4.3.5 全等三角形的应用-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（湘教版2024）

©4.3.5 全等 ①基础在线> 知识受点分类结 知识点全等三角形的应用 1.如图①是一乐谱架，利用立杆可进行高度调 节，图②是底座部分的平面图，其中支撑杆AB =AC,E,F分别为AB,AC的中点，ED,FD 是连接立杆和支撑杆的支架，且ED=FD.立 杆在伸缩过程中，总有△AED≌△AFD,其判 定依据是 立杆 一底坐+ 图① 图② A.边角边 B.边边边 C.角边角 D.角角边 2.(教材P119习题T5变式)如图，小明把一块 三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店 去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法 A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带④去 3.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用 木头制成的木鸟，称为“木鸢”，后来随着造纸 术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝， 使其更加轻便、易于放飞.在如图所示的“风 筝”图案中，AB=AD,∠B=∠D,BC=DE. 则可以直接判定 A.△AEG≌△ABCB.△AEG≌△ACF C.△ABF≌△ADCD.△ABC≌△ADE 4.如图①，漯河大桥是漯河市的第一座跨河大 桥，这座桥不仅是城市发展的见证者，也是漯 河一道独特的风景和市民情感的牵绊.其侧面 75探究在线八年级数学（上）·X) 等三角形的应用 示意图如图②所示，其中AB⊥CD,现添加以下 条件，不能判定△ABC≌△ABD的是( 阁优 ② A.AC=BD B.∠ACB=∠ADB C.∠CAB=∠DABD.BC=BD 5.如图，要测量河岸相对两点A,B的距离，已知 AB垂直于河岸BF,先在BF上取两点C,D, 使CD=CB,再过点D作BF的垂线段DE,使 点A,C,E在一条直线上，测出DE=20m,则 AB的长是 () A.10m B.15mC.20mD.25m 6.(湘西阶段练习)滑翔是一项极限运动，有一款 滑翔翼的平面图如图所示，小夏通过测量得到 一组数据：AB=AD=50cm,AC=AE= 180cm.你能帮助小夏找到一组全等的三角形 并证明它吗？ ②能力在线》方法规豫琴合族 7.如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支 点O(即跷跷板的中点)到地面的距离是 60cm,两人分别坐在跷晓板的两端（即OF= OG),当淇淇从水平位置CD垂直上升15cm 时，嘉嘉离地面的高度是 淇淇 D... A.15 cm B.30 cm C.40 cm D.45 cm 8.(教材P116例8变式)（娄底期中）如图是一个 瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径AB的长 度是18cm,为了得到瓶子的壁厚acm,小庆 把两根相同长度的木条DE和CF的中点O 固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图， 得到EF的长为12cm,则瓶子的壁厚a的值 为 cm. 第8题图 第9题图 9.如图，小明站在点C处看甲、乙两楼楼顶上的 点A和点E,C,E,A三点正好在同一条直线 上，点B,C相距20m,点D,C相距40m,乙楼 的高BE为15m,EF∥BC,EF⊥AD,且EF =BD,则甲楼的高AD为 ,(小明身 高忽略不计) 10.