第5章 直角三角形(小练)-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（湘教版2024）

4.3.4 1.D2.D3.C 4.(1)证明：因为E是BC的中点，所以EB -2BC,因为AC=是BC,所以AC EB.在△ABC和△EDB中，BC=DB, AC=EB,AB=ED,所以△ABC≌ △EDB(边边边). (2)AC∥BD.理由如下：因为△ABC≌ △EDB, 所以∠ACB=∠EBD.所以AC∥BD. 4.3.5 1.A2.2角角边 3.在△ABD和△ACD中，AB=AC,AD= AD,BD=CD,所以△ABD≌△ACD.所 以∠BAD=∠CAD.即AP平分∠BAC 4.4第1课时 1.D2.(1)∠a(2)ac 3.图略. 4.4第2课时 1.D 2.(1)①A ②DMDE ③点E ED B EF(2)角边角 3.图略. 4.5第1课时 1.100° 2.(1)BD=CD,AD⊥BC (2)∠1=∠2，AD⊥BC (3)BD=CD,∠1=∠2 3.664.B5.∠BAE=20°.∠1=125 4.5第2课时 1.B2.A3.D4.2 5.因为∠B=75°，∠C=35°，所以∠BAC= 180°-∠B-∠C=70°.因为AD平分 ∠BAC,所以∠BAD=∠DAC=35°. 所以∠C=∠DAC.所以AD=CD. 4.5第3课时 1.C2.C3.D 4.(1)90° (2)AF∥CE.理由如下：因为△ABC是 等边三角形，AF平分∠BAC,所以AF ⊥BC,∠ACB=60°.因为∠AEC=120°， AE=CE,所以∠ACE=30°.所以∠BCE =∠ACB十∠ACE=90°.所以EC⊥BC. 所以AF∥CE. 4.6第1课时 1.C2.C3.B4.55 5.因为点P是AB的垂直平分线上的点， 所以PA=PB.同理PB=PC.所以PA =PB=PC.所以点P在边AC的垂直平 分线上 4.6第2课时 1.C2.图略.3.图略. 5.1第1课时 1.A2.B3.A4.B 5.因为∠ACB=90°，所以∠ACD+∠DCB =90°.因为∠ACD=∠B,所以∠B+ ∠DCB=90°，所以△CDB是直角三角形. 5.1第2课时 1.A2.C3.B4.BP=12cm. 5.2第1课时 1.√22.153.2π4.24 5.(1)c=20.(2)a=5. 5.2第2课时 1.D2.C 3.(1)BC的长为16m. (2)这辆小汽车在BC段的速度约是 10.7m/s. 5.2第3课时 1.D2.A3.0.5 4.因为82+152=172，所以AC2+AB2= BC.所以△ABC是直角三角形，且 ∠BAC=90.°所以SAABC= 2AB·AC =号BC·AD,即7×15×8=合×17 XAD.所以AD=120 17 5.3 1.B2.B3.C 4.因为AB⊥BC,FC⊥BC,所以∠ABE= ∠BCF=90°.因为AE=BF,BE=FC, 所以Rt△ABE≌Rt△BCF(斜边、直角 边).所以AB=BC. 5.4第1课时 1.=2.55°3.B 4.因为AB=AC,所以△ABC是等腰三角 形.因为BD=DC,所以AD是∠BAC的 平分线.因为DF⊥AB,DE⊥AC,所以 DE=DE 5.4第2课时 1.>2.23.C 4.如图所示，连接ED,因为EF =EC,DF=DA,所以∠C= ∠CFE,∠A=∠AFD.因为 ∠B=90°，所以∠C十∠A= 90°.所以∠CFE+∠AFD= 90°.所以∠DFE=90°.因为DA=DB, DF=DA,所以DB=DF.所以点D在 ∠BEF的平分线上. 一探究在线·八年级数学（上）·X 6第5章 直角三角形 5.1直角三角形的性质定理 第1课时直角三角形的性质与判定 1.在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.斜三角形 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=2:3,则∠A= () A.66° B.36° C.56° D.46 3.如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：cm)测量三角形纸片的尺 寸，点B,C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若 ∠BAC=90°，则AD的长为 () A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm B D 中中平 0123456789 第3题图 第4题图 4.（中考·齐齐哈尔)将一个含30°角的三角板和直尺如图放置，若 ∠1=50°，则∠2的度数是 () A.30° B.40° C.50 D.60° 5.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ACD=∠B.求证： △CDB是直角三角形， B -36 第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用 1.(长沙期中)如图是某公园的一滑梯侧面图，已知∠ACB=30°，滑 梯架的高AB为2m,则滑梯AC的长为 () A.4 m B.5 m C.6 m D.7 m 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC,则∠A的度数是() A.90° B.45° C.60° D.30° 3.(长沙期末)若等腰三角形的顶角为30°，腰长为8，则这个等腰三 角形的面积为 () A.8 B.16 C.24 D.32 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，P是BC上一点，且 ∠BAP=90°，CP=6cm.