第十九章 二次函数和反比例函数（单元测试·基础卷）数学北京版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十九章 二次函数和反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·北京丰台·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京大兴·期末）将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·一模）已知点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 5．（24-25八年级下·北京房山·期中）下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．（24-25八年级下·北京·期中）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（2025九年级下·北京·专题练习）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： … 2 8 … … 1 … 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上·北京石景山·期末）抛物线的对称轴是直线 ． 10．（2025九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，若，则 （填写“>”“<”或“=”）． 11．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点和在函数（）的图象上，则的值为 ． 12．（2024·北京·二模）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ． 13．（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 14．（24-25九年级上·北京东城·期中）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ． 15．（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ． 16．（24-25九年级上·北京·期中）已知函数，当时，y随x的增大而减小，且抛物线上有两点、，，，、总满足，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京海淀·期末）已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式． 18．（5分）（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，①求此时二次函数的表达式；②把化为的形式，并写出顶点坐标； 19．（6分）（24-25九年级上·北京·期末）某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示： (1)请写出这一反比例函数的解析式； (2)当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？ 20．（6分）（24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，，两点都在一次函数与二次函数的图象上． (1)求和、的值； (2)请直接写出当时，自变量的取值范围． 21．（6分）（24-25九年级下·北京·期中）某景区购进、两种纪念品共300件，购进种纪念品的数量不少于50件，且不超过150件． ①购进4件种纪念品和2件种纪念品需花费36元；购进2件种纪念品和3件种纪念品需花费22元． ②种纪念品在购进50件的基础上，每多购进5件，种纪念品的进货价每个降低0.1元． 经销售发现：，两种纪念品的总售价为元，购进种纪念品的件数为件，与之间存在一次函数的关系，如表： 种件数 0 20 50 100 200 总售价 1500 1600 1750 2000 2500 (1)求与的函数关系； (2)设销售，两种商品所获利总利润为元，该景区将300件纪念品全部销售后，总利润能否达到1050元？如果能，请给出进货方案；如果不能，请说明理由． 22．（8分）（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 23．（8分）（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， (1)求的值； (2)如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 24．（8分）（24-25九年级上·北京顺义·期末）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 25．（10分）（24-25八年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与轴相交于点．已知点的坐标为． (1)_____，_____； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)已知直线和反比例函数的图象交于点，且，则的值为_____． 26．（10分）（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十九章 二次函数和反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·北京丰台·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京大兴·期末）将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·一模）已知点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 5．（24-25八年级下·北京房山·期中）下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．（24-25八年级下·北京·期中）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（2025九年级下·北京·专题练习）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： … 2 8 … … 1 … 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上·北京石景山·期末）抛物线的对称轴是直线 ． 10．（2025九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，若，则 （填写“>”“<”或“=”）． 11．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点和在函数（）的图象上，则的值为 ． 12．（2024·北京·二模）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ． 13．（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 14．（24-25九年级上·北京东城·期中）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ． 15．（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ． 16．（24-25九年级上·北京·期中）已知函数，当时，y随x的增大而减小，且抛物线上有两点、，，，、总满足，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京海淀·期末）已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式． 