(教材P118练习变式)（南阳期中）课间，小明 和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自 己比对方长得高.这时数学老师走过来，笑着 对他们说：“你们不要争了，其实你们一样高， 瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”数学老师仅 从他们的影长相等就断定它们的身高相同. 我们可以运用全等三角形的有关知识说明其 中的道理（假定太阳光线是平行的）现对老师 说法的正确性进行证明，如下给出了不完整 的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证 明”过程 已知：如图，AB⊥a于点B,CD⊥a于点D, AM∥CN, 求证： 拓展在线沙琴代报尖提开球…。 11.(跨学科)（益阳期未）小南在科学课上学习了 发声物体的振动实验后，对其做了进一步的 探究，请认真阅读，并完成后面的任务， 课题 发声物体的振动实验的探究 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）， 工具 直角三角板，刻度尺等 如图①，在一个支架的横杆，点O处用一根 细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆 动，OA表示小球静止时的位置.当小明用 测量 发声物体靠近小球时，如图②，小球从OA 方案 摆动到OB位置，此时过点B作BDOA 于点D,当小球摆到(OC位置时，OB与 OC恰好垂直（图中的点A,B,O,C在同一 平面上)，过点C作CE⊥OA于点E. 0 测量 示意 图 图① 图 任务： (1)求证：∠COE=∠B: (2)经测量得知，点B到点D的距离是8cm, 细绳OA的长为17cm,求AE的长. 第4草76国为NRCT已知)： 4,图为∠AE=∠CAD, 4,3,多全等三角形的判定定型物边角，角角边》 A-DE 所风∠1=∠（两直线平行，内替角相等） 所以∠AR十∠BAC=∠CAD十∠求.即∠AAC= 蕃魔在楼 5,在△LBC和△DEC中，AC-DC 所以于∠ABC-亨∠CD(等聚代是)， ∠EAL LC2.B生B CB-CE. 在△AC和△AD中， 国为CDE,所∠AB∠DEF 期巴△A△DEC(边边边). 惭以∠AC=∠BCD等式的性质). AB-AK. 因为E=CE,所双E+CE=CF+CE,厚C-FE 期凹∠ACn=∠DE 所日ABCD以内情角枪等，两直线平行) ∠&AC-∠rAD, ∠=∠F 所以∠ACT∠ACE=∠DE“∠AK (2)霄个至地定理为两直线平行，内醒角相等1内罐角相 AC-AD. 在△AC和△DFE中，BC-FE 所以∠1=∠2 等，腾直线平行 所1△AC☑△AED(边角动) ∠ACB=∠DEF】 4.稳定性.B 七，3全第三角形 3,國为C-F,但C4后-Fn+E,博C-F 所AABCGADFE(角边角)： 国力在域 4.3.1认识全等三角形 因为AC成DF,所以∠F-∠C 反角角5.》 a.罪D10B11.G11,4 基在线 崔△ABC和△DEF中， T.(1》且明：在△A℃和△AD中， A-CD. LB 2.D AC-DP. ∠C-∠D=, 13.在△ABD和△GDB中.D=CB, a点A点H点CCA8AC∠A ∠C=∠F ∠CBA=∠DMB .BDBD. ∠AB'C∠C BC-EF. ABBA 厘且△ABD环△DB(动边边).所以∠1=∠2. 4四为△ADE4△BE, 所以△A☑△DEF(姿角边. 所属△AG△4D角角益)： f∠AOD=∠C, 所以AE与BE是对战边，DE与CE是对应边：∠D则 所HAB=DE. (2)0 在△M0D和△州中，∠1=∠2， ∠C是对成角：∠AED与∠8EC是时成角 6,不正商，理由：屏用“边边角”来证明丙个三角形金等， 能力在城 AD-CB. B4,A丁.B ∠AD不基BD与AD的卖角，∠CGMD虫不是GD与 &C.B1且.A 后社△AO@△0明（角角边）.