2.2.2 直线的两点式方程（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 人教A版2019选择性必修第一册·高二 2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程 章节导读 确定直线位置的几何要素：点、方向 直线的倾斜角和斜率 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的一般式方程 点到直线、两平行直线间的距离 两条直线间的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 确定圆的几何要素：圆心、半经 圆的标准方程 圆的一般方程 两点间的距离公式 两条直线平行和垂直的判定 学 习 目 标 1 2 3 掌握直线的两点式方程和截距式方程 会选择适当的方程形式求直线的方程 能用直线的两点式方程与截距式方程解决有关问题,提升数学运算的核心素养 新知导入 若已知直线l上任意两点P1 (x1, y1)，P2 (x2, y2)，能否不借助直线的点斜式方程就直接求出该直线的方程？ 引例： 经过两点(﹣1,2)，(﹣3，﹣4)的直线的方程是__________. 新知探究 问题1 已知直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2), 因为两点确定一条直线, 所以直线l是唯一确定的. 也就是说, 对于直线l上的任意一点P(x, y), 它的坐标与点P1, P2的坐标之间具有唯一确定的关系, 这一关系是什么呢? （提示：由经过两点P1, P2的直线的斜率公式可以求出直线l的斜率, 然后再利用直线的点斜式方程即可得到直线l的方程） x y O P1(x1, y1) P2(x2, y2) l 当x1 ≠ x2时, 经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直线的斜率为 任取P1, P2中的一点, 例如, 取点P1(x1, y1), 由直线的点斜式方程, 得 当y1 ≠ y2时, 方程可写为 定义新知 直线的两点式方程 这就是经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2)的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 定义新知 追问 两点式方程可以表示坐标平面内的任何直线吗? 当x1 = x2时, 直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1= 0, 即x = x1. 当y1=y2时, 直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1= 0, 即y = y1. y = y1 x y O P1(x1, y1) P2(x2, y2) l 注意: 1.两点式适用于斜率存在和斜率不等于0的直线，即与两坐标轴都不垂直的直线. 2.直线的两点式方程使用的前提条件： x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 x = x1 x y O P1(x1, y1) P2(x2, y2) l 新知探究 问题2 不利用点斜式方程，你能求出两点式方程吗? x y O P1(x1, y1) P2(x2, y2) l P(x, y) 课后练习 课本练习 1.求经过下列两点的直线的两点式方程: (1) P1(2,1), P2(0,－3); (2) A(0,5), B(5,0). 典例分析 例1 如图, 直线l与x轴的交点是A(a,0), 与y轴的交点是B(0,b), 其中a ≠0, b≠ 0 , 求直线l 的方程. x y O A B l 思考 解： 将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得 即 ① 其中, a叫做直线在x轴上的截距, 简称横截距, b叫做直线在y轴上的截距, 简称纵截距. 定义新知 直线的截距式方程 方程①由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定, 我们把方程①叫做直线的截距式方程, 简称截距式. ① 截距可以取全体实数, 但截距式方程中的截距, 是指非零的实数； 因此截距式方程不适用： 追问 截距式适用于怎样的直线? ①过原点的直线方程, ②不包括与坐标轴垂直的直线方程. 新知探究 形式 条件 直线方程 应用范围 两点式 截距式 已知直线上两点的坐标 已知直线在两个坐标轴上的截距 斜率存在且斜率不为0，还得不过原点的直线. 斜率存在且斜率不为0的直线 (x1 ≠ x2, y1 ≠ y2) (a ≠ 0, b ≠ 0) 联系: 问题3 截距式与两点式有什么联系和区别？ 截距式方程是两点式方程的特殊情况。 典例分析 例2 已知三角形的三个顶点A(－5,0), B(3,－3), C(0,2), 求边BC所在直线的方程, 以及这条边上的中线AM所在直线的方程. M x y O B(3,-3) C(0,2) -5 2 -3 3 A(-5,0) 典例分析 P M x y O B(3,-3) C(0,2) -5 2 -3 3 A(-5,0) 变式 三角形的顶点是A(－5,0), B(3,－3), C(0,2), 求： (1) AB边上高线所在直线的方程； (2) AC边上中垂线所在直线的方程. 解： (1) 由AB边上高线过C(0,2)， 且垂直于AB, 故AB边上高线所在直线的方程为 ∴高线的斜率为 即 典例分析 变式 三角形的顶点是A(－5,0), B(3,－3), C(0,2), 求： (1) AB边上高线所在直线的方程； (2) AC边上中垂线所在直线的方程. N 解： (2) ∵AC边上中垂线过AC边的中点 且垂直于AC, ∴中垂线的斜率为 ∴AC边上中垂线所在直线的方程为 即 x y O B(3,-3) C(0,2) -5 2 -3 3 A(-5,0) 课后练习 课本练习 2. 根据下列条件求直线的截距式方程, 并画出图形: (1) 在x轴、y轴上的截距分别是2, 3; (2) 在x轴、y轴上的截距分别是－5, 6. x y O 2 3 l x y O －5 6 l 课后练习 课本练习 (1)5x-3y+15=0 (2)3x+5y-15=0或7x+5y-35=0 3. 根据下列条件, 求直线的方程: (1) 过点(0, 5), 且在两坐标轴上的截距之和为2; (2) 过点(5, 0), 且在两坐标轴上的截距之差为2. 