期末重难点提升5 直角三角形&中考素养新考法-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（湘教版2024）

©期末重难点提： 1.(株洲期未)我国是最早了解勾股定理的国家 之一，它被记载于我国古代著名的数学著作 《周髀算经》中.下列各组数中，属于“勾股数” 的是 () A.1,2,3 B.3,4,5 C.4,5,6 D.5,6,7 2.如图，已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点 E,F,则在下列各组条件中选择一组，其中不 能判定△ABE≌△DCF的是 () A.AB=DC,∠B=∠C B.AB=DC,AB∥CD C.AB=DC.BE=CF D.AB=DF.BE=CF 第2题图 第3题图 3.(岳阳二模)如图，一块直角三角板的60°角的 顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD, GH上，若斜边AB与直线GH交于AB的中 点E,则∠EAD的大小为 () A.60° B.55° C.45° D.30 4.如图①，某温室屋顶结构外框为△ABC,其中 ∠B=∠C=30°，立柱AD=2m,且与横梁BC 垂直.冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱 增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC (点E在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC,如 图②所示.若此时立柱EF=3m,则向阳面斜 梁增加部分AE的长度为 图① 图② A.0.5mB.1m C.1.5mD.2m 129探究在线八年级数学（上）·X灯 升5直角三角形 5.(长沙阶段练习)如图，△ABC的三边AB, BC,CA的长分别为20,30,40，三角形三条角 平分线将△ABC分为三个三角形，若S△= 30,则S△Ac等于 () A.180 B.155 C.150 D.135 0 第5题图 第6题图 6.如图，点E在△ABC的边BC上，D为线段 BC上方一点，连接DE,DB,且AC=BE,AB =BD,∠ACB=∠BED=90°，若∠1=28°，则 ∠2的度数为 7.(衡阳一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠B=60°，D是BC边上一点，过点D作DE ⊥AB于点E,若DE=DC,则∠ADE的度数 为 B 第7题图 第9题图 8.(郴州阶段练习)已知A,B.C是海上的三座小 岛，岛A在岛C的北偏东38°方向上，距离为 5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是 13海里和12海里，则岛B在岛C的 方向上 9.(邵阳期中)如图，A是正方体的一个顶点，B 是正方体一条棱的中点，已知正方体的棱长为 3cm.一只蚂蚁如果要沿着正方体表面从A 点爬到B点，需要爬行的最短距离为 cm. 10.(中考·陕西)如图，在 △ABC中，AB=AC,E 是边AB上一点，连接 A CE,在BC右侧作BF∥AC,且BF=AE,连 接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC 的面积为， 11.(湘西期中)如图，AD,BC相交于点O,AD BC,∠C=∠D=90°.求证：△AOC≌△BOD. 12.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC =90°，E,F分别是对角线AC,BD的中点， AC,BD交于P,当∠BAC=15°，AC= 12cm,PB=PE时，求EF的长. 13.如图，在△ABC中，∠CAB=50°，点D在 △ABC的外部，且AD平分∠BAC,过点D 作DE⊥AC,交AC的延长线于点E,DF⊥ BC,交BC于点F,连接BD.若∠BCE= 104°，DE=DF,求∠DBC的度数. 14.如图，某小区的两个喷泉A,B位于小路AC的 同侧，两个喷泉间的距离AB的长为25m.现 要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M 在小路AC上，供水点M到AB的距离MN 的长为12m,BM的长为15m. (1)求供水点M到喷泉A,B需要铺设的管 道总长： (2)请求出喷泉B到小路AC的最短距离. 期未复习130 ©中考素 类型1数学文化 1.(中考·淄博)《九章算术》中提道：今有户高多 于广六尺八寸.两隅相去适一丈.问户高、广各 几何？