18．（5分）（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，①求此时二次函数的表达式；②把化为的形式，并写出顶点坐标； 19．（6分）（24-25九年级上·北京·期末）某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示： (1)请写出这一反比例函数的解析式； (2)当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？ 20．（6分）（24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，，两点都在一次函数与二次函数的图象上． (1)求和、的值； (2)请直接写出当时，自变量的取值范围． 21．（6分）（24-25九年级下·北京·期中）某景区购进、两种纪念品共300件，购进种纪念品的数量不少于50件，且不超过150件． ①购进4件种纪念品和2件种纪念品需花费36元；购进2件种纪念品和3件种纪念品需花费22元． ②种纪念品在购进50件的基础上，每多购进5件，种纪念品的进货价每个降低0.1元． 经销售发现：，两种纪念品的总售价为元，购进种纪念品的件数为件，与之间存在一次函数的关系，如表： 种件数 0 20 50 100 200 总售价 1500 1600 1750 2000 2500 (1)求与的函数关系； (2)设销售，两种商品所获利总利润为元，该景区将300件纪念品全部销售后，总利润能否达到1050元？如果能，请给出进货方案；如果不能，请说明理由． 22．（8分）（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 23．（8分）（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， (1)求的值； (2)如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 24．（8分）（24-25九年级上·北京顺义·期末）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 25．（10分）（24-25八年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与轴相交于点．已知点的坐标为． (1)_____，_____； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)已知直线和反比例函数的图象交于点，且，则的值为_____． 26．（10分）（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十九章 二次函数和反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·北京丰台·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：抛物线， 抛物线顶点为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·北京大兴·期末）将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键，①一般式： (a，b，c为常数，)；②顶点式： (a，b，c为常数，)；③交点式：． 把右边加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，然后再减去一次项系数的一半的平方，以使式子的值不变，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：， 所以，； 故选B． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查抛物线的平移：上加下减，左加右减，根据平移规律解题即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是， 故选：B． 4．（2025·北京·一模）已知点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数（）的性质．解题关键在于先根据值判断函数在相应象限的单调性，再依据已知点横坐标的大小关系及点所在象限，利用函数单调性来比较纵坐标的大小．对于反比例函数（），当时，在每个象限内，随的增大而减小；当时，在每个象限内，随的增大而增大．在函数中，，所以此函数在每个象限内随的增大而减小．已知，这表明点和都在第一象限．由于在第一象限内该反比例函数随增大而减小，且 ，从而得出出与的大小关系． 【详解】解：对于反比例函数， ∵， ∴在每个象限内随的增大而减小． ∵，说明点，都在第一象限，又在第一象限内随增大而减小， ∴当 时， ， 故选：B． 5．（24-25八年级下·北京房山·期中）下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，①根据电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小判断即可． 【详解】解：①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小，符合题意； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，不符合题意； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小，符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级下·北京·期中）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的性质，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项不符合题意； B．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线与轴交点可知，，且抛物线开口向上，故本选项不符合题意； C．由直线经过一、二、四象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项不符合题意； D．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项符合题意；． 故选：D． 7．（2025九年级下·北京·专题练习）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线为，设，则，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，      当时， 解得： ∴ 当时， ∴ 设直线为， ∴ ∴ 直线为 设，则， ∴ ∵， ∴当时，的长度随增大而减小 ∴的取值范围是 故选：D． 8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： … 2 8 … … 1 … 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线，再结合二次函数的增减性，逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 若时，开口向上，离对称轴越近值越小， ∵点，在该函数图象上，当时，， ∴， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，，符合题意； 当时，，解得，，符合题意； 若时，开口向下，离对称轴越近值越大， ∵点，在该函数图象上，当时，， ∴， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； ∴，当时，，当时，，故①错误，②正确； ∵，开口向上，当时，函数值随着增大而增大，把代入得，当时，， ∴，即，故③正确； 当时，二次函数的图象有最低点，当时，函数值随着增大而增大， ∵二次函数的图象记为图形，且存在直线与图形有两个交点， ∴， ∵由题意可得图形不是单调的，其中必须包含， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上·北京石景山·期末）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，直接利用对称轴的计算方法求解即可． 