兵以0D=0B. 8.(1)国为△ACO△HDD, AD的灰角 1L,I)E：为MNCD,∠N-∠DP 拓展在间 所以∠AX-∠B血 做力在健 因为∠ID=∠A.所以∠HMN=∠AC 14.1]旺W:在△AE和△CAF中 国为点A0,B在门一直线上： 7.&B9.A10C11.5 明为∠C+∠MND=I8',∠BN3W+∠MND=18 因为AB=C-B下=CF,AP一AP: 所H∠A0D+∠DOB=io 12因为AC是∠DAB的平分战，两旦∠DAC-∠AC H∠C=∠BNM 所L△BAFa△CAFP(边边边， 断g∠A00+∠k=130 ∠C-BNM E以∠BRAF-∠CAF AD-AB: 所以点C,O.D在一直视上 在AABD和△ACD中 在AACD和AACD中，∠DAC=∠BAC, 在△学和△iN中，C=MN, ()因为△A0☑△HD0, AC-AC, L∠APC=∠BN 因为AU=A,∠&AD=∠CAD,AD=AD, 所以∠A=∠R,质以AC名B 所以AACD2AACB(边角边). 所日△ACP2△B.NI角边角)， 所过△Ana△AGD边角边)，所其D=CD 以，14减1名1 (2D由(1冠，△AC☑ABNM.所以BM=AP 2川1)中的精抢还减立，理由钉下： 所以CD=CB.∠D=∠& 国为AU-7-AP=3,所双M=AP=及 月I)可正△BAF2△CAF,得∠&MF=∠CAF, 能力在线 因为CE=C下， 所以PM=A且-AP-M=1, 餐△AD和△ACD中， 10,D11,H12,A1aA 所以CD-CF=CB-CE,厚DF=BE 拓属在拔 因为An-C,∠AD◆∠CAD:AD-AD, 14.网为△AC9△D球， ADAB. 所其△A@△ACD(边角边所其D=以 断■∠B=∠ 在AADE1AABE中，∠D=∠B 12,1)证明，中因为AD⊥MW干直D.BE⊥MN干点E ∠AMC=T, 为∠AD=2∠B=∠E球十∠k DFBE, 4玉G全等三角形的皮用 新以∠A十∠B=∠CA+∠DAC= 基超在成 所以∠E=∠球=∠战 所以△ADFAABE(边角边).所HAE-AF 界H∠ECB=∠DAC L.B 2.D 3.D 4.A 6.C 为∠DA-∠A成=3∠n-2∠E, 肠展在镜 事为∠CDM=∠BEC=,AC■议C 4,△A假△ADE理由下： ∠12AP+∠ADE+∠=1， X(1)EF-BE+FD 所以△A☑△CEB 为A=AD-nm,AC-AE=1ID,∠8AC 所以3∠5十1∠EF∠R=财T, (2如副②，居长CD至点G,线D=BE 因为△AC2△H.新以CE-AD.D=E ∠DAE, 解得∠E=3 连接AG,四为∠ABC+∠AIDC=1M6 所HDE=CE+CD=AD十E 所以△ABC9△ADE效角边1 拓黑在线 ∠ADG+∠ADC=10,所以∠LDG (DF明，因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=, 园力在盛 15.1)u4 ∠ABC "以∠ACD+∠D=9时，∠CBE+∠CU- 7,D8,8只30n 42)直题度，得P=4,p-13, W为AB=AD,两且△BE2△ADG 所以∠ACD=∠CH 1D,IM-DNB-CD. CP-16-U-CQ-46 (边角边》 ∠ACD=∠BE 证秀，员为AM0CV,所∠AMB=∠CND 分两养情混 所R∠DAG=CBAE,AE=AG 在△ACD阳△CE中，∠ADC■∠CEB W为BLa,GD⊥a,两世∠AB=∠CDN= APAC.: W为∠EAF-∠D, ACCB. 在△AM程△CDN中，因为∠AMB=∠CND,M= 青以△ACD9△CIE我以E=AD,CD=IE DN,∠AM=∠CDN. --部得二， 浙以D求-置一CD=AD一E 所以△Lf2△DN(角边角)，所gAB-D 11=1. 