5.1 第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（湘教版2024）

@©第2课时含30°角的j ①基础在线》知识要点分类练 知识点1在直角三角形中，如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 1.(长沙期末)如图，在直角三角形ACB中，∠C =90°，∠A=30°，BC=2,则AB等于() A.2 B.3 C.4 D.2√5 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC 上，∠ADC=60°.若BC=8,AD=10,则BD 的长为 3.已知△ABC的三个内角的度数之比为1：2：3， 若它的最长边为3，则最短边长为 4.(岳阳开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D, BD=8,求AC边的长 知识点2含30°角的直角三角形的性质的应用 5.(郴州期末)如图是某商场一楼与二楼之间的 手扶电梯示意图.其中AE,CD分别表示一 楼、二楼地面的水平线，∠CBE=30°，BC的长 是10m,则乘电梯从点B到点C上升的高度 h是m. 103探究在线八年级数学（上）· 直角三角形的性质及其应用 309 第5题图 第6题图 6.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3m处 折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在 折断前的高度为 () A.3 m B.6 m C.9m D.12m 7.“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三 角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知 AC=30m,AB=20m,∠BAC=150°，这种草 皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮需 要多少元 205030m 知识点3在直角三角形中，如果一条直角边 等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30° 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=8,则 ∠B等于 A.30° B.45 C.60° D.75 9.(岳阳期末)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点 D,且BC=7AB,则∠DCB= 0 ②能力在线 > 方法规律综合妹 10.(长沙一模)如图是某学校人行人口的智能闸 机及其示意图，当它关闭时，双侧挡板边缘的 端点A与B之间的距离为10cm,挡板边缘 AC=BD=70cm,且与闸机侧立面夹角 ∠PCA=∠BDQ=30°.当挡板收起后，可以 通过闸机的物体的最大宽度为 图① 图② A.(70√2+10)cm B.80 cm C.(70/3+10)cmD.90cm 11.如图，△ABC是等边三角形，AD是中线，DE ⊥AC于点E,AB=8,则CE的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 A B D N 第11题图 第12题图 12.如图，已知∠MAN=60°，点B,D在边AN 上，且点D在点B的右侧，AB=2,C是边 AM上一动点，在点C运动的过程中，始终保 持CB=CD,若AC=m,则AD的长为() A.gmt1 B2m-1 C.m+2 D.m-2 13.已知等腰三角形一腰上的高与腰长之比为 1:2,则等腰三角形的顶角为 () A.30 B.60 C.150° D.30°或1509 14.上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时 的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从 A,B望灯塔C,测得∠NAC=30°，∠NBC= 60°.这条船继续向正北航行，问在上午或下 午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？ ③拓展在线沙培犹骏尖提升练…。 15.如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=4cm, AC=12cm.动点P从点A开始沿AB边以 1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿 CA边以3cm/s的速度运动.点P和点Q同 时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停 止运动.设动点的运动时间为ts(0<t<4). 解答下列问题： (1)用含t的代数式表述AQ的长是 (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使 △APQ是直角三角形？若存在，求出t的 值；若不存在，请说明理由. 第5章104所过∠BN=∠A汇= 14.图为∠NAG=初°，∠N=间 国为-5-所在△CD中， 国为240心50，所以苦要州镜 在AAC和△BDF中， 所反∠CB=T=∠NAC C》=V-G=√=5= 因为C=FC-250n AD-RD. 所似C=AB-15×(1D一8)-3D南里 耗属在城 辰以ED-√-C下=D(n. ∠AD-∠BDF 过点C作CP⊥AB于点P,脚线程CP事为 15.