14.3.1.2第2课时　等腰三角形的判定课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

第2课时　等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 提出问题： (1)等腰三角形的性质是什么？它是怎样被证明的？ (2)如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等吗？ (3)怎样判定一个三角形是等腰三角形？ 思 考 如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ A B C 它们所对的边相等. 你能证明你的猜想吗？ 3 (1)等腰三角形的性质是什么？它是怎样被证明的？ 提出问题： (2)如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等吗？ (3)怎样判定一个三角形是等腰三角形？ 等腰三角形的判定 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB = AC. 分析： ∠B =∠C AB = AC 全等 ①作∠BAC的平分线 A B C D ②作 BC边上的高 A B C D ③作 BC边上的中线 A B C D A B C A B C 证明：如图，作△ABC 的角平分线 AD. 在△ABD 和△ACD中， ∠1 =∠2， ∠B =∠C， AD = AD， ∴△ABD ≌△ACD（AAS）． ∴AB = AC． D 2 1 方法① A B C 在△ABD 和△ACD中， ∠B =∠C， ∠ADB =∠ADC， AD = AD， ∴△ABD ≌△ACD（AAS）． ∴AB = AC． D 证明：如图，过点 A 作△ABC 的高 AD. 方法② 等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“等角对等边”). 在△ABC 中，∵∠B =∠C， ∴ AB = AC. 几何语言： A B C 教材P81例题 例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为 a，底边上高的长为 h（如图），求作这个等腰三角形. 分析：等腰三角形“三线合一” a h 底边所对的顶点在底边的垂直平分线上. 作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置. 作法： (1) 作线段 AB = a； (2) 作线段 AB 的垂直平分线 MN，与 AB 相交于点 D； (3) 在 MN上取一点 C，使 DC = h； (4) 连接 AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形. A B D C M N 知识归纳 有两边相等的三角形是等腰三角形. 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）. 1. 下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是 (　　) A. BC=3,AC=3,AB=4 B. BC∶AC∶AB=2∶3∶4 C. ∠B=50°,∠C=80° D. ∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 在△ABC中,∠BAC=90°,AB≠AC,若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D,使△ACD是等腰三角形,则在如图①②③所示的三种作法中,正确的有 (　　) A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①②③ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 如图,AC和BD相交于点O,AB∥DC,OA=OB=4.若OC=3,则BD的长为 (　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠C=45°,AD是边BC上的高,∠ABC的平分线BE交AD于点F,则图中等腰三角形共有 (　　) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形有　　　　个.  6. 如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点F,G.若FG=2,DE=6,则DB+EC的值为　　　　. 6 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 已知等腰三角形的底边长为a,顶角的平分线的长为b(如图),求作这个等腰三角形. 如图,作线段AB=a,作线段AB的垂直平分线MN,与AB交 于点D,在MN上取点C,使DC=b.连接AC,BC,则△ABC即 为所求作的等腰三角形 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,在△ABC中,AB=AC,D为CA延长线上一点,DE⊥BC于点E,交AB于点F,AF=BF.求证: (1) △ADF是等腰三角形; (1) ∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.∵ DE⊥BC,∴ ∠B+∠BFE= ∠C+∠D=90°.∴ ∠D=∠BFE.∵ ∠BFE=∠DFA,∴ ∠D =∠DFA.∴ AD=AF.∴ △ADF是等腰三角形　 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) DF=2EF. (2) 过点A作AH⊥DE于点H.∵ DE⊥BC,∴ ∠AHF=∠BEF =90°.由(1),知AD=AF,∴ DH=FH.在△AFH和△BFE中, ∴ △AFH≌△BFE.∴ FH=FE.∴ DH= FH=EF.∴ DF=2EF 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=36°,以C为原点,AC所在直线为y轴,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,在坐标轴上取一点M,使△MAB为等腰三角形,符合条件的点M有 (　　) A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以40n mile/h的速度向正北方向航行,2h后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处,则N处与灯塔P的距离为　　　　n mile. 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EG∥AD,交AC于点F,交BA的延长线于点G. (1) 求证:△AFG是等腰三角形; (2) 若CE=EF,∠BAC=80°,求∠B的度数. (1) ∵ AD平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD.∵ EG∥AD, ∴ ∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG.∴ ∠G=∠AFG.∴ AF =AG.∴ △AFG是等腰三角形　 (2) ∵ CE=EF,∴ ∠CFE=∠C.∵ ∠AFG=∠CFE,∠AFG =∠CAD,∴ ∠C=∠CAD.∵ ∠BAC=80°,AD平分∠BAC, ∴ ∠C=∠CAD=40°.∴ ∠B=180°-∠BAC-∠C=60° 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且BE=CF, BD=CE,连接DE,EF,DF. (1) 求证:△DEF是等腰三角形; (1) ∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.在△BDE和△CEF中, ∴ △BDE≌△CEF.∴ DE=EF.∴ △DEF 是等腰三角形 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求证:∠B=∠DEF; (3) 当∠A=40°时,求∠DEF的度数. (2) 由(1),知△BDE≌△CEF,∴ ∠BDE=∠CEF.∴ ∠DEF =180°-∠BED-∠CEF=180°-∠BED-∠BDE=∠B,即∠B =∠DEF　 (3) ∵ AB=AC,∠A=40°,∴ ∠B=∠C=(180°-∠A)=70°. 由(2),知∠DEF=∠B=70° 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$