求BP的长. —37— 5.2勾股定理及其逆定理 第1课时勾股定理 1.(长沙阶段练习)我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数 轴上的单位长度为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点为圆心， 正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”,如图，线段OA的 长度是 B 第1题图 第3题图 2.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是 3.(岳阳期末)如图，∠ABC=90°，CB=3,AC=5,则阴影部分的面 积是 4.(长沙期末)已知直角三角形的面积为24，斜边长为10，则其周长 为 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边. (1)已知a=16,b=12,求c的长； (2)已知c=13,b=12,求a的长. 38 第2课时勾股定理的应用 1.如图，用篱笆围一个直角三角形花田，若∠C=90°，BC=4m,AB =5m,则边AC需要的篱笆长为 () A.6 m B.5 m C.4m D.3 m B 第1题图 第2题图 2.如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8m远处，大树折断 处离地面6m,则大树高 () A.6m B.10m C.16m D.18m 3.如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶 到路对面车速检测仪A处的正前方12m的C处，过了1.5s,小 汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20. (1)求BC的长； (2)这辆小汽车在BC段的速度约是多少米/秒？（结果精确到0.1） 小汽车 小汽车 B: 检测仪 39 第3课时 勾股定理的逆定理 1.(长沙期末)下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是 () A.1,3,3 B.2,3,4 C.6,8,9 D.5,12,13 2.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A和∠BDC 都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知 () A.仅∠A符合要求 B.仅∠BDC符合要求 C.∠A和∠BDC都符合要求 D.∠A和∠BDC都不符合要求 1 km 12 0.6km D B 0.8km 第2题图 第3题图 3.(株洲阶段练习)已知A,B,C三地的位置及两两之间的距离如图 所示.若D地位于A,C两地的中点处，则B,D两地之间的距离 是 km. 4.如图，在△ABC中，AB=15,BC=17,AC=8,求BC边上的高AD. D 40 5.3直角三角形全等的判定 1.(岳阳期中)如图，CD⊥AB于点D,EF⊥AB于点F,AC=BE. 证明Rt△ACD≌Rt△BEF不是利用“斜边、直角边”的条件是 A.AD=BF B.AC∥BE C.CD=EF D.AF-BD 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，已知Rt△ABC,根据下列尺规作图痕迹作出的Rt△A,BC, 能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全 等”的是 () C A B D 3.(湘西期中)如图，∠B=∠D=90°，BC=DC,∠1=40°，则∠2= () A.30° B.40° C.50° D.60° 4.(衡阳期中)如图所示，AE=BF,AB⊥BC于点B,FC⊥BC于点C, E为BC上一点，BE=FC.求证：AB=BC. 41 5.4角平分线的性质 第1课时角平分线的性质与判定 1.如图，已知∠1=∠2，PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分别为点D,E,则 PD PE.(填“>”“<”或“=”) D 第1题图 第2题图 2.(岳阳期中)如图，点M在∠ABC内，ME⊥AB于点E,MF⊥BC 于点F,且ME=MF,∠ABC=70°，则∠BME= 3.如图，在△ABC中，∠C=90°.用直尺和圆规在边BC上确定一 点P,使点P到AC,AB的距离相等，则符合要求的作图痕迹是 A 4.(衡阳期中)如图，AB=AC,BD=DC,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足 分别是点F,E.求证：DE=DF. 42 第2课时角平分线的性质与判定的运用 1.(娄底期末)如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点 P,作PE⊥DB于点E,PF⊥AC于点F,则BE+PFPB. EXD 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平 分线，DE⊥AB于点E,CD=2,则BE的长为 3.如图，过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且 DE=DF,连接EF与AD相交于点O,则下列结论不一定成立 的是 () A.OE=OF B.AE-AF C.OD-OF D.∠EAD=∠FAD 4.如图，在△ABC中，∠B=90°，D是边AB的中点，点E,F分别 在边BC,AC上，且EF=EC,DF=DA.求证：点D在∠BEF的 平分线上 43