其大意为：已知长方形门的高比宽多 6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽 各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)若设门 的高和宽分别是x尺和y尺，则下面所列方程 组正确的是 () x=y-6.8, x=y-6.8, A. B. x2+10=y x2+y2=10 C,r=y+6.8, x=y+6.8, D. x2+10=y2 x2+y2=10 类型2结论开放 2(中考·吉林)当分式有的值为正数时，写出 一个满足条件的x的值为 3.(中考·盐城)已知：如图，点A,B,C,D在同 一条直线上，AE∥BF,AE=BF 若 ,则AB=CD 请从①CE∥DF:②CE=DF;③∠E=∠F这 3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结 论成立，并说明理由。 类型3跨学科 4.(中考·山西)一只杯子静止在 斜面上，其受力分析如图所示， 重力G的方向竖直向下，支持 力F,的方向与斜面垂直，摩擦 131探究在线八年级数学（上）·X灯 养新考法 力F:的方向与斜面平行.若斜面的坡角a= 25,则摩擦力F,与重力G方向的夹角3的度 数为 () A.155 B.125° C.115 D.65 类型4整体思想 5.(中考·北京)已知a-b-1=0,求代数式 的值 类型5新定义 6.(中考·遂宁)如图①，△ABC与△AB,C,满 足∠A=∠A1,AC=AC1,BC=B:C,∠C≠ ∠C,我们称这样的两个三角形为“伪全等三 角形”.如图②，在△ABC中，AB=AC,点D, E在线段BC上，且BE=CD,则图中共有“伪 全等三角形” 图① 图@ A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 类型6回归教材 7.(教材P54“思考”变式)（中考·呼伦贝尔）A, B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机 器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A 型机器人搬运900千克所用时间与B型机器 人搬运600千克所用时间相等.A,B两种机器 人每小时分别搬运多少千克化工原料() A.60,30 B.90,120 C.60,90 D.90,60141归5 期表重难点提升？分式 周长方形的国积为VE×4,年■经(m):正方形的面积为 断以△A山和△HG是直角三角形， 2)雀整C,圆为O为△AKC角平分线 1.B ZA 3.C 4A 5.C 6C 7.A 3厘×52=0（白 在△ABD有△AC中：AD-E, IAB=BA. 的交点， 子黄年0-1波 闪为50效，所日围成的王方形直积大， 州以由角平台线的性题蜜理可延O到 期末重数点提升4三角形 振且△AH0Gk:△LAC所gAC-B 三动的离松养。 业眼式一是家式- 3D原式=-1-工 1A3,A1C4,日5日607，是定胜 ∠=∠D, 根基对程纪现，得 &x=09.1610,0”113518.181k2.5 在△A0C△00中，∠C-∠D, AB=√AC+=J0 化好一号是原处式方配的解。 ()复分式左程无解 14.)明：国为8ELAC,CD⊥A&, AC-8D. 5m一宁XX5- A服式中 箭以∠ADC=∠AH=9的 而以△OC4△B0. 在△ADC利△AEB中 IL.相图，市被五港，ED 5m-5a+5g+5am,目号×X0D叶号X 因为分式要有意又： ∠A-∠A. 国为∠A=∠ADC=9', 所反a≠生2月≠0且≠一L ∠AC-∠AH, AE-ECAC12 cn 00+×10×00-4,停0D-1 所以一1时原式-南一名 ACAB. 断4H-EA--D-支AC 依心素养是丹 4将分式左程两过只乘(：一2》，得n-1一3： 界世△DCRAAEB.原HAD=AE 15,C 解得一和一1 《)A0雅有平分C.理由虹下： ×2-6m 维合与实践利两拼接探现勾酸定 因为方程的解是非负数。 割图，国为AB=C,所以∠AC=∠Am 因为BF=FD,期以LEF⊥BD 茶延在域 所以n一>0，解每网1 明为△AD△AEB,所以∠AHE=∠CD 世为EA=U.所以∠EAE=∠EM=1F LC 2.B 又因为士一2≠0，博≠2，期以m≠2 界H∠DCB=∠EBC.两世BO=C2 际以∠BEC=∠EAB+∠HA-的 综上，和的家债直用为知1且牌学 灵因为AB=C,界以AO康直平#BC 围为PH-PE,两以∠EBF-∠BEC-8 1差接AC,AC 1H1①① 15,(1)L明：因为ADC,所其∠B=∠EAD 乐以F-EB-令×6一3m (2若道棉“解法一”，过W如下， 两为∠B-∠D, 品6十5周片+月十) ,如图，蓬接CT市.