15.3.2.1第1课时　等边三角形的性质与判定课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

第1课时　等边三角形的性质与判定 (1)你能证明∠A＝∠B＝∠C＝60°吗？ 提出问题 (2)如何证明？这样证明的依据是什么？ (3)等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴，对称轴是什么？ (4)你能归纳出等边三角形具有哪些性质吗？ 探 究 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 1. 从边的角度比较，等边三角形的三条边有什么数量关系？ A B C 等边三角形的三条边都相等 如图，∵△ABC 是等边三角形， ∴ AB = BC = AC . 几何语言： 等边三角形的性质 2. 从角的角度比较，等边三角形的三个内角有什么数量关系？ A B C AB = AC AB = BC = AC ∠B =∠C ？ ∵AB = BC，∴∠B =∠C (等边对等角). 同理∠A =∠C，∴∠A =∠B =∠C. ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. A B C 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60°. 如图，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. 几何语言： 归 纳 3. 从“三线合一”的角度比较，等边三角形的“三线”有什么关系？ A B C 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”. 等边三角形有三条对称轴. 对比：等腰三角形与等边三角形的性质 等腰三角形 等边三角形 图形 性质 两条边相等 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线重合 1条对称轴 三个角都相等，且都等于60° 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 3条对称轴 三边都相等 等边三角形的判定 探 究 一个三角形满足什么条件才是等边三角形？ 从边的角度判断： A B C 三条边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵AB = BC = AC， ∴△ABC 是等边三角形. 几何语言： 从角的角度判断： A B C 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵∠A =∠B =∠C， ∴△ABC 是等边三角形. 几何语言： 你能证明它吗？ 已知：如图，在△ABC 中，∠A =∠B =∠C. 求证：△ABC 是等边三角形. A B C 证明：∵∠B =∠C ， 同理 AB = BC ， ∴△ABC 是等边三角形. ∴AB = AC (等角对等边). ∴AB = BC = AC. 对于一个等腰三角形，如果有一个角是 60°，那么它是等边三角形吗？ A B C 60° 如图，当 AB = BC 时，∠B =∠C = 60°. ∴∠A = 180° –∠B –∠C = 60°. ∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 当 AC = BC 时，∠A =∠B = (180° – 60°)÷2 = 60° ∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 等边三角形的判定 A B C 60° 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 如图，∵AB = AC，∠C(或∠A，∠B) = 60°， 几何语言： 归 纳 ∴△ABC 是等边三角形. 对比：等腰三角形与等边三角形的判定 等腰三角形 等边三角形 图形 判定 两条边相等的三角形 有两个角相等的三角形 三个角都相等的三角形 有一个角是 60°的等腰三角形 三边都相等的三角形 知识归纳 三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质： (1)等边三角形具有等腰三角形的性质； (2)等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60° ； (3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴． 1. 下列关于等边三角形的说法中,不正确的是 (　　) A. 等边三角形的三条边都相等 B. 等边三角形的三个内角都等于60° C. 等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴 D. 等腰三角形具有等边三角形的性质 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 2.如图,BD是等边三角形ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠E的度数为 (　　) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°　　　 3.如图,在等边三角形ABC中,CD是AB上的高, ∠ADE=∠BDF=60°,则图中与AD相等的线段有 (　　) A. 2条 B. 5条 C. 7条 D. 9条 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. (2024·泰安)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上.若∠ABE=21°,则∠ACD的度数为　　　　.  　　 　　 5. 如图,△ABC和△BDE都是等边三角形.若∠ABE=40°,则∠CBD的度数为　　　　. 39° 40° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,AD与BE相交于点F. (1) 求证:△ABE≌△CAD; (2) 求∠BFD的度数. (1) ∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠BAC=∠C=60°,AB=AC. 在△ABE和△CAD中,∴ △ABE≌△CAD　 (2) 由(1),得△ABE≌△CAD,∴ ∠ABE=∠CAD.∵ ∠BFD =∠ABE+∠BAD,∴ ∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图,延长△ABC的各边,使BF=AC,AE=CD=AB,连接DE,EF,FD,得到的△DEF是等边三角形.求证: (1) △AEF≌△CDE; (1) ∵ BF=AC,AB=AE,∴ BF+AB=AC+AE,即FA=EC. ∵ △DEF是等边三角形,∴ EF=DE.在△AEF和△CDE 中,∴ △AEF≌△CDE 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) △ABC是等边三角形. (2) 由(1),得△AEF≌△CDE,∴ ∠FEA=∠EDC.∵ ∠BCA =∠EDC+∠DEC,△DEF是等边三角形,∴ ∠BCA=∠FEA +∠DEC=∠DEF=60°.同理,可得∠BAC=60°.∴ △ABC 是等边三角形 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 给出下列三角形:① 有两个角等于60°的三角形;② 有一个角等于60°的等腰三角形;③ 三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④ 一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中,是等边三角形的有 (　　) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB,AC为边在△ABC的外侧作等边三角形ABE和等边三角形ACD,且∠EDC=40°,则∠ABC的度数为 (　　) A. 75° B. 80° C. 70° D. 85° B 10. 如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.有下列结论:① AD=BE;② PQ∥AE;③ AP=BQ;④ DE=DP;⑤ ∠AOB=60°.其中,一定是 　　　　　　　(填序号). ①②③⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=QC=AP=AQ. (1) 若∠B=25°,求∠PAQ的度数; (1) ∵ AP=AQ,∴ ∠APQ=∠AQP.∴ ∠APB=∠AQC. 在△APB和△AQC中, ∴ △APB≌ △AQC.∴ AB=AC.∴ ∠B=∠C=25°.∴ ∠BAC=180°-(∠B+∠C)= 130°.∵ AP=BP,AQ=CQ,∴ ∠BAP=∠B=25°,∠CAQ=∠C=25°.∴ ∠PAQ=∠BAC-∠BAP-∠CAQ=80° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若∠BAC=120°,小玉认为△APQ一定是等边三角形,为什么? (2) 由(1),知∠B=∠C.∵ ∠BAC=120°,∴ ∠B=∠C= 30°.同(1),得∠BAP=∠CAQ=∠B=∠C=30°,∴ 易得 ∠PAQ=60°.又∵ AP=AQ,∴ △APQ是等边三角形 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$