【详解】解∶ 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 10．（2025九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，若，则 （填写“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．把各点代入反比例函数的解析式，进而可得出结论． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上， ，， ， ． 故答案为：>． 11．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点和在函数（）的图象上，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的计算，掌握反比例函数求自变量或函数值的计算是关键． 根据点在反比例函数图象上，分别求出的值，代入计算即可． 【详解】解：点和都在函数的图象上， ∴将两点坐标代入函数解析式，可得， 解得，， ∴， 故答案为：0． 12．（2024·北京·二模）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标， 即，． 故答案为：，． 13．（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点， ，， ， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·北京东城·期中）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 15．（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线a和线段b有两个交点，可确定m的取值范围，再分别把和代入抛物线解析式，可得到，然后根据m为整数，可得m的值为2或3或4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：联立，得： ， ∵抛物线a和线段b有两个交点， ∴， 解得：． 当时，． 将代入抛物线解析式得：， ． 同理，当时，， ∴． ∵m为整数， ∴m的值为2或3或4． 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求； 当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求； 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求． ∴m的值为2或4． 故答案为：2或4 16．（24-25九年级上·北京·期中）已知函数，当时，y随x的增大而减小，且抛物线上有两点、，，，、总满足，则实数a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，对任意的，，，相应的函数值，总满足，只需最大值与最小值的差小于等于即可，进而求解．将转换为最大值与最小值的差小于等于是解题的关键． 【详解】解：∵函数的对称轴为，而时，函数值随增大而减小， ∴， ∵和， ∴时，函数的最小值为：， ∴函数的最大值在和中产生， 则，中，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，而， ∴距离更远， ∴当时，函数取得最大值为：， ∵对任意的，，，相应的函数值，总满足， ∴最大值与最小值的差小于等于， 即， ∴， 解得：， ∵， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京海淀·期末）已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】待定系数法求解析式即可． 【详解】解：抛物线过点和， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 18．（5分）（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，①求此时二次函数的表达式；②把化为的形式，并写出顶点坐标； 【答案】(1) (2)①；②； 【分析】（1）利用二次函数的对称轴为即可求解． （2）①将点带入二次函数即可求解；②利用配方法即可得，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 二次函数的对称轴为：． （2）①将点带入二次函数得：， 解得：， 二次函数的表达式为：； ②变形得：， 顶点坐标为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、利用配方法将二次函数的一般式改写为顶点式、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称轴公式及待定系数法求函数解析式是解题的关键． 19．（6分）（24-25九年级上·北京·期末）某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示： (1)请写出这一反比例函数的解析式； (2)当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？ 【答案】(1) (2)米/秒 【分析】（1）根据图形，设与之间的函数关系式为，从图形中取一组数据代入计算即可求解； （2）将牛代入反比例函数表达式计算，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：把牛，代入（米/秒）， ∴汽车的速度为米/秒． 【点睛】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合运用，掌握反比例函数表达式的意义及计算方法是解题的关键． 20．（6分）（24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，，两点都在一次函数与二次函数的图象上． (1)求和、的值； (2)请直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点的坐标分别代入解析式，解方程或方程组解答即可； （2）利用数形结合思想，根据交点坐标的横坐标，结合，写自变量的取值范围． 本题考查了待定系数法，数形结合思想，求自变量的范围，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入中，得， 解得； 把，代入中，得， 解得； 故． （2）解：根据图象，得时，自变量的范围是． 21．（6分）（24-25九年级下·北京·期中）某景区购进、两种纪念品共300件，购进种纪念品的数量不少于50件，且不超过150件． ①购进4件种纪念品和2件种纪念品需花费36元；购进2件种纪念品和3件种纪念品需花费22元． ②种纪念品在购进50件的基础上，每多购进5件，种纪念品的进货价每个降低0.1元． 经销售发现：，两种纪念品的总售价为元，购进种纪念品的件数为件，与之间存在一次函数的关系，如表： 种件数 0 20 50 100 200 总售价 1500 1600 1750 2000 2500 (1)求与的函数关系； (2)设销售，两种商品所获利总利润为元，该景区将300件纪念品全部销售后，总利润能否达到1050元？