质∠BE+∠DAF-音∠BMD (3)DEmBE-AD. 拓展在候 D者△DHPG△g.周P-CQ, InG-PC. 所∠G-∠DF-号∠HAD 4小4全等三角形的判定定承边边边 1.山证明，圆为08L0+ 基德在线 周队∠C0十∠E- 所∠GMF-∠EP 国为DL0M,所∠0=9 因为AE=AG,F=UF, 4国为8F-C,所以BF+4P-+GP,所-EF 质其∠a0十∠H-,所红∠O0R=∠B 绿所追对豹值为6，的慎为2或：的值为41的靠为L 所以△A片O△GAF(边角动. ABDE. )国为BDLA,ELM: 4,人？全等三形的网定定用垃角边) 所KEF=FG=DG+FD=BE+FD 在△AC利ADEF中，AC-DF e队∠CO=∠CWD沿=9约. 重延在线 所反△EFC周长为EF+EC+CF-E+C+CF+FD nC-KF. 由题意，得CC=0-0A=17 L动角边艺A&D BC+CD-14 所△A△F(边造) 由),∠=∠属 家究在绒·八年级收学（上）·灯 23 ∠C=∠Ow, 社△A发：的底造上的高为，则△AF的能边F上的 AP-CH. 能力在线 在△OF和△C8D中.∠CE-∠B. 真也为A, ∠AD-∠AN, 101411,30或1512，B .0C-0B, AC-CL. I因为AB=AG,∠AC=2∠且M 颗以△△角角边).则以E0-4 所型品一青5x-6,m一，k 所煤△A代9△A(进角边 所且∠AC=∠C=2∠AC 则且A5=4-g=17-4=3(n). 因为C=CF,期鼠Sa#m4, 所娱∠AXC-∠AC 因为A一AC,AD为老边：上的中线 微专题？全等三角形的基本模型 婴为S2行■5w十5n=5世十5m=5 拓展在楼 界以A,AB0与△CE下的置之和为5. 际E∠BAD=∠CAD=Y∠BAC,AD⊥BC L,(1)篷明：因为AD=E, 54个 所以AD十DB-BE+DB,司AB-DE 阶段测评4川41一4.3) 6(1)点相 设∠D=x',则∠CAD=x',∠BC=2x',∠AC 国为AC■DE,C=EF, 1.C 2.AC 4.D 4.D 5.A 4.B (8)E情：为△AIDa△AC ∠Cmr. 背以AA△DEF(边边边) 7.如果布再个角的和是，厚么这两个角互为补角 以AD=G.ID=ACG 在△AC中，∠BC+∠ABC+∠C=2r'+4x'+4' (3)四N△AC△DEF,∠A-55 &ADCF1容素不明》 在△AC和△CD中 10,解得x=1& 新以∠A=∠成=每司 .10减1110.30011.212.110 AD-JC 所以∠BMD=∠CAD=1s",∠Cm2 为∠E=4,所以∠F=一∠FD军-∠E= 形如十含的整数能晚成再个整数平疗和，不 Ac-1b. 围为BE⊥AC,所以∠CEB=.所以∠CBE=1 2)∈明，国为AD为∠CAB的平外线， 最这两个整数为品 =0 所以∠C,∠HD∠CBE的度数分别为Y,☒，1% 所以∠CD=∠EA 期4十3=十量： 桥以△AD☑△CD《边边边) 新展在碳 AC-AE. 周为n十8m(a十2)十《-一1)*十量 (8》35 14.C 在△AD和△AD中，∠CA-∠AD 所以限最不减立， 第2课时用只规作三角形(】 第2课时子楼三角形的利史 AD-AD. 所以那如标十当的整数±不提化为两个竖数的平方和 落建在线 基袖在酸 所反△ACD△AEDX边角边 14,10<>> i,H黑A1,A4,等题5,860海里 (2则为ADa△ED,∠C=10, 2国为a一-C0.十一-0，—■十0， AB-D. 所鼠∠AED=∠C=106 胥世l一-rl十a十一|一|一a十6|=-(a-b-c) 7,在△AC和△DFE中，人AM=DR, 国为∠AD-∠B十∠2端，∠=3， 十4t一一(4十)=-4十t十4十一-ct4- =F, 所以∠DB=N, 所白△AHC△DF所候∠ACH=∠D成 3门明，图为AECF, 13因为P中A 2A3.B 斯R=Y,所以△C是等要三角能 所RE-FE=CF-EF.