直线的两点式方程 题型一 题型探究 【例1】(1)已知直线 的两点式方程为 ，则 的斜率为( @5@ ) A. B. C. D. (2)经过 与 两点的直线的方程为( @7@ ) A. B. C. D. A [解析] 由题意知,直线 <m></m> 经过点 <m></m> , <m></m> ,所以 <m></m> 的斜率为 <m></m> . B [解析] 由 <m></m> , <m></m> 两点的坐标可知,直线 <m></m> 与 <m></m> 轴平行, 所以直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ,故选B. 直线的两点式方程 题型一 题型探究 【例1】(3) 求过 <m></m> , <m></m> 两点的直线 <m></m> 的方程. [解析] ①当 <m></m> 时，直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ； ②当 <m></m> 时，直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ，即 <m></m> . ∵当 <m></m> 时， <m></m> 满足上式， ∴直线 <m></m> 的方程为 <m></m> . 直线的两点式方程 题型一 题型探究 解题感悟 当已知两点的坐标求过这两点的直线的方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件.若满足，则考虑用两点式求方程. 直线的截距式方程 题型二 题型探究 例2(1)已知直线 过点 ，且在 轴上的截距为在 轴上的截距的两倍，则直线 的方程是( @11@ ) A. B. C. 或 D. 或 [解析] 设直线 <m></m> 在 <m></m> 轴上的截距为 <m></m> ，则直线 <m></m> 在 <m></m> 轴上的截距为 <m></m> . 当 <m></m> 时，直线 <m></m> 经过原点，其方程为 <m></m> ，即 <m></m> ； 当 <m></m> 时，直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ， 因为直线 <m></m> 过点 <m></m> ，所以代入 <m></m> 得 <m></m> ，解得 <m></m> ，所以直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ， 即 <m></m> . 综上，直线 <m></m> 的方程为 <m></m> 或 <m></m> ，故选C. C 直线的截距式方程 题型二 题型探究 【例2】(2)若直线过点 且在两坐标轴上的截距之和为0,则直线 的方程为( ) C A. B. C. 或 D. 或 [解析] 当直线过原点时,其方程为,即 ,符合题意; 当直线 不过原点时,因为直线在两坐标轴上的截距之和为0, 所以可设直线的方程为,将点的坐标代入直线方程,可得 , 解得 , 所以直线的方程为 综上,直线的方程为或 直线的截距式方程 题型二 题型探究 解题感悟 用截距式方程时需要注意以下三点： （1）若问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. （3）要注意截距式方程的逆向应用. 直线的两点式方程与截距式方程的综合应用 题型三 题型探究 【例3】(1)一束光线从点 射出,经 轴反射后过点 ,则入射光线和反射光线所在直线的方程分别为________________，________________. <m></m> <m></m> [解析] 易知点 <m></m> 关于 <m></m> 轴的对称点为 <m></m> . 由已知可得入射光线所在的直线为直线 <m></m> , 则入射光线所在直线的方程为 <m></m> ,即 <m></m> . 易知点 <m></m> 关于 <m></m> 轴的对称点为 <m></m> . 由已知可得反射光线所在的直线为直线 <m></m> , 则反射光线所在直线的方程为 <m></m> ,即 <m></m> . 直线的两点式方程与截距式方程的综合应用 题型三 题型探究 【例3】(2)已知直线的倾斜角的正切值为 ,且它与坐标轴围成的三角形的面积为6, 求直线 的方程. [解析] 设直线的方程为,倾斜角为 , 由得- , 解得或 故所求的直线方程为-或 课堂达标 1.过点 的直线方程为( ) C A. B. C. D. [解析] 由得 课堂达标 2.若直线 在两坐标轴上的截距都是负数，则( @28@ ) A. 直线 的倾斜角为锐角，且不过第二象限 B. 直线 的倾斜角为钝角，且不过第一象限 C. 直线 的倾斜角为锐角，且不过第四象限 D. 直线 的倾斜角为钝角，且不过第三象限 B [解析] 由题意，设直线 <m></m> 的截距式方程为 <m></m> ， 显然直线 <m></m> 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角. 课堂达标 3. 若直线与两坐标轴的交点分别为 ,且线段的中点坐标为,则直线 的 方程为_______________. [解析] 依题知,直线 在两坐标轴上的截距都存在且都不为0, 设直线的方程为 , 又线段的中点坐标为 , 则,即 , 则直线的方程为 , 即 课堂达标 4.过点,且在轴上的截距和在 轴上的截距相等的直线的方程为________________. [解析] 设直线在轴上的截距为 , 则直线在轴上的截距也为 , 当时,直线经过原点,直线方程为 当时,该直线方程为 , 则 , 解得 ,所以方程为 , 即 , 综上,直线方程为或 y=2x或x+y-3=0 课堂达标 5. (多选题) 光线自点 射入，经 轴反射后经过点 ，则下列选项中反射光线所在的直线经过的点有 ( @30@ ) A. B. C. D. AD [解析] 点 <m></m> 关于 <m></m> 轴的对称点为 <m></m> ， 则反射光线所在的直线经过点 <m></m> 和点 <m></m> ， 则反射光线所在直线的方程为 <m></m> ， 即 <m></m> . 将四个选项中的点的坐标分别代入直线方程进行验证可知 <m></m> 、 <m></m> 选项符合题意. 课堂小结 1.至此，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？ 四种：点斜式、斜截式、两点式、截距式 2.它们之间的关系如何？ 斜截式是点斜式的特殊情形. 两点式是由点斜式推导出来的, 而截距式是两点式的特殊情形, 所以点斜式方程是四种直线方程的 核心 涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率． 感谢聆听! $$