如果能，请给出进货方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)总利润能达到1050元，购进A，B两种纪念品各150件 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、二次函数的应用，找到等量关系是解答本题的关键． （1）根据题意利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程组解出A商品的进货单价为8元，B商品的进货单价为2元，求出总利润为元，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系为， 根据表格可得：， 解得， 与的函数关系为； （2）解：能达到，方案如下：设A商品的进货单价为元，B商品的进货单价为元， 根题意可得：， 解得：， ， ，抛物线开口向上， ， 当时，有最大值，最大值刚好为元， 购进A，B两种纪念品各150件，总利润能达到1050元． 22．（8分）（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 【答案】(1) (2)见解答 (3)①④ 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确理解题意、准确计算是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式； （2）取点描点连线绘制函数图象即可； （3）根据函数图象和性质逐次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：取点补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 如图， （3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意； 故答案为：①④． 23．（8分）（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， (1)求的值； (2)如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入求出得到抛物线的对称轴为直线，即可得到答案； （2）根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，得出，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， （2）解：点，，是抛物线上的点， ， 抛物线开口向上，且总有， ， ， 当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不成立； 的取值范围是． 24．（8分）（24-25九年级上·北京顺义·期末）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②；③能，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并掌握抛物线的性质，顶点坐标，图形开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键． （1）①根据表格信息得到值的变化与值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入计算即可；③把代入计算得到小华投球的高度与篮筐高度进行比较即可求解； （2）根据篮球出手时竖直高度满足，分类讨论：当经过函数关系的图象上时；当经过函数关系的图象上时；代入计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意，顶点坐标为， ∴篮球的竖直高度的最大值为； ②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入二次函数中得， ， 解得，； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐； （2）解：篮球出手时竖直高度满足，篮筐中心水平距离的位置，篮筐距离地面的高度为， ∴当经过函数关系的图象上时， ， 解得， 当经过函数关系的图象上时， ， 解得，； ∴小明将篮球投进篮筐中心，的取值范围为． 25．（10分）（24-25八年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与轴相交于点．已知点的坐标为． (1)_____，_____； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)已知直线和反比例函数的图象交于点，且，则的值为_____． 【答案】(1)，； (2)或； (3) ． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、完全平方公式应用．熟练掌握函数交点与解析式的关系，灵活运用公式变形求解，是解题关键． （1）利用点在函数图象上的性质，将点坐标代入直线方程求，再代入反比例函数求 ． （2）先确定点坐标，算出面积，再根据面积关系得出面积，设点坐标，依据三角形面积公式列方程求解 ． （3）借助直线与反比例函数交点性质，得到的值和、的一次方程，通过设未知数，结合完全平方公式，根据确定的值 ． 【详解】（1）解：把代入直线，得 ， ∴， ∴点坐标为 ． 把代入反比例函数，得： ， 解得 ， 故答案为：，． （2）解：对于直线，令，得， ∴， ∴ ． ． ∵， ∴ ． 设，以为底，为高， ∴，即， 化简得， 解得或 ． 当时，；当时， ． ∴点坐标为或 ． （3）解：∵在反比例函数上， ∴； 又∵在直线上， ∴，移项得 ． 设（，因为 ）． ． 把，，代入得： ， 即， 移项得 ． ∵， ∴，即 ． 26．（10分）（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十九章 二次函数和反比例函数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B B C D D B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10．> 11．0 12．， 13． 14． 15．2或4 16．/ 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】 【分析】待定系数法求解析式即可． 【详解】解：抛物线过点和， ， 解得：，·······························3分 抛物线的解析式为：．································5分 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 18．（5分） 【答案】(1) (2)①；②； 【分析】（1）利用二次函数的对称轴为即可求解． （2）①将点带入二次函数即可求解；②利用配方法即可得，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 二次函数的对称轴为：．·······························1分 （2）①将点带入二次函数得：， 解得：， 二次函数的表达式为：；·······························3分 ②变形得：， 顶点坐标为：．·······························5分 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、利用配方法将二次函数的一般式改写为顶点式、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称轴公式及待定系数法求函数解析式是解题的关键． 19．（6分） 【答案】(1) (2)米/秒 【分析】（1）根据图形，设与之间的函数关系式为，从图形中取一组数据代入计算即可求解； （2）将牛代入反比例函数表达式计算，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：．·······························3分 （2）解：把牛，代入（米/秒）， ∴汽车的速度为米/秒．·······························6分 【点睛】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合运用，掌握反比例函数表达式的意义及计算方法是解题的关键． 