《1)14 其EF=3ED=10(m》. DC-DF 小暂与行婚的最姬距南 (2)由新叠：得AD=DB, 收需要刻镇的降段长为1转向 以△AD☑△IDF边角边》.青里∠FD-∠C 为CP LAB.高但∠CPB=9阳H 设力=，则AD=D=后 幕3课时为限宠理的说宠理 圆为∠BDF-到'， 所以∠B=r-∠NBC=3 -在R△CDB中， 基蜡在候 所以∠CT5+∠FD=∠CIE+∠G=9阳 所任PB-子C-15海里所日5+1山-1小时 CD十=B, L.A 2.B 3.D 4 B 3.81 cm 两H∠BEG=', 5,△ABD是直角角题， 所由△B是直角三角思 所（这条船随续肉正走航行，在上午11时小整与灯地C 2+甲-修-新将一 佰属在线 的原离品根。 m出：出为AC=15C》-1, 菊展在酸 男AD-6-号-号 所以AD=MC-CD=15-=12 1I)誓屏：在△AHE和△DC中 AB-DB. 6.(1}12-31)n (3)因为△AC的重积为=+4， 国为A1=15,=3, 所以BD心十AD■A时 ∠AHE-∠DSC (①者∠AQ-6W 两巴AC,IC-2n+4 所世△AO是直角三角思 BE-C. 因为∠A=, 所∠QP-3 两出AC,C=4n+8. 7.t010110 所H△AB2△D气边角边). 在△CAH中，A十P=HA, (2)小=N因.M值⊥N我理下 M反AQ=2AP月 2)△ABC是直角网角形.理南如下 所以CA'+CF+&AC,BC=B4+1AC· 信(1)可姓，AABEO△DBC. 所低接一影-一么商但一兰 餐送题位，得 乐以CA十BCy=+十16w《十4) A心出严+=给， 所山AE=C∠AR=∠BDC 者∠AQP=, 新以CA+CI=刚+4 四为M,N分是AE,CD的中直， 所以A甲+C=(D)+(2而)'-0= 因为∠A一南'，所以∠A℃-3 可为AD-DB,所比CD十DB+BCm十4 ∠AD-∠BD=', 所以△AC基直角三角卷， 所uHt-号A-A,N-CD-DN 所低-Q断以一(3-测，所低一 即△CD的周长为n+L 筒力在镜 第2球时句反定翟片应用 45C1.C11.11413.12 aBM-N,∠MB=∠MBA-∠NDB-∠ND 上所注，当一号设学时，△A四是直角三角意 蓄魔在越 3.)国为在△CHB中，CH=12m 所以∠HA=∠NBD LC 2.D J.C LC 5,2每股定理及其逆定理 BII-5 km,nC-13 km. 圆为∠AMHA中∠MBD=9阳°， 在3△CD中，CT=P-==40国 第1派时身戴定厘 质以CH甲+BHP■C, 所以∠MBD+∠NBD=对 所候CD土联美置食去 基磁在线 所以△CB是线∠BC为直角的直角三角形，香因 即∠MV=9,所从MB⊥Nn 所C5-C0十DE=D+14-21,4(m CH⊥AB 第2课时金0“角的克角三角形的性质观其应用 1.C251.BD#反佰 荐，风苹的商度CE为2L4性 因为点到直线线登的参发量阳， 1,根是延意，博图①中空白檬分的南飘 赫延在战 能力在粮 阳致CH是村庄C到边的最远所 L.C 23 8-++g×号b-++ 60m7.C&C9.D (I设AMC=An=gkm 10,(1)根摆题意，释A=之，5m,C-0.?m 阳由中空白怎升的度积 因为BH=ihm: L因为边AB垂直平分线交C干点D, 寄以AC=A一=名4(n) 所其AH-AB一BH=a-5) 所以AD=BD=B: 5=+8xZh-+b, 答，杨千调烟A面青地面有24 在R1△AG程中，由N2定开，得C甲十A=AC, ∠4D=∠B=1B2 由5，=品，得++=十 (2)不是.国为AE=点4m, 所这12十（一5）=2，解得=14,3， 所以∠ADC=∠BAD+∠BJD 所以4中=/ 新凹CE=2m 形夏AC=AB=6.9kL16.F-12=4.mt 国为∠C-可'，所以AC=号A0-4 点C鱼A 国为0=AB-2,5 所其CH比原染CA近4,9km 健力在候 新以D=√子元-L影n 后框在国 五56 10.D ILA 12.A B.C BDD-BCm或.&m t4,(1)证用，①国为△AC和△02释是等边三角题 7,如国，连点B作D⊥CA交 14.(1)经明：年图，座接A,(M.国为 IC=AC,=E,∠ACB=∠CD=60, CA的超长线子直D 新以神是B并移了9，器 ∠BD=∠BCT=,M是BDM中点 拓属在域 辰H∠DCB-∠EL 则∠D=9, 界uAW-子CM宁皿 1,(1)由E度，要MC-360 联队A.DC2△A情D=AE 网为∠MC-',年以∠DM=3 C-460e, 心领为△DE是等边三角形， 又∠D=90,B=0n 所以ANCM. 由匀般定型，周 所且∠C=,p乐=C 所HD-A出-0m 国务N是AC的中点，断以NN⊥AC A8=√C+议=0(m 国为∠LDC=150. 2)网为N是AC的中点，AC■6， 所H5m-}×勿×10=150(m), 答，A,B周村之同的面离为50国 0u∠ADE-∠AC-∠&pC=9 所以C--1 (2)置要州镜，现出如下： 所以A甲十DE=AB 烟为这件章发每早方米的售价是4元： 图为MNLAC,MN-7 灶C作CD⊥I癸！干盒D,以点C为国心：五0m为年 由①知，AE=Hp。 所以醉买这种草度香罗15加无 听以在民△MN中， 轻属受I于点B,F,即图所承， 属以B=ADF+CD. 8,A3,30 M-MW+C=√：)+=4 w为Sw-A·CD-之CB·AC 图为△AC和△E都是等边三角形 据力在域 展以CAC,D■EDE 1a,81L,A2D1a0 题为CM-D,果从D- 周世CD-C,C_0x4-2(m AH ∠ACB=∠CD=0r-∠CDE 家究在绒·八年级收学（上）·X灯 27