17.2.1第1课时　利用平方差公式分解因式课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

第1课时　利用平方差公式分解因式 你能一眼看出 992 – 1 是不是 100 的倍数吗？ 你能想到我们学过的什么内容？ 计算： （1）(x + 5)(x – 5) = ________； （2）(3x + y)(3x – y) = _________； （3）(3m + 2n)(3m – 2n) = ___________. x2 – 25 9x2 – y2 9m2 – 4n2 分解因式： （1）x2 – 25 = _______________； （2）9x2 – y2 = _______________； （3）9m2 – 4n2 = ___________________. (x + 5)(x – 5) (3x + y)(3x – y) (3m + 2n)(3m – 2n) 多项式 a2 – b2 有什么特点？ 你能将它分解因式吗？ 是两个数的平方差的形式. 整式乘法 因式分解 (a + b)(a – b) = a2 – b2 a2 – b2 = (a + b)(a – b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 思 考 4 在下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的有 . ① a2 + b2 ② 2a – b2 ③ a2 – b2 ④ –a2 – b2 ⑤ –a2 + b2 × × × √ √ ③⑤ 练习 例1　分解因式：　 (1) 4x2 – 9； (2) a2 – 25b2 . 解：(1) 4x2 – 9 = (2x)2 – 32 分析：(1) a = ____，b = _____ (2) a = ____，b = _____ 2x a (2) a2 – 25b2 = a2 – (5b)2 = (a + 5b)(a – 5b) a2 – b2 = (a + b)(a – b) 3 5b = (2x + 3)(2x – 3) 例2　分解因式：　 解：(1) x2 – y4 = (x)2 – (y2)2 分析：(1) a = ____，b = _____ (2) a = ____，b = _____ x x + p (2) (x + p)2 – (x + q)2 = [(x + p) + (x + q)][(x + p) – (x + q)] = (2x + p + q)(p – q) y2 x + q = (x + y2)(x – y2) 整体思想 (1) x2 – y4； (2) (x + p)2 – (x + q)2 . 利用平方差公式分解因式，应注意： 1. 公式右边是两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同（即 a），另一项互为相反数（即 b 和 –b）. 2. 公式左边是这两项的平方差. 3. 公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式. a2 – b2 = (a + b)(a – b) （1） –4(x – 2y)2 + 9(x + y)2； （2）(x – 8)(x + 2) + 6x . (1) –4(x – 2y)2 + 9(x + y)2 = [3(x + y)]2 – [2(x – 2y)]2 = [3(x + y) + 2(x – 2y)][3(x + y) – 2(x – 2y)] = (5x – y)(x + 7y) (2) (x – 8)(x + 2) + 6x = x2 – 6x – 16 + 6x = x2 – 16 = (x + 4)(x – 4) 将下列各式因式分解： 练习 课堂小结 利用平方差公式分解因式： a2 – b2 = (a + b)(a – b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. * 公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式 1. 下列多项式中,能用平方差公式进行因式分解的是 (　　) A. a2+b2 B. -a2-b2 C. -a2+b2 D. a2-2a 2. (2023·杭州)4a2-1分解因式的结果为 (　　) A. (2a-1)(2a+1) B. (a-2)(a+2) C. (a-4)(a+1) D. (4a-1)(a+1) C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 9x2-y2分解因式的结果为 (　　) A. (9x+y)(9x-y) B. 9(x+y)(x-y) C. (3x+y)(3x-y) D. 3(x+y)(x-y) 4. 下列各式中,利用平方差公式分解因式正确的是 (　　) A. 1+25a2=(1+5a)(1-5a) B. m2-16m=m(m+4)(m-4) C. x2-9b2=(x+9b)(x-9b) D. 9-4x2=(3+2x)(3-2x) 5. 某同学分解因式时,把式子a4-=(a2-b)(a2+b)中的一部分弄污了,你认为式子中的所对应的整式为 (　　) A. b2 B. -b2 C. b D. -b C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 运用平方差公式填空: (1) x2-　　　=(x+11)(x-　　　);  (2) -1+　 　　=(1+13m)(　　　-1).  7. 分解因式: (1) (2024·德州)x2-4=　　　　　;  (2) (2023·兰州)x2-25y2=　 　　　　.  121 11 169m2 13m (x+2)(x-2) (x+5y)(x-5y) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 已知|x-4y+2|+=0,则x2-16y2的值为　　　　. -10 解析:根据题意,得∴ ∴ x2-16y2=(x+4y)(x-4y)=5×(-2)=-10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 把下列各式分解因式: (1) x2y2-1; (2) 81-m2; (3) -25+a4b4; (4) 49x4-25y2. (1) 　 (2) 　 (3) (a2b2+5)(a2b2-5)　 (4) (7x2+5y)(7x2-5y) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 若a+b=3,则a2+6b-b2的值为 (　　) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 11.对任意整数n,(2n+3)2-1都 (　　) A. 能被2整除,不能被4整除 B. 能被3整除 C. 既能被2整除,又能被4整除 D. 能被5整除 12. 如果在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的小正方形,那么剩余部分的面积为　　　　cm2. C C 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 把下列各式分解因式: (1) 9a2-(2a-b)2; (2) (2a-b)2-36a2; (3) (x+3y)2-(x-3y)2; (4) 25(m-n)2-(m+n)2. (1) (5a-b)(a+b)　 (2) -(8a-b)(4a+b)　 (3) 12xy　 (4) 4(3m-2n)(2m-3n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 利用因式分解简便计算: (1) ; (2) ×…×. (1) 原式===500　 (2) 原式=×…× =×…×= = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图,在一个大圆盘中,镶嵌着四个大小一样的小圆盘.已知大、小圆盘的直径都是整厘米数,涂色部分的面积为7πcm2,求大、小圆盘的半径. 设大圆盘的直径为d1cm,小圆盘的直径为d2cm.根据题意,得 π-4π=7π,即-4=28.分解因式,得(d1+2d2)(d1-2 d2)=28.∵ d1,d2均为整数,∴ d1+2d2,d1-2d2均为整数.又∵ d1+ 2d2和d1-2d2的奇偶性相同,∴ 解得∴ =4,= 1.5.∴ 大、小圆盘的半径分别为4cm和1.5cm 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$