所区AF=CE 所以CADP-∠IID小=m 能力在域 s.型为AD平货∠AC 国为AD晨所以∠A-∠C 为∠C-,所以∠P=∠A=对 ∠A-∠CAD AP= 因为∠AUC=6,新∠PC-1=∠A℃-∠C 反园期景，过在P作PQAB交C干 图为PE度AC 在△ADF△CE中，∠A=∠C 点Q,到点Q厚为所求.由平行线到间 所U∠EDA=∠CAD LAD-CB. 因为∠PAD=，所∠-∠PA 原阳等可得P,Q国AB的真相等. 所但∠nAD=∠A 所双△A2△CHE(也角边)， 图为AP=AP,所△ACA△U《角角边) 拓黑在线 明为AD1D (2AAD☑△EE务收度-界由下（如因@）： 系图：，在AD上酸照 6(1》如图常甲为求 联但∠AD+∠B=∠BD8+∠ED4=0 因为A5=F, AF,使每AB=A (证目，因为∠DEB=∠ACB,所从 所且∠B=∠BDE所民E=OE 所其A成-k-F-C厚CK=AF 因为AE平分∠D, AC&DE图队∠A-∠BDE. 陵力在的 四为AD8CB,所民∠AB-∠CD 质凹∠AE=∠FAE 图为DF N BC,F以∠ADF-∠B, .B10.B11.1112]0 所反5W-∠ACB=1-∠GD 在AAE和△AFE中， 因为D为AB的中点，所以AD=D阳 L&1证期，置为DEC 所反∠C若-∠DAF (AE-AE, 所以△AD5阳△D8E(角速角)，所以LF=D呢 AF-CE. m:∠AEDe∠C ∠LAE-∠FAE,H△AIEO△AFE 4,5等候三角形 因为∠EDF■∠C, 在△ADF和△CH配中 ∠F=∠， AD-CB. LAB-AF. 第1课时等限三角帮的性魔 周以∠EDF=∠AED HE=FE,∠EA=∠AEF 蓄腿在楼 所△A2△CHE(边角边1， 丽以DF成AC. 因为∠AED=,所且∠EA+∠DC=9,∠AEE LB 2.B B.A 图心的靖瓦正明降 所反∠BDF∠A, 4(10 CDEF=W.图且∠DEC-∠DF 4国为ABAC,BD=CD, ()△ABC是等照直角三角形， 〔成立证师如下： 因为E是边C的中点，所双石一E=E 所保∠ABC=∠ACB 国为∠BDF=∠A,屏∠DF=∠Aw4 国为.∠1=∠AC=∠H1C=a: EDED. ∠DBC-∠DCA W为DF平计∠BDE,用以∠BDE2∠BDFa创 所以∠BD+∠CAE-1BW-4: 在△DC△DEF中，∠D5C=∠DEF, 所g∠A一∠DBC-∠ACB-∠DB W为DE8C.断以∠B=1s-∠BDE-0 H∠A+∠BAD-- LEC-EF, 岸∠AH0-∠AD 所以∠C-3切'-∠A一∠B45-∠A, 所∠DM=∠CA 期H△Da△DEF所反CO-FD 所以AB=B 所以AD-AF+DF=AB+CD-AB+2AB-1AB-1A 装在△AC中， 所红△，ABC是尊履直角角形 在△ABD△CAE中 ∠AH=∠CAE, 所以AB=线， 国为AN=AC,AD⊥C, 新展在暖 AB-AC, 4,4尺规作图 所风∠B=∠C,D=CD 14. 所双AD☑△CAE角角边). 第1课时：用规作品角形(1》 在ABEM与ACDN中， 15(1匠明，在△ABC中，图为AB-,所以∠ABC-∠C国 所且D=AE,CE=DA 基辞在绒 国为∠B=∠C,BD=CD. 为∠A=3“,所∠AC-∠C-Y 所其E=A十aM=十K 1,80@20&D ∠BDM=∠CD.N. 国为BD早分∠ABC,所以∠1=∠= (1到)有证△ABD和△CA角角建)， 做力在镜 所以△B☑△CDN(角造箱).所社D=DW 所其∠A=∠1，∠BDC=∠C-72 所政气==S,A 4,正确，至明，四为在△F℃和△BM中 久1如减减D 所其D=.HD=C 24 一深究在城·八年组数学（上）·X灯