 1 2 5 1×5 + 1×2 = 7 解：(1)原式 = (x + 2)(x + 5) 1 1 2 –4 1×(–4) + 1×2 = –2 (2) 原式 = (x + 2)(x – 4) 练习 （3）y2 – 7y + 12； （4）x2 + 7x – 18. 1 1 –3 –4 1×(–4) + 1×(–3) = –7 原式 = (y – 3)(y – 4) 1 1 9 –2 1×(–2) + 1×9 = –18 原式 = (x + 9)(x – 2) 分解因式的一般步骤有哪些？ （1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式； （2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法、十字相乘法因式分解； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. 思 考 课堂小结 分解因式的一般步骤： （1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式； （2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法、十字相乘法因式分解； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. a3-9a分解因式的结果是 (　　) A. a(a-3)(a+3) B. a(a2+9) C. (a-3)(a+3) D. a2(a-9) 2. 下面是甲、乙两名同学将-x3+x分解因式的结果:甲同学,原式=-x(x+ 1)(x-1);乙同学,原式=x(1+x)(1-x).下列判断正确的是 (　　) 　 A. 只有甲的结果正确 B. 只有乙的结果正确 C. 甲、乙的结果都正确 D. 甲、乙的结果都不正确 A C 3. 4xy2-24xy+36x分解因式的结果正确的是 (　　) A. x(2y+6)2 B. 2x(y-3)2 C. 4x(y-6)2 D. 4x(y-3)2 4. 把4x2-16分解因式,嘉嘉的解答为4(x+2)(x-2);琪琪的解答为(2x+2)(2x-2).下列判断正确的是 (　　) A. 只有嘉嘉的结果对 B. 只有琪琪的结果对 C. 两人的结果都对 D. 两人的结果都不对 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 把8a3-8a2+2a分解因式,结果正确的是 (　　) A. 2a(4a2-4a+1) B. 8a2(a-1) C. 2a(2a-1)2 D. 2a(2a+1)2 6. 分解因式: (1) 3a(a-2b)+6b(2b-a)=　 　　　;  (2) a2b-25b=　　　　 　　;  (3) 3ma2-6mab+3mb2=　　　　　. C 3(a-2b)2 b(a+5)(a-5) 3m(a-b)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 分解因式: (1) 3b3-27b; (2) x2y-36y; (3) 3am2+12amn+12an2; (4) -mx2+8mnx-16mn2. (1) 3b(b+3)(b-3)　 (2) y(x+6)(x-6)　 (3) 3a(m+2n)2　 (4) -m(x-4n)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 把多项式4x2-36分解因式,结果正确的是 (　　) A. (2x+6)(2x-6) B. 4(x-3)2 C. 4(x+3)(x-3) D. 4x 9. (2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为 (　　) A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 10. 若m+n=3,则2m2+4mn+2n2-6的值为　　　　.  11. 若xy=5,a-b=3,a+b=4,则xya2-xyb2的值为　　　　. C D 12 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 分解因式: (1) -3a4+24a3-48a2; (2) m4-8m2+16; (3) x4-81y4; (4) (x2-y2+z2)2-(x2+y2-z2)2. (1) -3a2(a-4)2　 (2) (m+2)2(m-2)2　 (3) (x2+9y2)·(x+3y)(x-3y)　 (4) 4x2(z+y)(z-y) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 分解因式: (1) (6xy+1)2-81x4y4; (2) (x+y)2-10(x2-y2)+25(x-y)2. (1) (3xy+1)2(-9x2y2+6xy+1)　 (2) 4(-2x+3y)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$