2.2基本不等式学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 基本不等式 第1课时 基本不等式的证明 【课前预习】 一．重要不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R),当且仅当 时，等号成立. 二．基本不等式 (1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的 ，把叫做正数a，b的 ． (2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当 时，等号成立． 解读：基本不等式≥(a>0，b>0) (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b. 思考1：不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？ 思考2： a＋≥2(a≠0)是否恒成立？ 重要的知识点： 1.基本不等式（一正二定三相等） 如果，那么，当且仅当时，等号成立. 常见的变形有：① ；② ；其中叫做正数的算术平均数，叫做正数a、b的几何平均数. 2.重要不等式：若,则； 3.一个重要的不等式链：． 4.最值定理 已知都是正数， （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值（积定和最小） （2）如果和等于定值，那么当时，积最大值（和定积最大） 【自主练习】 1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立．(　　) (2)若a≠0，则a＋≥2 ＝4.(　　) (3)若a，b∈R，则ab≤.(　　) (4)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.( ) 2.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号)． ①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 【经典例题】 题型一 对基本不等式的理解 例1 给出下面三个推导过程： ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4； ③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．②③ C．② D．①③ 【变式探究】1 不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 题型二　利用基本不等式比较大小 点拨：基本不等式的几种常见变形及结论 (1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)；(2)ab≤(a，b∈R)；(3)ab≤2，(a，b∈R)； (4)＋≥2(ab＞0)；(5)a＋≥2(a＞0，k＞0)；(6)≤≤≤ (a，b都是正实数)． 例2 如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　) A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 【变式探究】2 已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是(　　) A. B. C. D. 题型三　用基本不等式证明不等式 例3 已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋. 【变式探究】3已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证≥9. 【当堂检测】 1．若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　) A. B．a2＋b2 C．2ab D．a 3.(多选)下列不等式不一定成立的是(　　) A．x＋≥2　 B．≥ C. D．2－3x－≥2 4.设a＞0，b＞0，给出下列不等式： ①a2＋1＞a； ②≥4； ③(a＋b)≥4； ④a2＋9＞6a. 其中恒成立的是________(填序号). 1. 已知a>b>c，则与的大小关系是 5.若不等式≥2恒成立，则当且仅当x＝________时取“＝”号． 6.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. 2.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的综合应用 【课前预习】 一．基本不等式与最值 已知x、y都是正数， 1.若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____． 2.若和 x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____． 二．运用基本不等式求最值的三个条件： 1.“一正”：x，y必须是 ； 2.“二定”：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为 . 3.“三相等”：当且仅当x=y时，等号成立。 三．通过变形构造定值的方法 如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值。需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法；配系数法；分式型基本不等式；常值代换法“1”的代换。 【自主练习】 1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 任意的正数， 且，都有.(　　) (2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　) (3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.(　　) (4)若x∈R，则x2＋2＋≥2.(　　) 2.若x>0，则x＋的最小值是________． 【经典例题】 题型一 利用基本不等式求最值 例1 当x>0时，y＝＋4x的最小值为(　　) A．4 B．8 C．8 D．16 【变式探究】1 已知x<0，求最大值。 思路点拨：利用基本不等式求最值要满足“一正”、“二定”、“三相等”，现在x<0， 通过变形再利用基本不等式求最值。 题型二 变形构造定值—配项法 点拨：以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f(x) ＝ax＋b＋的函数求最值时可以考虑配凑法． 例2 当x>1时，求函数y＝x＋最小值。 【变式探究】2 若x<3，则实数f(x)＝＋x的最大值为________． 题型三 变形构造定值—配系数法 点拨：求积的最大值时，通过因式中的系数变形，使两个因式的和为定值。变形的过程中要保证恒等变形。 例3 已知0＜x＜，求f(x)＝x(1－2x)的最大值。 【变式探究】3 若0＜x＜，则函数y＝x的最大值为(　　) A．1 B. C. D. 题型四 变形构造定值—分式型基本不等式 点拨：分式型基本不等式有两种形式 当分子次数高于分母次数时，将分母当成整体，将分子改写成含有分母整体的形式，便可构造出积为定值的形式，利用基本不等式求解。 当分子次数低于分母次数时，分子分母同时除以分子，将分子化为常数，分母利用基本不等式求解。 例4 已知x>0，则函数的最小值为_______. 例4-变式 若－4<x<1，则y＝(　　) A．有最小值1　　B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 【变式探究】4 已知x＞0，求y＝的最大值． 题型五 变形构造定值—常值代换法“1”的代换 点拨：利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax＋by为定值，求＋的最值”或“已知＋为定值，求cx＋dy的最值” (其中a，b，c，d均为常参数)时可用常值代换处理． 例5 。 例5-变式 已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________. 【变式探究】5 已知x＞0，y＞0且＋＝1，则x＋y的最小值为________. 题型六 利用基本不等式解决实际问题 例6 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围 36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【变式探究】6 某商品进货价为每件50元，经市场调查得知，当销售单价x（元）在区间时，每天售出的件数．若想每天获得的利润最大，销售价格应定为每件多少元？ 【当堂检测】 1.已知0<x<1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为(　　) A. B. C. D. 2.已知一次函数mx＋ny＝－2过点(－1，－2)(m＞0，n＞0)．则＋的最小值为(　　) A．3 B．2 C. D. 3.已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨． 5.已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. 6.函数y＝(x＞－1)的最小值为________． 7.(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值； (2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$