过点D作D灯LAB,交 设甲种直昌每特进的为x无，则乙种高品相件并价为 断H∠EAD=∠D AB的延长线于点G, （一扣》无，由通意，得 明为AF=DF, ∠AFE=∠D℃， 图为DE上AC,DF⊥C,DE=DF,屙 保CD平分∠E 所d++e-r+ 9吧器解得间 所以△AFa△DC角边角)，所以AE=I 经投酸，一D是原分式方程的解，且种合是鱼 (2)△军是等应角形，理由如下， 国为AD平分∠AC,DE⊥ACG,G⊥AN 所以+日=2， 所且一0=D一如=0 国为∠EAD=∠D,期L BEWCD. 所以D星=所RDN=IDa 能力在楼 荐，甲种南餐件的避静为0完，乙肿商昌每件的近便 所过D平分∠C 里为∠五=“，前以∠D=∠E- LC 为30元. 因为CE平分∠D,睛以∠C言=∠D一0 W为∠ABC-∠CE-CAB=10M'-0-54, 拓漏在线 若道择“解法二“，过型略 所以∠BCE=∠E=的 析H∠CG=I-∠AG=126 5.(1)24.42)5 (》设甲种商售斯避a特，则乙斧商4购通(40一=》件 所以∠B=0一∠kE-∠E, 所∠nC-子∠CG- 期末复习 由超意，得 两国∠改E=∠E=∠乱阳以△E是等边三角形， 14.1电题意闻得，WLB,AB=25m 阁末重难点摄开1回式分解 50加+30(40一》G1450,解得aG25. I6,可这取①或（只造一个即可） N=12a,M=15m 1B2,D3,C4A5,B4-6 :至多南击甲种商品12件， 汇明：当进取①时， 在RAMN中，∠BNM-0 7.(1g+)421(x+7)(a2r+202 帮末重率点提升3二次根式 在△BF和△CDE中 联其V=√F-wN=1-17-0m .82.B3.A4B5.D ABCD, (496a-1 所其AN=AB一程N=2共一P=16(m. 60紫式--反.照式-不 AF-CE,所L△A☑△C成所∠H=∠ 8.土49,10 BP-DE. 在△AMN中，∠AV=n ,I)第式=工一y)r一g一1： 1期式-3y后. 因为BF=DE,所以BF+EF=DE+EF 展以A=、W+MN=√P区=0《m) )第式-十x+ 3期为不-在二止 厚一) 所BE=DF e以M+BW-2)+1月-35(m) ++w西-， (AB-CD. 每俱水点M度泉A山需要轴设的管道总能为菊m 3)算式=(Tu-b)[a-74) 3+2) 在△LBE和△CDF中.∠B-∠D, ()在△H时中，A山-路m,4M--M-15m 11.10累其-2-2×222×221+222✉(2☒-边，1-上 西+ BE DF, 因为+A=1+0=2==A0, 42)原式=《31+14w》X《21-14w》一755X1刀=T6 殿巴3-w修-2)'-w作+2)'-3-3%+2-(3+ 箭以△AIE△E.∠AE-∠CF 所以△ABbM是直角兰角形，∠AMB=0 ×78-763×78-760×471-373)=769×100 断以AE下 脂以M⊥C 7550城. 2v6+20=-4. 当选取西时，汪阴略， 属以项南B到个解AC的最短厘离为B时5n 所对-y十号-一护-《-4)'-城 期末重雄点提开5直角三角形 中考囊养征考注 4(e+6e)中4=《+n+2), 识.由惠意可知，长方形的长为4w8m: LB2.DaA4.D5D6.67.7 LDL0(案不唯一) 因为为正极数，所国+5n十2这为正整数， 质过长方形的周能为 a.毒样①C君8DF 所反代数式体七1)(m十4)(d十5加)十4的值一忽是某 2×4w区+4w8)=2×6g=2N2《dmU. 将傅东该式编丙橙身平现和 延明短下 个整数的平方 所以惯成的方形长为臣4-5反(n》, 1l,国为∠C-∠0-时 网为AE8BF:CEDF 家究在筑·八年级数学（上》·灯一 29 所以∠A-∠FD. -2-x十1=-22十4)十3=-2（十4x十4 ∠D=∠ECA. -4)+3m-20十201+11 所过一2是节-5的解， 队因为士 3+2厘 -t58-2a+网848 四为AE-F,期以AA☑AF角角边 则当上一一2时，多项式一一8x+3有盘大值，最大值 则有变-5。朝得w一a -2 新以A=BD 是11 新世AC-B-BD-BG,母AB=CD (3》四为2+0-12a+5+21=0, 2,京子知0，断u,1- 3计2a+0-2a1-2 赞其y=(3432×3-22)-1 秀保空证明略。 所假2a-1+3W++1月+1=4 +1+22+8-22=6, 4,C 所识2d一6+1十W十站+1=0 即一1+-7，期+-8 x-y=1+22-3+22=42. 6.四为g一b-1=0,所以a-h=1 所线2a-3D+36b+1P=0 所反4一1=0,6+1=我 u坦-241+}-(+})+1-（+ 1y3y=ryr-0=4. 所保4-3，-=1， ）-+1-(+-1-4-1- 20x-y+y=r+y'-)-31 所以ab=1×(一1)=-氢. 24.