20．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点的坐标分别代入解析式，解方程或方程组解答即可； （2）利用数形结合思想，根据交点坐标的横坐标，结合，写自变量的取值范围． 本题考查了待定系数法，数形结合思想，求自变量的范围，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入中，得， 解得； 把，代入中，得， 解得； 故．·······························3分 （2）解：根据图象，得时，自变量的范围是．·······························6分 21．（6分） 【答案】(1) (2)总利润能达到1050元，购进A，B两种纪念品各150件 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、二次函数的应用，找到等量关系是解答本题的关键． （1）根据题意利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程组解出A商品的进货单价为8元，B商品的进货单价为2元，求出总利润为元，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系为， 根据表格可得：， 解得， 与的函数关系为；·······························2分 （2）解：能达到，方案如下：设A商品的进货单价为元，B商品的进货单价为元， 根题意可得：， 解得：， ，·······························4分 ，抛物线开口向上， ， 当时，有最大值，最大值刚好为元， 购进A，B两种纪念品各150件，总利润能达到1050元．·······························6分 22．（8分） 【答案】(1) (2)见解答 (3)①④ 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确理解题意、准确计算是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式； （2）取点描点连线绘制函数图象即可； （3）根据函数图象和性质逐次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：；·······························2分 （2）解：取点补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 如图， ·······························5分 （3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意； 故答案为：①④．·······························8分 23．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入求出得到抛物线的对称轴为直线，即可得到答案； （2）根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，得出，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ·······························3分 （2）解：点，，是抛物线上的点， ， 抛物线开口向上，且总有， ， ，·······························5分 当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不成立； 的取值范围是．·······························8分 24．（8分） 【答案】(1)①；②；③能，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并掌握抛物线的性质，顶点坐标，图形开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键． （1）①根据表格信息得到值的变化与值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入计算即可；③把代入计算得到小华投球的高度与篮筐高度进行比较即可求解； （2）根据篮球出手时竖直高度满足，分类讨论：当经过函数关系的图象上时；当经过函数关系的图象上时；代入计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意，顶点坐标为， ∴篮球的竖直高度的最大值为；·······························2分 ②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入二次函数中得， ， 解得，； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐；·······························5分 （2）解：篮球出手时竖直高度满足，篮筐中心水平距离的位置，篮筐距离地面的高度为， ∴当经过函数关系的图象上时， ， 解得， 当经过函数关系的图象上时， ， 解得，； ∴小明将篮球投进篮筐中心，的取值范围为．·······························8分 25．（10分） 【答案】(1)，； (2)或； (3) ． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、完全平方公式应用．熟练掌握函数交点与解析式的关系，灵活运用公式变形求解，是解题关键． （1）利用点在函数图象上的性质，将点坐标代入直线方程求，再代入反比例函数求 ． （2）先确定点坐标，算出面积，再根据面积关系得出面积，设点坐标，依据三角形面积公式列方程求解 ． （3）借助直线与反比例函数交点性质，得到的值和、的一次方程，通过设未知数，结合完全平方公式，根据确定的值 ． 【详解】（1）解：把代入直线，得 ， ∴， ∴点坐标为 ． 把代入反比例函数，得： ， 解得 ， 故答案为：，．·······························2分 （2）解：对于直线，令，得， ∴， ∴ ． ． ∵， ∴ ． 设，以为底，为高， ∴，即， 化简得， 解得或 ． 当时，；当时， ． ∴点坐标为或 ．·······························6分 （3）解：∵在反比例函数上， ∴； 又∵在直线上， ∴，移项得 ． 设（，因为 ）． ．·······························8分 把，，代入得： ， 即， 移项得 ． ∵， ∴，即 ．·······························10分 26．（10分） 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得，·······························1分 ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得；·······························3分 （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴；·······························5分 ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得，·······························7分 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴．·······························9分 综上所述，a的取值范围为且．·······························10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$