(1这个舞台的宽为√信面+√1离=√面-5V2m 答：这个料名的宽为5至即 6.D7D 第2章学情评估 思+ 第1章学情评估 1A第B1,A4D1,DS:ATBA (》装修暗长吉形舞台AD的度积为(Ag+ L.A 2.D 1,8 4.D 5 I 6.A 7.A &.A DnB山12号 .o品×(-》-3-品 22)(币+2m(82+2w(5径+2Z)=16, 9,D10,C1l,h-c(a+3) 且114年15,0或 a×》-g品 ×7厘=10(. 1山.一2养室不W一) 荐：转物后长方参鼻台AD的崖积是10 1.4r+3y(2a+v5y12x-5y 板+11·答鉴不道-) 精×()×寄- 25.15-号“1+石y-1m2+25 14.14 1”4山 s-%-1+)°-(1+2)一6+22， 15,+en卡3=（时中3(w十 即左边一右边：放德短成立 5-8=0+8)'-1+22-10+2v5 1t.87,>a15.7 收源味-去位源式-号 19.1)期式(x+2y)':(2》厚式=(x-8》(x+8). 24.(1)我乙礼鼻，单情为z元，则甲黑是等单骨为上5r元 21第插，81一￡=4a一2十2泛.里由知下 拉1原大-二是. 2a+ 9,1》则式-31-1)×(21十1)=国=211-1 干8十2a-a+ 由题生，得型-把+，新得一0 5→8=(1+m1)'-1+(m-12J=1+82#+ 2215=-1, w-[1+32-11+2g-1y]-1+25w+m-(1 能脑验：一0是草方程的解：且势合后意 2)聚式■267+6.s8*+2×互.328×3.72■〔後67阳 两但甲礼丛的单价为15×50=后（元）， +2w2m一2区+2-4m十2)=1+1Em+2-1 +63m)5=1=100. 答：平礼凸的单偷为5元，乙礼凸的单货为0元 22w+2夏-2+4e-2=4n-2十2v5 25,那式-x《m-2)(10-3w) 清 《2)设脑买n件口礼昌，则南买（的一m)件乙礼昌， 孩1原式-√》-2x有1+下-3-5-1. 把于=上5：mm6代人，得厚式=一8 0式-产·-的 由延直，得 1,1边三 十地 原式-w:-D+了+√W47 6n×8轴%十50(30一国)×%%G10处.解有加G10 29-4y2+12=6-4y=442-2》=4(2r+ 有，量老购买10件甲礼是 +…+(0--2-1+4-2+4-+… yH2r-yl. 1(1》由T能简公分为(：一3》(2x一1)，于是痛方程简 第3章学情厚估 +而5=0-1 1.量刻一个因式为x十n,得山Y+一★=(2一1D0x十n: 边月乘〔a-)(2一【)，得 2(2红一1)-3(x一3)，解得x=-, 1,CC2,64A5B8,D7,8kA 男中修情伊估 于是22十一4-2十(2-1)m, 1.C 2.B 3.B 4.B 6.A 6.D 7.C 8 C 所以2一1=，-=-起 轻检验，=一？是草分式方程的解 9.D.10.B 界以用=3，k=反 ()由于量格公分每为(x一1)(+1)，于是格方鞋两边 1l.212.31188《答案不装一1 D16C1h.212.号1&20 所以另一个因式为十5小的售为5 同《一1)（￥十1），得 14,-11521&25+2v2-5 24.1)如需缘数”20,20-/一45，暮案不号一1 (x-11十2(x+1》=4,解将x-1 17,6/6-118,52 出行器-婴 2D证明.显周个连候属数分到为2m图1n十2，其中■为 险象将：用1代人原分式方型，友型右也的售为后，不 19.1)取式■一√区.2)意式3-3 1以0眼大-是m聚式-2+5 自然数： ,因为一可有意又， 2瓶1厘式-3y2十1y0一3)， 2m+21-(2知P=(2w+2+2m)12m+2-21=2(4a+ 存在这种数，因此=1不是厚什式方程的解，从青厚分 2D=4(2十10. 式方程尤解 所以u-505一0 (0原式■x+1'0a-1', 说欧“吕 斯但■=互霄以6=机 21.(1由于最同公业时为2《：一3)，于是将方程判边同乘 塑为冷为自档数，所以2十1为整数 新以√十百一√西- 2(x-3),得 所以(a十)一(2a)扩能够教4整豫 国为学0且中3，所以=一1或x=1或x=2 2L,10画 2(1一》-1一《2x一)，解科=一4. 口任章的偶像数“基帽被4楚晚： 25.圆为(w十小-0a十-05， 朦试-(-经)-（停+w)-5-皇- 经径脸，一一4是原分式方程的解， (21由于量筒会分号为《x十2){x一2)，于是将方限臂边 所以a+c一0(a十c=息 该当一1时鼎这~高一山 相乘(+2)（一2），得-2)2=(x+2)'一16，解得 界以(e一a十k+r)=自 府-2瓜一-9夏-6-妈 因为a*6,所线46千h十=e,即b一T4 慢当一2时，泉式“与一2 所以-ak=以eh十k)=Pa十r)=2四. 红那式一 检酸将用一3代人原登式方程方程有站的值为普 规且h=一10以5 丝岩样2 不存在这种数，因此■一望不路眼分式方程的解，从面 26.1r+12(+5) 经使装，一2是原方程的解 嘴x一度-1时：累式-1+兰2±1.2士区 原分式方程无解 30 一探究在线，八年组数学（上）+一